一道新定义几何综合题的解答

【摘要】新定义问题是中考的热点问题之一，此类问题要求学生能够现学现用、理解新知，不但考查学生的基础数学知识与解题能力，以及阅读理解能力，而且考查学生的应变能力.本文以一道新定义几何综合题的解答，发展学生的自主学习能力与主动探究的数学素养.

【关键词】新定义；初中数学；问题解答

1 题目呈现

例题 （山东东营中考）在线段AB上取中点O，在直线l上有一点P，过点A和点B分别作直线l的垂线段，记垂足为点C和点D ，将中点O与垂足C和D之间的距离称之为“足中距”.

（1）如图1，若点O与点P重合，则“足中距”OD与OC的长度大小关系为；

（2）如图2，若点P在线段AB上移动时，“足中距”OD与OC的长度大小关系是否仍然同（1）的结论一样？若一样，请推理证明；若不一样，请给出正确的式子，并证明；

（3）如图3，①若点P在线段AB的反向延长线上移动时，“足中距”OD与OC的长度大小关系是否仍然同（1）的结论一样？为什么，并给出证明过程；

②如果∠DOC=60°，三条线段CO，DB，CA之间有怎样的数量关系.

图2

图3

2 解题分析

题目引出新的概念“足中距”，基于类比思想，在探索中培养学生的逻辑推理能力和举一反三的能力.

第（1）问，证明Rt△AOC≌Rt△BOD.

第（2）问类比第（1）问的方法，只需构造以OC，OD为对应边的全等三角形，即过点O作直线EF∥CD，交BD于点F，延长AC交EF于点E，证明△COE≌△DOF（SAS），可得结论.

第（3）①问，构造全等三角形，结合直角三角形的性质进行判断．即：延长CO交BD于点E，证明△AOC≌△BOE（AAS），得CO=OE，再利用直角三角形斜边中线的性质解决问题即可.

第（3）②问结论：AC+BD=3OC，利用等边三角形的判定和性质，以及全等三角形的性质进行证明，转化相等线段后进行判断即可.

3 试题解答

解：（1）猜想：OC=OD.

理由：如图1中，

因为AC⊥CD，BD⊥CD，

所以∠ACO=∠BDO=90°.

因为点O是AB的中点，

所以OA=OB.

在△AOC与△BOD中，∠ACO=∠BDO∠AOC=∠BODOA=OB，

所以△AOC≌△BOD（AAS）.

所以OC=OD.

（2）数量关系依然成立．

理由：如图4，过点O作直线EF∥CD，交DB于点F，延长AC交EF于点E，

图4

因为EF∥CD，

所以∠DCE=∠E=∠CDF=90°.

所以四边形CEFD为矩形，

所以∠OFD=90°，CE=DF，

由（1）知，OE=OF.

在△COE与△DOF中，

CE=DF∠CEO=∠DFO，OE=OF

所以△COE≌△DOF（SAS）.

所以OC=OD.

（3）①结论成立．

理由：如图5中，延长CO交DB的延长线于点E，

因为AC⊥CD，BD⊥CD，

所以AC∥BD，

所以∠CAP=∠DBP，

所以∠CAO=∠EBO.

图5

因为点O为AB的中点，

所以AO=BO，

又因为∠AOC=∠BOE，

所以△AOC≌△BOE（AAS），

所以CO=OE，

因为∠CDE=90°，

所以由直角三角形的中线得OD=OC.

②结论：AC+BD=3OC.

理由：如图5中，

因为∠COD=60°，OD=OC，

所以△COD是等边三角形，

所以CD=OC，∠OCD=60°.

因为∠CDE=90°，

所以tan60°=DECD，

所以DE=3CD，

由（3）①得△AOC≌△BOE，

所以AC=BE，

所以AC+BD=DE=3CD=3OC.

4 解题总结

本题是一道中考压轴题，它以新定义的形式，定义“足中距”，要求学生读懂阅读材料中新定义的内涵——“垂足与中点之间的距离”，在每个图中，认识“足中距”指哪两条线段；我们要通过图形直观，先判断“足中距”的大小关系，再结合已学过的几何定理、性质，如：三角形全等的判定与性质、特殊四边形的判定与性质、直角三角形的判定与性质进行分析、推理，运用几何变换思想、从特殊到一般思想、类比思想，添加辅助线，不断深化对问题的认识与理性思考，促进问题解决.

解决新定义问题时，我们要正确理解新定义的概念或运算，再将此概念或运算作为解题的依据，将其转化为已学过的知识进行求解.我们要深刻领会新定义的内涵，综合运用数学思想和方法，从新定义的本质出发，结合已学过的数学基础知识、技能，通过类比来实现新知识的迁移.