指向建模力提升的核心任务设计与实践

刘霞

【摘   要】《义务教育数学课程标准（2022年版）》将百分数知识从“数与代数”领域移至“统计与概率”领域。在学生理解百分数的数学意义及初步感受其统计意义的基础上，教师设计了“标准我来定”的核心任务，开展了“制定班级仰卧起坐标准”的活动，引导学生经历建模过程。同时，以识别、联结、解答和应用四个要素为依托，制定评价量规，并结合教学实践中收集的数据，分析学生建模力的水平层次，由此提出教学改进对策。

【关键词】制订标准；数学建模力；核心任务

《义务教育数学课程标准（2022年版）》（以下简称“2022年版课标”）对百分数知识进行了调整，将其从“数与代数”领域移至“统计与概率”领域。同时，建议“利用现实问题中的随机数据引入百分数的学习”，以凸显百分数的统计意义。基于此教学理念，笔者设计了“标准我来定”的核心任务，在学生理解百分数的数学意义及初步感受其统计意义的基础上，开展了“制定班级仰卧起坐标准”的活动，引导学生经历建模过程，提升数学建模力。

一、核心任务与量规设计

制定标准的过程能够考查学生识别理解仰卧起坐数据信息，及运用百分数知识解决问题方面的能力，涉及简化与联结、解答与说理、反思与归纳、内化与迁移等过程。基于此，可从“识别理解、表征联结、解答反思和解释应用”四个层次出发，引导学生构建“标准我来定”任务的模型（如图1）。

（一）核心任务设计及意图

“标准我来定”任务的建模过程相对比较开放，但围绕这一过程所设计的核心任务应是明确且有序列的，学生可采用小组合作的方式完成。具体的任务设计如表1所示。

（二）“建模力”测评量规设计

“标准我来定”任务的评估量表将学生的建模能力分为识别理解、表征联结、解答反思和解释应用四个水平层次，具体解析如表2所示。

二、实践过程与结果分析

本次实证研究以“标准我来定”任务为驱动，在杭州市的两所城区学校和一所农村学校各选取了一个六年级班级展开教学实践，并对这三个班共125名学生进行了建模力测评。下面将结合学生课堂生成作品及课堂交流，对学生的建模水平进行整体分析。

（一）总体把握，明确整体水平

为确保评估的精准性，笔者在整理数据时，将量表的四个水平层级分别用“0～3”进行赋分。平均分达到2分为优秀，达到1.5分为良好，1分以上为合格。四个水平层级的具体均值如表3所示。

统计结果显示，水平1、水平2、水平4层级的均值达到良好，表明大部分学生能够确立一种标准。进一步分析发现：表征联结层级的均值低于识别理解层级，说明思考与实践之间存在一定差距；解答反思层级的均值最低，表明学生并未充分理解“样本数据的大小及各层级人数占比”对标准的影响；解释应用层级的均值高于解答反思层级，说明班级内的交流与分享对部分同学产生了积极影响，也验证了合作交流的重要性。

总体来看，针对现实问题，学生主动运用百分数知识进行建模的水平并不乐观。因此，有必要展开进一步分析，找准学生困惑点，有针对性地开展教学实践。

（二）逐级分析，找准学生困惑点

下面从四个水平层级出发，对学生的表现进行深入分析，以找准学生的学习困惑点。

1.能基于现实情境识别关键信息，但信息关联能力较弱

识别理解是建模的第一环节，只有对问题形成清晰的理解，才能顺利进入表征和建模环节。实践数据统计显示，学生能从“学号”信息中读取“总人数”信息，但只有32.00%的学生能综合考虑仰卧起坐个数和人数占比两个信息来制定标准，大部分学生只能借助一个信息来制定标准，而未能充分理解另一个信息在标准制定中的价值。

2.能依据一定规则构建模型，但标准缺乏合理性

表4为学生在表征联结层级的具体表现。由表4数据可知，88.00%的学生能够根据自己的理解，建立一套属于自己班级的仰卧起坐标准，构建初步模型。然而，学生并未关注所构建的模型是否合理。所以，当他们面对一个相对开放的问题情境时，就会因为缺乏多元信息的联结力，导致标准制定缺乏合理性。

