例析反比例函数中k的几何意义的应用

【摘要】反比例函数问题是初中数学的一类经典问题，其中反比例函数的比例系数k在解答此类问题时具有重要的作用.对比例系数k的几何意义的合理运用是解题的关键，同时也体现了数形结合的数学思想.本文将结合几道例题谈谈反比例函数中k的几何意义的实际应用方法.

【关键词】 反比例函数；初中数学；解题技巧

1 确定比例系数k的大小

比例系数k的几何意义最直接的应用必然是用于求解其大小.结合一些基本几何图形的面积公式，求得与k有关的图形的面积，即可求得k值.

例1 如图1所示，双曲线y=kx（k>0）经过直角三角形OAB斜边OB的中点D，且与直角边AB相交于点C.若S△OBC=3，则k=.

图1

解 取AO的中点E，连接DE.

因为点D是直角三角形OAB斜边OB的中点，所以线段DE是三角形OAB的中位线.

由中位线的性质可得DE∥AB，DE=12AB.

因为BA⊥OA，所以DE⊥OA，

因为S△ODE=14S△OBA=12k，所以S△OBA=2k.

又因为S△OCA=12k，S△OBC=3，

所以12k+3=2k，即k=2.

评析 一般来说，可以根据反比例函数下包含的图形的面积结合题目的已知条件进行运算，从而得到有关k的图形的面积大小，由此即可解得k.

2 求解角度的大小

除了直接应用面积来求解问题，还可以通过等面积法、割补法等方法将其他如角度之外的几何量与面积建立联系，从而求解出角度大小.

例2 如图2所示，A、B两点分别在双曲线y=1x和y=－3x的图像上，且OA⊥OB，则∠OAB=.

图3

解 如图3所示，因为OA⊥OB，

所以△OAB是直角三角形.

要想求出∠OAB的大小，可使用锐角三角函数，即求出△OAB中某两条边的比值.

因此作AC⊥y轴，

所以∠CAO+∠AOC=90°.

又因为∠BOD+∠AOC=90°，

所以∠CAO=∠DOB，

则Rt△OBD～Rt△AOC.

所以OB2OA2=S△OBDS△AOC.

依据比例系数k的几何意义，

可得S△AOC=12，S△OBD=32，

所以OB2OA2=3，则tan∠OAB=OBOA=3，

所以∠OAB=60°.

评析 角度问题也经常融合在反比例函数中.在锐角三角函数知识的支撑下，角的大小问题可以转化为线段比值问题，之后线段比值问题又可以变为面积的比值问题，这样就可以利用比例系数k的几何意义来求得面积的比值，从而得到角的大小.

3 比较图形面积的大小

将比较面积大小的问题转化为比较比例系数k的大小问题，更为直观.

例3  如图4所示，直线l和双曲线y=kx（k>0）交于A、B两点，点P是线段AB上的点（不同于A、B两点），过点A、B、P分别作x轴的垂线，垂足分别为C、D、E，连接OA、OB、OP.设△AOC的面积为S1，△BOD的面积为S2，△POE的面积为S3，则S1、S2、S3的大小关系是.

图4

解 由题意可得A、B两点都在双曲线y=kx（k>0）上，则S1=S2.

而在线段AB之间，直线在双曲线的上方，故S1=S2<S3.

评析 这是比例系数k较为直观的应用.通过不同图形与反比例函数之间不同的关系，就可以得到图形面积的大小关系，避免了繁杂的计算.

4 求解多边形背景下的反比例函数问题

多边形问题是平面几何问题中较为复杂的一类图形问题，其与反比例函数结合，难度进一步加大.但是此类题目都有解题的突破点，可以将比例系数k的几何意义作为一个思路.

例4 如图5所示，四边形OABC是菱形，连接AC，过点C作CE⊥AC，交x轴负半轴于点E，连接BE，双曲线y=kx（k≠0，x<0）图像经过CE上的两点C、D，且CD=DE，△BCE的面积为15，则k=.

图5

解 如图6所示，过点C作CG⊥OE，过点D作DF⊥OE.

图6

因为CD=DE，

所以DF是△ECG的中位线，

则EF=FG，DF=12CG.

因为D、C两点在y=kx上，

所以S△OCG=S△ODF=12|k|.

因为S△OCG=12OG·CG，S△ODF=12OF·DF，

所以OF=2OG，即OE=3OG.

所以S△OCG=13S△OCE.

因为四边形OABC是菱形，

所以AC⊥OB.

因为CE⊥AC，所以EC∥OB，

则S△OCE=S△BCE=15，则12|k|=5.

因为图像在第二象限，所以k=－10.

评析 与多边形融合的反比例函数问题较为复杂，但是可以以比例系数k的几何意义为导向，尝试找到几何量与其的关系，即可解得答案.

5 结语

数形结合思想是解答初中数学问题的重要思想.在解决有关反比例函数的问题时，充分运用比例系数k的几何意义有时能有意想不到的效果.