小学数学“差倍问题”结构化教学探析

刘沩

“差倍问题”的教学重点是引导学生利用线段图等理解问题中的数量关系，提高分析与解决问题的能力。教师如何引导学生在观察、分析、推理的过程中找出单位“1”的量，并画出相应的线段图？如何引导学生运用线段图等方法找出倍数差所对应的具体量，准确分析各个量之间的关系？如何引导学生通过假设、比较、转化等方法分析并解答较复杂的“差倍问题”，构建解题模型？本期，我们讨论如何更好地教学“差倍问题”。

为应对形式千变万化的“差倍问题”，师生常常陷入题海战术的泥潭。结构化教学强调将知识、技能和思想方法整合在一个框架内，帮助学生理解知识之间的联系，形成系统的认知结构，并将其迁移到新的问题情境中。教师如何通过素养导向的结构化教学引导学生走出题海，抓住差倍问题的内核，领略数学思维的魅力呢？

一、把握问题本质，奠定结构化根基

差倍问题作为小学数学问题中的典型题型，其知识结构和解题方法具有较强的迁移性。因此，把握差倍问题的本质，构建结构化的知识框架，是学生摆脱题海战术，提升数学思维能力的关键。

差倍问题的核心在于“差”和“倍”这两个概念。教学中，教师应引导学生理解“差”指两个数量之间的差距，“倍”表示两个数量之间的比率关系。例如，面对“小明比小红多5支铅笔，小明的铅笔数量是小红的3倍”这类问题，学生需要清晰地认识到“5支”代表的是数量之差，“3倍”代表的是数量之比。

为了帮助学生直观地理解“差”与“倍”的关系，教师可以引入线段图、方格图等模型图示。如上述例题可以这样画线段表示：小红的铅笔数量用一条线段表示，小明的铅笔数量用三条相同长度的线段表示，多出来的两条线段就代表“差”的量，即5支铅笔。通过图示，学生可以清晰地看到小明的铅笔数量是3份，小红的铅笔数量是1份，多出来的部分正好是两者之间的“差”，即5支铅笔。这样的模型图示不仅能帮助学生理解题意，还能将抽象的数量关系具象化，为学生构建数学思维模型提供支架。

在图示的基础上，教师应引导学生提炼差倍问题的数量关系式，如“大数=小数×倍数”“大数-小数=差”“（大数-差）÷小数=倍数”等。通过将文字描述转化为简洁的数量关系式，学生能更清晰地把握问题的本质，构建该问题的数学语言，为后续解题奠定基础。例如，教学“已知两个数的和与差，求这两个数”这类问题时，教师可以引导学生通过画线段图，理解两个数的和相当于两条线段的总长度，而它们的差相当于两条线段相差的长度，在此基础上，通过直观观察推导出“较大的数=（和+差）÷2”“较小的数=（和-差）÷2”。

二、剖析认知规律，搭建结构化框架

小学生的认知发展处于具体运算阶段，他们的思维以形象思维为主，抽象思维能力不强。因此，在差倍问题的结构化教学中，教师需要关注学生的认知特点，搭建符合其认知水平的结构化学习框架。具体来说，教师可以从以下两方面着手：一方面，将抽象的数学概念与学生的生活经验相结合，借助直观教具和生活实例帮助学生理解“差”和“倍”的概念；另一方面，遵循循序渐进的原则，将差倍问题分解成一系列难度递增的子问题，引导学生逐步构建完整的知识结构。

以“倍”概念的教学为例，教师可以借助学生熟悉的物品进行演示，例如将相同数量的苹果分别放在两个盘子里，其中一个盘子里的苹果数量是另一个的两倍。通过直观演示，学生可以轻松地理解“倍”概念。此外，教师可以引导学生在日常生活中寻找倍数关系的例子，如自己的年龄是弟弟的两倍等，让学生通过抽象概念与生活经验的结合更好地理解和记忆数学知识。