表4 表征联结层级的具体表现

[具体表现      人数/人   占比       0分：无法制定标准     15    12.00%   1分：按照人数或者个数划分出3～6个层级，能正确计算出占比，也能够对分层过程进行简单说理       39    31.20%   2分：标准制定过程中，能按照仰卧起坐个数划分等级，并结合人数占比进行适当的调整    37    29.60%   3分：能够发现不同标准的相同点和不同点，并对标准进行优化 34    27.20%       ]

3.能对所建模型的合理性进行思辨，但反思说理不够到位

在开展班级标准制定这一活动后，教师设计了“与较大样本对比、与国家标准对比、修正自定标准”的问题链，引导学生思辨自身所制定标准的合理性。从实践情况来看，学生对标准的适用范围和统计意义有一定的理解，但只有25.60%的学生能结合百分数的统计意义合理地说理（如表5）。

4.能结合评估模型和现实数据进行预测、解释，但决策能力较弱

解释应用环节考查学生对百分数统计意义的理解与将所建模型应用到同类情境中的能力。从实践情况来看，相较于标准制定环节，解释应用环节的活动进展得较为顺利，这说明思辨过程使学生对百分数的统计意义和所建模型的代表性有了更深入的理解。大部分学生能结合评估模型和现实数据进行预测、解释，但整体决策能力仍有待提升，仅有24.00%的学生能结合分析结果给出改进建议。

三、教学思考

培养数学建模力既能推动学生对数学意义的理解，也能促使学生从数学角度审视现实世界，并解释其中的现象。那么，如何提升学生运用百分数知识进行建模的能力呢？可以从以下四个方面进行思考。

（一）重视多元表征，理解知识本质

百分数是小学阶段学习的统计量之一。如何构建百分数的模型，影响着学生对百分数意义的理解。而多元表征方式为学生深度理解知识提供了可视化支持。在教学百分数知识时，教师可以呈现确定量和不确定量的素材，借助图式表征，帮助学生构建百分数的统计意义和数学意义。

（二）注重信息联结，简化现实情境

将现实情境简化为数学情境是数学建模的关键步骤。在这一过程中，学生需要具备较强的信息关联能力，并借助包含多元信息的问题情境进行实践。例如，在完成“标准我来定”的核心任务之后，教师可让学生结合相关数据进行思辨：“同一件衣服，三家店铺都有销售，应从哪家购买？”并做出决策。解决这一问题时，学生需关联“粉丝数”和“好评率”等相关数据，对情境进行简化。

为提升学生的信息关联能力，教师可以设计如下思考序列：（1）从题目中可以获取哪些信息？（2）根据这个信息，你能知道什么？需要解决什么数学问题？（3）你的结论是什么？（4）你的想法是什么？由此，帮助学生养成看到数据就能产生关联的习惯，进而提升简化能力。

（三）培养反思意识，修正建模路径

在建模过程中，学生需要不断反思并修正自己的建模方向。可见，反思意识是建模力提高的重要因素。采用小组合作的学习方式，有助于促进学生间的信息交流和思维碰撞，进而提高学生的反思意识。为此，在标准制定任务中，教师可以设计如下的问题解决序列：（1）独立完成，写出想法；（2）小组交流分享；（3）反思修改；（4）全班汇报交流；（5）反思验证。这样的问题解决序列既给予学生独立思考的时空，也给予他们交流碰撞的机会。

（四）创设优质情境，拓宽应用范围

建模力的培养要以真实情境作为载体，并设计优质且多领域的问题。2022年版课标将百分数知识从“数与代数”领域调整到“统计与概率”领域，凸显了百分数的统计意义。因此，教师可关注命中率、达标率等典型统计素材，将其作为模型建构与拓展的载体，以提升学生的建模能力。

综上所述，数学模型用数学语言讲述现实世界中与数量、图形有关的故事。指向建模力的数学核心学习任务的设计与实践，能使数学走出书本，构建起数学与现实世界间的桥梁。

参考文献：

［1］史宁中.数学基本思想18讲［M］.北京：北京师范大学出版社，2016.

［2］蔡金法，刘启蒙.读懂每一个学生：课堂评估的目的、设计、分析和使用策略［M］.上海：上海教育出版社，2022.

［3］王田，周达，谢志勇，等.小学生数学建模能力结构模型的建构研究［J］.数学教育学报，2023，32（12）：72-80.

（浙江省杭州市富阳区灵桥镇中心小学）