例析初中数学常见勾股定理模型

【摘要】初中数学中勾股定理属于重要且无可替代的内容，与勾股定理相对应的模型是解答这些问题的主要思路，也是学生在学习过程中应重视的部分内容.常见的勾股定理模型有风吹树折模型、出水芙蓉模型、蚂蚁爬行模型等.本文主要结合具体例题介绍三类勾股定理模型，给出相关图形特点和解题思路，帮助学生们更熟练地应用勾股定理解题.

【关键词】初中数学；勾股定理；模型分析

1 出水芙蓉模型

出水芙蓉模型具体是指固定线段长度在垂直位置和倾斜位置上形成直角三角形模型，应用勾股定理并运算能够得出相关线段长度.这种模型在勾股定理中应用的关键在于找出直角三角形图形，代入具体值运算求解，就能得到答案.

例1 如图1，牛奶盒的长、宽、高分别为4cm、3cm、12cm，现有一长为16cm的吸管插入盒子底部，则吸管漏在盒外面的部分hcm的取值范围为（ ）

图1

（A）3＜h＜4 . （B）3≤h≤4 .

（C）2≤h≤4 . （D）h=4.

思考 该题属于出水芙蓉模型勾股定理选择题，即吸管竖直放置和倾斜放置能够构成直角三角形，此时用固定长度减去构成直角三角形的斜边是问题所求最小范围，竖直情况对应最大范围，即可得知正确选项.

解析 ①当吸管放进牛奶盒里垂直于底面时露在牛奶盒外的长度最长，

最长为16－12=4cm；

②露出部分最短时与底面对角线和高正好组成直角三角形，

底面对角线长32+42=5cm，高为12cm，

由勾股定理可得：牛奶盒里面吸管长52+122=13cm，

则露在牛奶盒外的长度最短为16－13=3cm，

所以3≤h≤4，正确答案为选项（B）.

2 蚂蚁爬行模型

蚂蚁爬行模型具体是指在几何体的顶点沿表面走直线后得到的最短或最长线段距离，解答过程中通常需要展开几何体表面，使其平面化后应用勾股定理求其长度，综合比较得到最合适的答案.

例2 如图2，一只蚂蚁在一个长方体木块的一个顶点A处，一只苍蝇在长方体的对角顶点G处，若AB=3cm，BC=5cm，BF=6cm，则最短的爬行距离是.

图2

思考 不同顶点连线情况不同，展开长方体后可能会出现三种不同情况，分别得到具体直角三角形，代入具体值并运算比较，即可得到最短的爬行距离.

解析 把长方体展开，有三种情况：

①当蚂蚁从点A出发经过EF再到G时，如图3所示：

图5

因为BC=5cm，

所以FG=BC=5cm，

即BG=5+6=11cm，

在Rt△ABG中，AG=32+112=130cm；

②当蚂蚁从点A出发经过BF再到G时，如图4所示，

因为AB=3cm，BC=5cm，

所以AC=3+5=8cm，

因为BF=6cm，

所以CG=BF=6cm，

在Rt△ACG中，AG=82+62=10cm；

③当蚂蚁从点A出发经过EH再到G时，如图5所示，

因为AE=6cm，EF=3cm，FG=5cm，

所以AF=9cm，

在Rt△AFG中，AG=92+52=106cm；

因为130＞106＞10，

所以最短距离为10cm.

3 垂美四边形模型

当四边形的两条对角线互相垂直时，该四边形被称为垂美四边形，在求解问题的过程中可以构造垂美四边形或直接运用该模型，代入勾股定理进行运算求解，即可得到问题所求值.

例3 对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形，现有如图6所示的垂美四边形ABCD，对角线AC、BD交于点O，若AD=2，BC=4，AB2+CD2=.

图6

思考 首先直接应用垂美四边形模型，找到其中包含的直角三角形并运用勾股定理，代入具体值进行求解，即可得到相关值.

解析 因为四边形ABCD是垂美四边形，

所以AC⊥BD，

所以∠AOD=∠AOB=∠BOC=∠COD=90°，

由勾股定理可得，AD2+BC2=AO2+DO2+BO2+CO2，

AB2+CD2=AO2+BO2+CO2+DO2，

所以AD2+BC2=AB2+CD2，

因为AD=2，BC=4，

所以AB2+CD2=AD2+BC2=22+42=20.

4 结语

上述例题分别介绍了三种勾股定理相关的模型，出水芙蓉模型、蚂蚁爬行模型和垂美四边形模型具有各自不同的图形特点，需要学生们熟悉和掌握并应用在不同问题中.

参考文献：

［1］李军.关注数学模型 扣住问题本源——勾股定理“总统证法”模型题探析［J］.中学数学，2015（12）：78-81.

［2］张永奇.浅谈勾股定理的常见题型［J］.新教育时代电子杂志（教师版），2016（18）：203+269.

［3］张宁.以勾股图为模型的中考试题及其变式探究［J］.中学数学（初中版），2013（011）：43-46.