借力数轴多视角探行程中相遇问题

【摘要】数形结合思想是解答数学题目的一种最基本的思想方法.近年来，将行程问题与数轴融合在一起的数形结合试题常常在中考题目中出现，在解题中运用数形结合思想可以拓展学生思维，简化题目难度，提升学生的解题能力.

【关键词】数形结合；初中数学；相遇问题

数形结合思想是贯穿初中数学的一种重要的思想方法，数形结合思想主要包括数和形两个部分，它的精髓是以形助数，以数解形.而数轴是初中数学教材中数形结合的第一个实例，是七年级数学的重要内容，同时将行程问题融合到数轴中进行考核是近些年来命题中常见的题型，这种题型以数轴上点的坐标与行程问题组合的方式呈现，具有较强的灵活性，着重考查学生的数形结合思想和创新意识，对学生的能力要求较高.本文借用数轴，具体谈谈多角度解行程问题中的相遇问题.

知识储备

①数轴上两点之间的距离.数轴上点A、B分别表示数a、b，则A、B两点之间的距离为线段 AB 的长度，用两点所表示的数差的绝对值来表示．如，数轴上A，B所表示的数是a，b，则AB=｜a-b|或AB=|b-a|

②数轴上的点运动一段距离后点的坐标.数轴上一个动点的最后位置由初始位置和运动方向共同决定，向右运动：运动后点的坐标=起始坐标+运动路程，向左运动：运动后点的坐标=起始坐标-运动路程.

我们规定数轴向右的方向为正方向，因此向右运动b个单位看作+b，而向左运动b个单位看作-b.如一个起始点的坐标为a，向右运动b个单位后所表示的数为a+b；向左运动b个单位后表示的数为a-b.

1 从一道数轴上两动点相遇问题多角度解析说起

例1 已知数轴上有A、B两点，它们的坐标分别为—24，10，A、B两点同时相向而行，A每秒向右运动3个单位长度，B每秒向左运动2个单位长度，问多少秒后A与B相遇？相遇时点的坐标是多少？

视角1 传统行程中相遇问题（习惯解法）

对于七年级的学生来说，因为引入数轴，行程中相遇问题由传统问题变成一个新问题，而本题的实质还是行程中相向运动问题，核心图形是数轴，我们可以把熟悉的行程中相遇问题基本关系式：路程＝速度和×时间融入数轴中，先求相遇时间，再借助数轴求相遇时的坐标位置.

解 设x秒后A与B相遇，依题意可列方程得：

3x+2x=10-（-24），

解得：x=6.8.

A向右运动了6.8×3=20.4个单位，可推出A与B在相遇时点的坐标为-24+20.4=-3.6，在原点的左侧，点坐标是-3.6.

视角2 思数轴上两点距离公式与相遇问题结合点（新思路新解法）

遇到数轴上的行程相遇问题时，我们不能只局限于行程中相遇问题固有的关系式：路程=速度和×时间去考虑，可以借助数轴进行思考，利用数轴上两动点相遇这一特殊位置，两点距离为0这一特点，用两点坐标距离公式来解决问题，尝试从不同的角度思考数轴上点的行程问题.

解 设x秒后A与B相遇，相遇时A运动了3x个单位长度，可知A点到达点的坐标是（-24+3x），相遇时B运动了2x个单位长度，可知B点到达点的坐标是（10-2x），依题意可列方程得：

|10-2x -（-24+3x）| =0，

解得：x=6.8.

由A向右运动了6.8×3=20.4个单位，可推出A与B相遇点坐标为-24+20.4=-3.6，在原点的左侧，点坐标是-3.6.

视角3 寻数轴上点的坐标与相遇问题关联点（新角度巧解法）

在解决数轴上的行程相遇这类新问题的过程中学生也会想到很多新方法，我们可以不断调整，寻找更多好解法.如我们还可利用数轴上点的坐标特点，两个动点A与B在数轴上相向运动的过程中，若A与B相遇，两点处在同一位置，点坐标相同，那么A与B的坐标就相同，抓住特殊时期、特殊节点之间的关键位置.可以依此列方程.

解 设x秒后A与B相遇，相遇时A运动了3x个单位长度，可知A点到达点的坐标是（-24+3x）.相遇时B运动了2x个单位长度，可知B点到达点的坐标是（10-2x）.依据A与B相遇时，坐标相同的原理列方程如下；

-24+3x=10-2x，

解得x=6.8.

再把x=6.8代入方程的左边或者右边，都可以得出相遇时的坐标位置，由A向右运动了6.8×3=20.4个单位，可推出A与B相遇点的坐标为-24+20.4=-3.6，在原点的左侧，点坐标是-3.6.

我们在解决数轴上的行程相遇问题的过程中，借助数轴，将传统的行程问题和数轴有机地结合，既体现了传统行程问题的特点，又将数轴上两点之间的距离，数轴上点的坐标特点等知识有效的集合在解题中，赋予题目更多的方法灵性和想象空间.

2 围绕新情境下数轴上两动点相遇问题展开分析

为了更好地利用数轴解决实际生活问题，笔者在此题的基础上选择延伸了一道类似题目，供学生进行分析.

