例析与分式结合的含参二次方程综合题

【摘要】《义务教育数学课程标准（2022年版）》明确提出，“学生能体会数学知识之间的联系，运用数学知识与方法分析问题与解决问题”．可见，加强数学不同板块知识的综合运用，是课程标准的一个重要内容．本文以两道立意精巧，背景为分式与一元二次方程结合的综合题的解析，揭示同类问题的求解策略，发展学生的代数推理能力，以及在具体题目中分析问题、解决问题的能力．

【关键词】初中数学；一元二次方程；解题技巧

一元二次方程是初中阶段重要的数学模型，往往与代数的基础知识、公式及性质相结合，考查学生的运算能力与代数推理能力．尤其有一类含参的一元二次方程问题，与分式或分式方程结合，综合性强，难度大．它结合了一元二次方程根的判别式、韦达定理、因式分解、整式方程（组）与分式方程解法，整数解等代数的核心知识，需解题者灵活运用方程思想、转化思想、分类思想进行具体分析与理性思考．下面以两道试题为例，管窥此类问题的解题策略．

类型1 递进式综合题

例1 已知在关于x的分式方程k－1x－1=2①和一元二次方程2－kx2+3mx+3－kn=0②中，k，m，n均为实数，方程①的根为非负数．

（1）求k的取值范围；

（2）当方程②有两个整数根x1，x2，k为整数，且k=m+2，n=1时，求方程②的整数根；

（3）当方程②有两个实数根x1，x2，满足x1x1－k+x2x2－k=x1－kx2－k，且k为负整数时，试判断m≤2是否成立？并说明理由．

解析 （1）解分式方程①k－1x－1=2，

得x=k+12.

因为关于x的分式方程①的根为非负数，

所以x≥0且x≠1，

所以x=k+12≥0，且k+12≠1，

解得k≥-1且k≠1．

又因为在一元二次方程2－kx2+3mx+3－kn=0中，2－k≠0，所以k≠2．

综上可得：k≥-1且k≠1，k≠2．

（2）因为一元二次方程2－kx2+3mx+3－kn=0有两个整数根x1，x2，

把k=m+2，n=1代入原方程②中，

得－mx2+3mx+1－m=0，

即mx2－3mx+m－1=0，

所以Δ=9m2-4mm-1=m5m+4≥0，且m≠0，

则m>0，或m≤-45.

因为x1，x2是整数，k，m都是整数，

x1+x2=3，x1·x2=m－1m=1－1m，

所以1－1m为整数，m=1或－1，

由（1）知k≠1，则m+2≠1，即m≠－1，

所以把m=1代入方程mx2－3mx+m－1=0，

得x2－3x+1－1=0，

即x2－3x=0，所以x1=0，x2=3．

（3）由（1）知：k≥-1且k≠1，k≠2，

因为k是负整数，所以k＝－1，

因为一元二次方程2－kx2+3mx+3－kn=0有两个实数根x1，x2，

由韦达定理得

x1+x2=－3m2－k=3mk－2=－m，

x1x2=3－kn2－k=43n，

化简已知等式x1x1－k+x2x2－k=（x1－k）（x2－k），

得x21－x1k+x22－x2k=x1x2－x1k－x2k+k2，

所以x21+x22=x1x2+k2，

所以x1+x22－2x1x2－x1x2=x1+x22－3x1x2=k2，

将x1+x2=－m，x1x2=43n代入，

得－m2－3×43n=－12，

即m2－4n=1，

即n=m2－14③，又k=－1，

所以方程②的Δ=3m2-4n2-k3-k=9m2-48n≥0④，

把③代入④得：9m2-48×m2-14≥0，

所以m2≤4，则m≤2，

所以m≤2成立．

点评 本题的已知给出的分式方程与一元二次方程，是题目的总条件，对于分式方程①的参数k始终满足k≥－1且k≠1，k≠2，适合后面的每一小问．方程②在（2）（3）小问的条件下，利用方程①的k的范围条件，相互制约，再结合整数根、一元二次方程根的判别式、韦达定理等进行具体分析，直至得出问题的结果．

类型2 并列式综合题

例2 （1）若关于x的二次三项式x2+ax+3（a为常数）的最小值为－6，则a= ；

（2）求出代数式3x2+6x－21－3x的取值范围；

（3）若关于x的代数式5mx－nx2－x+2（其中m，n为常数且m≠0）的最小值为-4，最大值为7，请求出满足条件的m，n的值．

解析 （1）设y=x2+ax+3，

变形为x2+ax+3－y=0，

因为Δ≥0，

所以a2-43-y≥0，

所以y≥3-14a2，

而由已知y≥-6，

故3－14a2=－6，

所以a=6或a=－6．

（2）设y=3x2+6x－21－3x，

变形为3x2+6+3yx－2－y=0，

因为Δ≥0，

所以6+3y2-4×3×-2-y≥0，

化简得3y2+16y+20≥0，

求出3y2+16y+20=0的两根，

y1=－2，y2=－103，

根据二次函数与方程的关系得

y≤-103或y≥-2．

所以代数式3x2+6x-21-3x≤-103，

或3x2+6x-21-3x≥-2．

（3）设y=5mx－nx2－x+2，

变形得yx2－y+5mx+2y+n=0，

因为Δ≥0，

所以y+5m2-4y2y+n≥0，

整理得7y2-10m-4ny-25m2≤0，

由已知可得-4≤y≤7，

根据二次函数与方程的关系，得7y2－（10m－4n）y－25m2=0⑤的两根是y1=－4，y2=7，代入⑤，

整理得25m2－40m+16n－112=025m2+70m－28n－343=0，

解方程组得m=145n=74或m=－145n=－494.

点评 本题的三个问题的方程或代数式中的参数互不牵连，没有制约关系，只要运用各自小题的知识点进行分析、推算、解答即可．但将其组装在一起的内核是设元法．我们通过设元将代数式转化为一元二次方程，再运用一元二次方程根的判别式得出所设参数的范围，并结合二次函数、一元二次方程的根、一元二次不等式的关系，得出题目所求参数范围或参数的值．

【本文为张店区教育科学规划课题《基于Nvivo操作下的初中课堂教学切片分析研究》（立项编号：ZD2024194）阶段性研究成果】