数形结合增强模型意识

刘雪林

数与代数是义务教育阶段的重要学习领域，和倍、差倍问题是属于数与代数领域的“数量关系”主题。如何让学生经历在具体情境中运用数量关系解决问题的过程，帮助学生提高发现和提出问题以及分析和解决问题的能力，形成模型意识和初步的应用意识呢？笔者以“分数除法解决和倍、差倍问题”教学为例进行分析。

一、基于比较标准，找准单位“1”

理解单位“1”是数学学习的难点，教师可以通过创设真实情境，引导学生通过找到比较的“标准”，找准单位“1”。

教学时，笔者首先出示本班学生参加兴趣小组的图片信息（包括书法小组、绘画小组和篮球小组），并给出数学信息“①参加书法小组的人数是绘画小组人数的2倍，②参加绘画小组的人数是篮球小组人数的[12]”，并提问：你能找出两条信息中单位“1”的量并写出数量关系式吗？一名学生回答：信息①中单位“1”的量是绘画小组的人数，数量关系是“书法小组人数=绘画小组人数×2”；信息②中单位“1”的量是篮球小组的人数，绘画小组人数=篮球小组人数×[12]。笔者追问：你是如何找准单位“1”的？这两条信息中的数量关系本质上相同吗？学生思考后回答：以谁为“标准”，谁就是单位“1”，信息①以绘画小组人数为比较“标准”，信息②以篮球小组人数为比较“标准”，“标准量”就是单位“1”的量，两者的基本数量关系是一致的，都是用单位“1”的量×对应的倍分=对应的量。

以上教学激活了学生已有的认知经验，帮助学生巩固了找单位“1”的方法，明晰了基本的数量关系。

二、借助数形结合，研究数量关系

此环节，教师设计了“画一画”“写一写”“算一算”“说一说”等活动，引导学生在具体情境中运用数量关系解决问题，积累基本数学活动经验。

教学时，笔者出示学生参加篮球比赛的图片（略）和信息“六（三）班全场得了42分，其中，下半场得分是上半场的一半”，并提问：你知道了哪些数学信息？能提出怎样的数学问题？一名学生回答：我知道了上半场和下半场的总分即两个量的和是42，还知道下半场得分是上半场的一半即这两个量的倍数关系，我提出的问题是上半场和下半场各得多少分。笔者首先肯定了这名学生的回答并指出这类问题叫作“和倍问题”。接着，笔者追问：这个问题和以前的问题有什么不同？一名学生回答：这个问题有两个未知量，以前的问题都是一个未知量。然后，笔者出示活动要求：画一画，用线段图表示题中的信息；写一写，写出所有的数量关系式；算一算，尝试用不同的方法解决问题；说一说，把你的想法和同桌交流。

学生自主探究后，一名学生上台边画边解释：“我先画上半场即单位“1”的量，然后把上半场对应的线段平均分成2份，下半场对应的线段就是其中的一份，两者加起来总共是42分。我列出的数量关系式是‘上半场得分+下半场得分=42，也可以写成‘上半场得分=42-下半场得分‘下半场得分＝42-上半场得分，还可以写成‘下半场得分=上半场得分×[12]‘上半场得分＝下半场得分×2。假设上半场得了x分，则下半场得了[12]x分，列方程为x+[12]x=42。”另一名学生补充：这样假设时，方程也可以列为x=42-[12]x或[12]x=42-x。第三名学生继续补充：假设上半场得了x分，下半场得分可以表示为（42-x），所列方程为42-x=[12]x或x=2（42-x）。还有一名学生提出：假设下半场得了x分，则上半场得了2x分，所列方程为x+2x=42。笔者肯定了学生的回答并追问：除了用方程解决，还有别的方法吗？一名学生回答：还可以用42÷（1+[12]）或42÷（1+2）解决问题。

以上教学，教师通过真实情境和真实任务，驱动学生用多样化的算法解决问题，强化了学生思维的灵活性和发散性。

三、结合对比关联，增强模型意识

此环节，笔者引导学生在对比、关联中归纳、概括解决此类问题的基本模型，培养学生的模型意识。

教学时，笔者组织学生观察、比较他们列出的所有方程，思考这些方程有什么区别和联系。一名学生回答：区别是所设未知数不同，联系是先假设其中一个量，然后根据两个量的倍分关系表示另一个量，最后根据两个量和的关系列出方程，反之亦然。笔者引导：如果把条件“全场得了42分”改为“上半场比下半场多得14分”，你还能解决这个问题吗？学生尝试画图并解答。笔者引导学生回顾三年级学习的两个量之间是整数倍的和倍问题和差倍问题，以及五年级学习的两个量之间是小数倍的和倍问题和差倍问题，并小结：不管两个量之间是整数倍、小数倍的关系，还是分率关系，解决和倍、差倍问题的方法都是一致的，可以分为五步：一找，找数量关系式；二设，设一个量，根据倍分关系表示另一个量；三列，根据和（差）关系列出方程；四解方程；五检验。随后，笔者追问：算术法和方程法有什么区别和联系呢？一名学生回答：方程法是顺着题意思考，思路更顺畅；算术法要逆向思维，因为单位“1”的量×对应倍分＝对应的量，所以求单位“1”的量要用对应的量除以对应倍分。笔者总结：方程法是把未知量视作已知量参与运算，运用了顺向思维；算术法要根据未知量与已知量的关系，利用已知量推导出未知量，运用了逆向思维。

以上教学，学生在关联旧知解决问题的过程中实现了学习内容的结构化，感悟到“变中有不变”，从而顺利建构了模型，增强了模型意识。

四、设计综合应用，促进模型深化

为了让学生领会模型的价值，教师设计了如下5道习题，深化学生对模型普适性和一般性的理解。

①两个数之差是99，其中一个数去掉末尾的0和另一个数相等。这两个数各是多少？

②一个小数小数点左移两位和另一个数相等，它们的和是1.01。这两个数各是多少？

③一套运动服共300元，裤子的价格是上衣的[23]。上衣和裤子分别是多少元？

④夏至是一年中白昼最长、黑夜最短的一天。这一天，北京时间的黑夜时长是白昼时长的[35]。白昼和黑夜分别是多少小时？

⑤甲、乙、丙三数之和是189，乙比甲的[45]少4，丙比甲的[34]多6。甲、乙、丙各是多少？

笔者先组织学生独立完成习题，然后同桌交流，最后汇报。学生依次做如下汇报。第①题根据第2个条件可以推出“其中一个数是另一个数的10倍”，再根据两数之差是99列方程10x-x=99解决。第②题根据小数点移动规律可以推出“其中一个数是另一个数的100倍”，再根据两数之和是1.01列方程100x+x=1.01解决。第③题和第④题都是分数的和倍问题，方法和前面一样，只是第④题要先挖掘出隐藏信息即白昼和黑夜时间之和是24小时。第⑤题虽然有3个数，但乙、丙都和甲存在倍分关系，设甲为x，那么乙为（[45]x-4），丙为（[34]x+6），再根据三数之和是189列方程（[45]x-4）+（[34]x+6）+x=189解决。

以上练习，从整数和倍（差倍）问题到小数和倍（差倍）问题，再到分数和倍（差倍）问题，从无背景的数到购物、时间等情境中的数，无论怎样变化，解决的方法都是一致的，有助于学生体会模型的普适性。

（作者单位：枣阳市第一实验小学小南街校区）

责任编辑  张敏