例2 某公司派出甲车前往某地完成任务，此时，有一辆流动加油车与他同时出发，且在同一条公路上匀速行驶．为了确定甲车的位置，我们用OX表示这条公路，原点O为零千米路标，并作如下约定：速度为正，表示甲车向数轴的正方向行驶；速度为负，表示甲车向数轴的负方向行驶；速度为零，表示甲车静止．行程为正，表示甲车位于零千米的右侧；行程为负，表示甲车位于零千米的左侧；行程为零，表示甲车位于零千米处．两车行程记录如表：

时间（h）057x

甲车位置（km）190-10

流动加油车位置（km）170270

由上面表格中的数据，解决下列问题：

（1）甲车开出7小时时的位置为（ ）km，流动加油车出发位置为（ ）km；

（2）当两车同时开出x小时，甲车位置为（ ） km，流动加油车位置为（ ）km （用x的代数式表示）；

（3）甲车启动后司机才发现油箱内汽油仅够行驶3小时，问：甲车连续行驶3小时后，能否立刻获得流动加油车的帮助？请说明理由．

困惑 本题文字较多，问题有了生活背景，还引入了字母参数问题，一些理解能力稍弱的学生，读不懂题意，迷糊了，无从下手，弄不明白题目要表达什么意思，也找不到文字、表格、数轴之间的联系，更谈不上从前面解决数轴上相遇问题找到的多种解法中获得启发.

思考 甲车能否得到流动加油车的帮助，这是一个什么问题？我们把文字、表格、数轴结合在一起分析，思考一下，发现本题也是一个行程中的相遇问题，由若干个小问题凝练而成，结合问题，甲车启动后，司机发现油箱内汽油只够行驶三小时，那么甲车能否在三小时立刻获得加油车的帮助呢？甲车能否得到流动加油车的帮助，转化成甲车、流动加油车能否在3小时相遇的问题.

分析 为了更好地解题，我们先设置几个小的问题，问题1：甲车、流动加油车的运动方向？ 问题2：甲车、流动加油车的速度？问题3：甲车、流动加油车的初始位置？

问题1 我们先要判别两车的运动方向.甲车由零小时到五小时，它是由距原点190千米的位置到距原点-10千米的位置，说明它的运动方向是沿着数轴从右向左.而流动加油车的位置是由5小时距原点170千米处到7小时距原点270千米处，那么它的运动方向是由左向右.

问题2 明确了甲车和流动加油车的运动方向，这时候我们还有一个未知的内容，这两辆汽车的速度是多少呢？又应该怎么求呢？观察表格中的数据，甲车5个小时所走路程是190-（-10）=200，那么我们可以求出甲车的速度是［190-（-10）］÷5=200÷5=40千米/小时，根据流动加油车出发5小时的位置是距原点170千米处和出发7小时的位置是距原点270千米处，得到流动加油车的速度是（270-170）÷2=50千米/小时.

问题3 我们可以把甲车和流动加油车看成数轴上的两个点，固定到数轴上相应的位置，由题目中表格文字条件找到零千米处为数轴原点.最初甲车在距零0千米路标190千米处，判别甲车在原点的右侧，题目中给出甲车的初始位置，可以求出甲车开出7小时后的位置.流动加油车由7小时到5小时位置由距零千米路标270千米到距零千米路标170千米处，由后向前推导出流动加油车的初始位置.

解 （1）根据题意得：

甲车开出7小时后的位置为：190-7×（200÷5）=-90（km），

流动加油车出发位置为：270-（270-170）÷2×7=-80（km）；

故答案为：-90，-80；

（2）根据题意得：

当两车同时开出x小时后，甲车位置为：190-40x，流动加油车位置为：-80+50x；

前面解决数轴上两动点相遇问题时我们积累了一些解题方法，现在类比两个问题，把前面解决数轴上相遇问题找到的多种解法应用到本题中.

思路1 利用传统行程中相遇问题的解法，甲车、流动加油车所走路程和＝速度和×时间.

（3）根据题意得：找甲车、流动加油车初始位置两车相距190-（-80）＝270.

两车最初相距270km，两车3小时所走路程和（40+50）×3＝270，能加油，甲车连续行驶3小时后，能立刻获得流动加油车的帮助.

思路2 利用数轴上两动点相遇的时候，两点距离为0这一特点.

设甲车、流动加油车x小时相遇.

|190-40x-（-80+50x）|=0，

解得x＝3.

190-40×3＝70.

能，在相遇处加油，位于零千米右侧70千米处.

思路3 利用数轴上两动点相遇两点处在同一位置，点坐标相同，可以依此列方程.

设甲车、流动加油车x小时相遇.

190-40x＝-80+50x，

解得x＝3，

190-40×3＝70.

能，在相遇处加油，位于零千米右侧70千米处.

3 结语

上述题目起初是一个纯数学问题，数轴上动点相遇问题，随着问题的循序渐进，赋予问题新的生活背景，我们借助数轴进行延伸探究，启发学生从不同的视角思考递进，通过探索和研究我们得出了数轴上行程问题的一些新的解法和思维方式，通过问题类比寻找解题的入手点，找到两个问题之间的内在联系，渗透了数形结合的思想，简化题目难度的同时，也推动学生学习的内驱力，培养学生养成解题后反思过程、思路、方法的好习惯.

参考文献：

［1］中华人民共和国教育部义务教育数学课程标准（2022年版）［M］.北京.北京师范大学版社.

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［5］王骊莎，张菊芬.巧用数形结合的思想求解几道代数与几何问题［J］.数学通讯，2017（01）：60-61.