在结构化教学中，教师应按照知识发生、发展的逻辑和学生的认知规律分解、细化知识点，构建层层递进的学习内容，让学生拾级而上。例如，教师可以从简单的问题“已知小的数和倍数，求大的数”入手，待学生熟练掌握其解法后，逐步展开“已知大的数和倍数，求小的数”“已知大的数和差，求小的数”等难度较高问题的教学，帮助学生逐步形成结构化认知，实现学习进阶。

在学生掌握了基本的解题思路后，教师应逐步加大题目的复杂程度，或是将“差倍问题”与其他类型的问题结合，或是在实际情境中设置问题，引导学生综合运用所学知识解决问题。例如，教师可以联系“鸡兔同笼”问题，设计“已知鸡和兔的总数量以及鸡比兔多（或少）多少只，求鸡和兔各有多少只”的题目，也可以联系购物等生活情境设置问题，引导学生利用“差倍问题”的解题思路计算商品的价格、数量等，让学生感受到数学知识在生活中的应用价值。

三、聚焦变式训练，强化结构化应用

结构化教学要关注知识的传授，更要注重培养学生应用知识解决问题的能力。为了帮助学生将差倍问题的结构化知识应用于实际问题解决，教师需要设计有效的变式训练，引导学生在不同的问题情境中灵活运用所学知识。变式训练的目的是通过改变问题的非本质特征，引导学生发现问题的共性规律，进而把握问题的本质，达到举一反三、触类旁通的学习效果。

变式训练的关键在于“变”，即在保持问题本质不变的情况下，通过改变条件引导学生从不同的角度思考问题，从而加深学生对知识的理解，提高学生灵活解决问题的能力。教师可以在原有题目的基础上改变其中一个或多个条件，引导学生分析条件变化对解题思路的影响。例如，教师可以将“小明比小红多5支铅笔，小明的铅笔数量是小红的3倍”这道题的条件改为“小明比小红少5支铅笔，小红的铅笔数量是小明的3倍”，引导学生思考如下问题：①原来是“多”，现在是“少”，数量关系发生了怎样的变化？②“差”还是原来的“差”吗？如何用线段图表示新的数量关系？③解题的思路和方法需要怎样调整？这种变式训练能帮助学生跳出机械套用公式的思维定式，真正理解“差倍问题”的本质即两个数量之间既存在倍数关系又存在差的关系。

教师也可以变换问题情境，将差倍问题融入实际生活情境中，引导学生灵活运用所学知识解决实际问题。例如，对“小明比小红多5支铅笔，小明的铅笔数量是小红的3倍，小明有多少支铅笔？”的问题，教师可以进行情景变式：“商店正在进行促销活动，一支钢笔的价格是一支铅笔的3倍，并且比一支铅笔贵5元。小明购买了一支钢笔和一支铅笔，共花费了13元。请问一支铅笔多少元？”通过对比，我们可以看出，变式问题将“差倍问题”融入更贴近生活的购物情境中，并设置了更复杂的数量关系，有利于学生思维能力的提升。

教师还可以鼓励学生自主设计问题并尝试解答，进一步提升学生分析问题、解决问题的能力。在“我是小小出题人”活动中，学生设计出多种多样的差倍问题。例如：“我今年9岁，妈妈的年龄是我的年龄的5倍多2岁，10年后妈妈的年龄是我的年龄的几倍？”“小红和爸爸的体重和是106千克，爸爸的体重是小红的4倍多1千克，请问小红和爸爸的体重分别是多少千克？”通过自编问题，互相解答问题并展开评价，学生巩固了知识，提升了思维能力。学生完成练习后，教师可以引导学生回顾解题思路，分析解题过程中遇到的障碍及相应的解决方法，并进行归纳、总结，形成个人的解题策略。

总之，差倍问题的教学绝非符号的堆砌，而是思维的碰撞，教师要引导学生运用结构化思维洞悉其数学本质，实现从解题到解决问题的跨越，更好地迎接未来学习和生活中复杂多变的问题所带来的挑战。

（作者单位：黄石市中山小学）

责任编辑  刘佳