分类讨论思想在初中数学解题中的应用

【摘要】初中学生无论是在知识结构层面还是思维方式及能力方面，同小学时期相比均得到大幅度的提升，他们可以更为精准的领悟与感知抽象思维方式，分类讨论思想是对试题进行分类解读，为其正确、快速的解答数学题目提供一种切实可行的方式.本文主要对分类讨论思想如何在初中数学解题中应用进行分析和研究，同时分享一系列解题实例.

【关键词】分类讨论；初中数学；解题技巧

从本质视角来看，其实分类讨论思想属于逻辑划分的一种特殊思维方式，在数学领域具体表现是“化整为零”，将一个大问题分成多个小问题以后逐个击破，最后再积零为整.在初中数学教学中，分类讨论思想占据着关键地位，既是一种特殊的逻辑思维方式，还是一个重要的解题策略，教师应指导学生合理应用分类讨论思维，帮助他们轻松解决数学试题.

1 应用分类讨论思想解答方程类试题

例1 请问当m为何整数时，关于x的一元二次方程mx2－4x+4=0与x2－4mx+4m2－4m－5=0的根都是整数.

分析 在本道题目中，直接点明是一道一元二次方程试题，因为这是题目中明确给出的条件，说明试题中的两个方程二次项系数均不能为0，虽然m的值不能为0，但是m有一个具体的取值范围，所以需使用分类讨论思想，对m的实际取值展开分类讨论［1］.

详解 因为这两个方程均是一元二次方程，

所以这两个方程的二次项系数都不能为0，

其中方程x2－4mx+4m2－4m－5=0的二次项系数为1，

变数就在方程mx2－4x+4=0的二次项系数上面，

即为m≠0，

则Δ1≥0，

解得m≤1，

同理Δ2≥0，

解得m≥－54，

综合起来可得-54≤m≤1，且m≠0，

又因为m为整数，

所以m=1或者m=－1，

这时需要进行分类讨论，

①当m=1时，这两个方程的根均为整数；

②当m=－1时，第一个方程的根为x=－2±22，并非整数，故要舍去；

所以说最终答案是当m=1时，这两个方程的根均为整数.

2 应用分类讨论思想解答函数类试题

例2 已知一次函数y=kx+b，其中当-3≤x≤1时，y的值为1≤y≤9，请问kb的值为（ ）

（A）14. （B）－6.

（C）－6或21. （D）－6或14.

分析 处理这样一道一次函数类试题时，假如思考得不够全面，学生们习惯于把系数k当作正数来解答，求出的结果就只有一种，再加上这是一道选择题，将会选出错误选项，其实经过对题目内容的认真阅读能够发现，题目中并没有指明该一次函数一次项的系数k是正数、还是负数，故而可能存在正、负这两种情况，所以需用到分类讨论思想完成解题［2］.

详解 因为当-3≤x≤1，y的值为1≤y≤9，

所以要对一次项的系数k分成两种不同情况进行分类讨论：

①当k>0时，该一次函数的值y将会随着自变量x的增加而增大，

由此获得位于该一次函数上面两个点的坐标，分别是（－3，1）和（1，9），

然后将坐标（－3，1）和（1，9）分别代入到函数关系式y=kx+b中，

可以得到1=－3k+b9=k+b，

解得k=2，b=7，

那么kb=2×7=14.

②当k<0时，该一次函数的值y将会随着自变量x的增加而减小，

同样可以得到位于该一次函数上面两个点的坐标，分别是（－3，9）和（1，1），

然后将坐标（－3，9）和（1，1）分别代入到函数关系式y=kx+b中，

可以得到9=－3k+b1=k+b，

解得k=－2，b=3，

那么kb=－2×3=－6.

所以说正确答案是（D）选项.

3 应用分类讨论思想解答几何类试题

例3 在图1中，有一个△ABC，其中∠B为锐角，从顶点A往边BC或者其延长线作垂线，同BC相交于H点，又从顶点C往边AB或者其延长线作垂线，同AC相交于K点，当2BHBC与2BKBA的值均为正整数时，请判定出△ABC的具体形状，且加以证明.

图1

分析 由于题干中只说明2BHBC与2BKBA的值均为正整数，并没有指出具体值，故这里要对它们的值进行分类讨论，在不同情况下△ABC的形状也不同［3］.

详解 设2BHBC=x，2BKBA=y，

则x、y都是正整数，xy<4，

那么x、y要分五种情况进行讨论，

①x=1，y=1，

这时BC=2BH，AB=2BK，△ABC是等边三角形；

②x=1，y=2，

这时BC=2BH，AB=BK，△ABC是以∠BAC为直角的等腰直角三角形；

③x=1，y=3，

这时BC=2BH，AB=23BK，△ABC是以∠BAC=120°的等腰三角形；

④x=2，y=1，

这时同第②种情况类似，△ABC是以∠ACB为直角的等腰直角三角形；

⑤x=3，y=1，

这时同第③种情况类似，△ABC是以∠ACB=120°的等腰三角形.

4 结语

综上所述，在初中数学解题训练活动中，教师应意识到分类讨论思想这一解题策略的作用和功效，平常讲授理论知识时注重分类讨论思想的渗透，指引学生根据具体题目灵活、恰当的应用分类讨论思想，使其通过分类讨论降低解题难度，逐步提高他们的数学解题水平.

参考文献：

［1］徐芳.基于分类探讨思想的初中数学解题教学改革研究［J］.数理化解题研究，2023（23）：39-41.

［2］任建平.分类讨论思想在初中数学解题教学中的运用探究［J］.数理天地（初中版），2023（13）：37-38.

［3］刘新.分类讨论思想在初中数学解题教学中的运用探究［J］.数学之友，2023，37（11）：57-58+61.