促进思维发展的数学习题设计

刘大勇

以思维能力发展为导向设计数学习题，有助于提高学生分析问题、解决问题的能力，培养学生的数学核心素养。本文结合具体案例阐释促进中学生思维发展的数学习题设计策略。

设计变式练习，提升迁移能力。教师可以通过变更数学对象或数学问题的呈现形式促进知识迁移，帮助学生巩固基础，提升思维能力。

以《坐标系内图形对称》复习课为例，笔者设计了“说出点P（x，y）关于x轴、y轴和原点对称点的坐标”题目及如下变式问题。

变式问题1：说出直线y=2x-1关于x轴、y轴和原点对称的解析式。

变式问题2：说出双曲线[y=1x]关于x轴、y轴和原点对称的解析式。

变式问题3：说出抛物线[y=3x2+2x-1]关于x轴、y轴和原点对称的解析式。

变式问题4：以下函数（y=3x，[y=x2]，[y=2x3]，[y=-1x]，[y=2x]）图象关于x轴对称的有     ，关于y轴对称的有     ，关于原点对称的有     。

这道题从最基本的点的对称出发，引导学生归纳出几类对称点的坐标特点；接着，把点对称的问题变式为直线对称的问题（变式问题1），引导学生理解直线对称本质上是直线上的点对称，只要找到直线上任意两个点的对称点坐标，就可以根据待定系数法求出解析式；然后，继续变式为双曲线、抛物线的问题（变式问题2、变式问题3），这些问题均可类比作答变式问题1的方法求出解析式；最后的变式问题4不仅出现其他类型的函数，还改变了问题的呈现形式，引导学生根据解析式画出图象，再根据图象确定对称性。变式问题让学生在知识迁移与运用中感受到从一般到特殊的研究过程，体会到函数的对称最终都可转化为点的对称。

设计开放问题，提供思维发展空间。开放性问题能提供更广阔的思维空间，有利于满足不同层次水平学生的学习需求。教学《相似三角形》时，教师设计了以下两个问题。

问题1：一个钢筋三角形框架三边长分别为20cm，50cm，60cm，现要再做一个与其相似的钢筋三角形框架，而只有长为30cm和50cm的两根钢筋，要求以其中的一根为一边，从另一根截下两段（允许有余料）作为另两边，有几种不同的截法？

问题2：如图，如果∠BAD=∠CAE，那么添加条件         ，能确定△ABC和△ADE相似。

教师设置如下问题引导学生思考问题1：把一根钢筋截成两段，有几种情况？两个三角形的对应边确定了吗，有几种对应情况？学生根据“三角形任意两边之和大于第三边”，确定只能用50cm的钢筋来截，设截得的两段分别为xcm和ycm，则有以下三种对应情况：①[2030=50x=60y]，得x=75，y=90（不合题意，舍去）；②[20x=5030=60y]，得x=12，y=36；③[20x=50y=6030]，得x=10，y=25。笔者引导学生逐一分析上述三种情况，完整地解题。

对问题2，由∠BAD=∠CAE可得∠DAE=∠BAC，从“两角分别对应相等的两个三角形相似”考虑，可添加∠D=∠B或∠AED=∠C条件，从“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”考虑，可添加[ADAB=AEAC]条件。笔者设置此类解法灵活、具有一定探索性的题目，能让学生从不同角度思考问题，为思维发展提供空间。

（作者单位：浙江省杭州市桐庐县三合初级中学）

责任编辑  张敏