函数里的“新定义”

【摘要】初中数学中有一类问题是关于“新定义”的问题，面对这类问题有着一定的解题思路，帮助我们在纷杂的数学信息中精准提取所需条件.本文重点讲述函数问题中的“新定义”，观察在这一类问题中的解题思路.

【关键词】初中数学；新定义；函数问题

中考数学有一类问题是“新定义”问题，但是它们真的是一个新的数学定义吗？我们能不能在题目中提取到所需条件解决问题呢？下面我将重点阐述函数问题中的“新定义”类型题的解题思路，帮助大家解决数学问题中的“纸老虎”——新定义［1］.

1 新定义问题解题思路

题1 若抛物线L：y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，abc≠0）与直线l都经过y轴上的一点P，且抛物线L的顶点Q在直线l上，则称此直线l与该抛物线L具有“一带一路”关系，此时，直线l叫做抛物线L的“带线”，抛物线L叫做直线l的“路线”.

（1）若直线y=mx+1与抛物线y=x2－2x+n具有“一带一路”关系，求m，n的值；

（2）若某“路线”L的顶点在反比例函数y=6x的图象上，它的“带线”l的解析式为y=2x－4，求此“路线”L的解析式；

（3）当常数k满足12≤k≤2时，求抛物线L：y=ax2+3k2－2k+1x+k的“带线”l与x轴，y轴所围成的三角形面积的取值范围.

问题分析 初读题目，面对纷杂的题目信息，首先我们需要确定新定义满足的条件有三个：一是存在一个直线和一个抛物线，二是它们两者有y轴上的共同点，三是抛物线顶点在直线上，而且顶点也是共点.在做题时需要以这三个条件为基础解题.这样就可以发现新定义问题其实并不难，他只是给我们的问题创设了一个情境进行解题.我们需要做的就是找出情境的隐含条件进行解题［2］.

解析 题中隐含条件：二者存在y轴上的共同点，抛物线顶点在直线上，这两点并不相同，

（1）直线为一次函数，与只有一个交点，令直线y=mx+1中的x=0，则y=1，

即直线y=mx+1与抛物线y=x2－2x+n在y轴上的共同点为0，1，

将0，1代入抛物线y=x2－2x+n中，得到n=1，

所以抛物线的解析式为y=x2－2x+1，

得到抛物线顶点坐标为1，0，

该顶点在直线y=mx+1上，故将1，0代入y=mx+1中，得：0=m+1，

得到m=－1，

（2）分析题目，我们可以发现抛物线顶点同时在反比例函数y=6x和“带线”l：y=2x－4上，故二者交点即为抛物线顶点，联立两个函数方程求交点

y=6xy=2x－4x1=－1y1=－6，x2=3y2=2

所以该“路线”L的顶点坐标为（－1，－6）或（3，2），

题中还有一个隐含条件，抛物线与直线存在y轴上的共同点，

令“带线”l：y=2x－4中x=0，则y=－4，

所以该“路线”L的图象过点0，－4，

此时我们得到了在“路线”L上的三点坐标，可以根据顶点设顶点式函数表达式为，

y=ax+12－6或y=bx－32+2，

再将最后一点代入函数表达式

－4=a0+12－6或－4=b0－32+2，

解得：a=2，b=－23，

所以该“路线”L的解析式为y=2x+12－6或y=－23x－32+2，

（3）初读题目，我们首先需要思考的就是如何求出“带线”l的解析式，第二步就是找到“带线”l与x轴，y轴的交点，第三步就是写出三角形面积表达式，根据里面自变量范围探究面积范围.

（4）题目隐含条件：抛物线L：y=ax2+3k2－2k+1x+k与“带线”l存在y轴上的共同点，故让y=ax2+3k2－2k+1x+k中x=0，则y=k，即该“带线”l与y轴的交点为0，k，

（5）抛物线方程为L：y=ax2+（3k2－2k+1）x+k，我们可以根据表达式写出顶点坐标－3k2－2k+12a，4ak－3k2－2k+124a，

至此我们得到了关于“带线”l的两个点，两点确定一个直线，故可以设“带线”l的解析式为y=px+k，

因为点－3k2－2k+12a，4ak－3k2－2k+124a

在y=px+k上，

所以4ak－3k2－2k+124a

=－p·3k2－2k+12a+k，

解得p=3k2－2k+12，

所以“带线”l的解析式为

y=3k2－2k+12x+k，

令“带线”l：y=3k2－2k+12x+k中y=0，

则0=3k2－2k+12x+k，

解得x=－2k3k2－2k+1，

即该“带线”l与x轴的交点为－2k3k2－2k+1，0，与y轴的交点为0，k，

此时我们就可以列出该“带线”l与x轴，y轴所围成的三角形面积表达式

S=12－2k3k2－2k+1×k

=k23k2－2k+1，

注意：此时我们不知道写的坐标的正负值，长度一定要取绝对值.

因为12≤k≤2

所以12≤1k≤2

所以S=k23k2－2k+1=13－2k+1k2

=11k－12+2

此时我们可以发现分母是一个二次函数，当这个二次函数在范围内取到最大值时，三角形面积最小，当二次函数取到最小值时，面积最大，抛物线顶点在范围内，得面积最大值，比较两个范围边缘值，得最小值

当1k=1时，S有最大值，为12；

当1k=2时，S有最小值，为13

故抛物线L：y=ax2+3k2－2k+1x+k的“带线”l与x轴，y轴所围成的三角形面积的取值范围为13≤S≤12

2 结语

“新定义”问题中我们一定要谨记新定义指的不是一个新的数学概念，而是题目隐含的必须条件.我们所有的求解都是建立在这个隐含条件上的，脱离这个大范围求解就会发生错误.“新定义”不是概念，而是情境［3］.

参考文献：

［1］陈立雪，王丽萍.一道中考数学新定义问题的多角度分析［J］.新课程教学（电子版），2022，（24）：69-72.

［2］顾晓峰.例谈新定义问题的特点与解题路径［J］.数学教学通讯，2022，（06）：58-60.

［3］魏绮芸.“新定义”问题的解题策略［J］.课程教育研究，2019，（32）：136.