数学建模力：内涵、价值与测评工具设计

小学数学建模力的内涵思考与教学应用

《义务教育数学课程标准（2022年版）》中强调，数学课程要使学生“能够在现实生活与其他学科中构建普适的数学模型，表达和解决问题”。作为结构的模型与作为过程的建模是数学模型的两个方面。数学建模力的培养尤为关键。加强小学数学建模过程与能力测评的研究，有助于在课堂教学中落实数学核心素养。为此，葛素儿老师和她的研究团队，结合相关教学实践，对小学数学建模力的内涵、价值与测评工具设计和培育路径进行了思考与实践。本期特刊发她们的部分研究成果，为广大教师落实关键学力测评提供实证研究样例，进而培育学生的数学核心素养。

【摘   要】模型意识包括作为结构的模型与作为过程的建模两方面内涵。教师从模型与建模的角度对数学建模力进行阐述，并尝试从评估量表和任务两个层面设计小学数学建模力测评工具，从而在观照模型意识的同时，助推“三会”核心素养在课堂教学中的落实。

【关键词】模型意识；数学建模力；测评工具

数学的基本思想，即抽象、推理、模型，为实现由现实到数学、数学内部发展、由数学到现实提供了思维功能［1］。其中，建模所对应的基本思想是模型。它一直以来都是中小学数学教育的焦点，被众多国家列为数学课程的培育目标。例如，美国于2010年发布的《州共同核心数学课程标准》将数学建模列为贯穿小学、初中和高中阶段的八个数学实践之一［2］。我国的《义务教育数学课程标准（2022年版）》（以下简称“2022年版课标”），则分别以“模型意识”“模型观念”及“数学建模”三个层级，体现从小学至高中阶段的素养进阶。这充分体现了数学建模的重要性。

数学建模在小学数学教学中无处不在。尽管相较于初中、高中，小学数学的建模要求较低，但这并不意味着小学数学可以忽视对建模的研究。数学建模能够启发小学生使用数学工具的意识，并为他们未来建立更加复杂的模型打下基础［3］。2022年版课标强调“能够在现实生活与其他学科中构建普适的数学模型，表达和解决问题”的过程，即要求依托数学建模来解决问题。因此，加强小学数学建模过程与能力测评的研究，能使模型意识的内涵更为清晰，表现水平更为具体，有助于“三会”核心素养在课堂教学中的落实。

一、数学建模力的内涵与要素

（一）模型与建模

一般认为，数学模型是为了达到某种目的，用字母、数字及其他数学符号建立起来的等式、不等式以及图表、图像、框图等描述客观事物的特征及其内在联系的数学结构表达式［4］。这是对“模型”广义上的理解。在广义范畴内，学习过程中的知识、思维和方法结构均可视为模型。

从结构视角来看，“模型”是作为名词来理解的。但它同时也可作为动词进行解释，以强调建模的过程（如图1）。建模强调形成数学结构的过程，是一个联系现实世界（观察行为或现象）和数学世界（模型、数学运算和发展以及数学结论）的过程［5］107。

（二）模型意识与数学建模力

《义务教育数学课程标准（2011年版）》强调“模型思想的建立是学生体会和理解数学与外部世界联系的基本途径”。2022年版课标提出，“模型意识主要是指对数学模型普适性的初步感悟”，感悟模型的普适性需经历“能够认识到现实生活中大量的问题都与数学有关，有意识地用数学的概念与方法予以解释”的建模过程。因此，模型意识的内涵包括作为结构的模型与作为过程的建模两方面。发展模型意识需要将现实问题数学化，形成一般化的数量关系结构，构建数学模型，再将数学模型应用到现实问题的解决中［5］109。

那么，何谓数学建模力？《普通高中数学课程标准（2017年版）》将“数学建模”界定为“对现实问题进行数学抽象、用数学语言表达问题、用数学方法构建模型解决问题的素养”。与高中数学建模不同的是，小学数学建模活动更多是运用建模思想引导学生经历数学“再创造”的过程。根据相关课程标准对“模型意识”“数学建模”的界定、学业要求及小学生的学习水平，给小学数学建模力下一个定义：学生识别现实情境中的数学信息，运用文字、图表等形式建立信息之间的关联，以多元表征的方式解决问题，概括归纳一般化模型，并尝试迁移应用到一类问题的能力。

（三）数学建模力的核心要素

小学数学建模力的建构过程（如图2），是一个由“现实情境”转化为“数学问题”，经历解决问题的过程后再回到现实情境应用的过程。该过程强调识别与理解、表征与联结、解答与说理、检验与反思、解释与归纳、内化与迁移等数学活动，相对弱化建模过程中的假设、调整与验证。其核心要素是简化、求解与应用。

“简化”主要是指学生能识别与理解现实情境中的关键信息，能用文字、图表等多元表征的方式联结有效信息，能将现实情境转化为现实问题，进而转化为数学问题的能力。例如，面对“用12幅边长是2分米的作品设计‘绘画园地，并在其四周贴上花边，如何设计才能使贴的花边最短”这一现实情境，学生需识别与关联“作品形状”和“作品组合方式”两个关键要素，将“如何设计花边最短”的现实问题简化为“如何使周长最短”的数学问题。问题简化是数学建模的关键环节。

“求解”主要是指学生能从不同角度思考问题，能用多种方法解决问题，形成正确结论并进行说理，能反思与优化解决问题的方案，形成初步建立模型的能力。例如，在求解“如何设计花边最短”的问题时，学生尝试用1×12、2×6或3×4等不同组合方式进行表征，结合计算、对比、说理等活动，初步发现“边的重合”与“周长”的关系，得到“3×4”的组合为最优方案。问题求解是小学数学建模的核心环节。

“应用”主要是指学生能归纳出一般化数学模型并作出解释，能运用数学模型解决同类问题的能力。例如，学生在得出“如何设计花边最短”的方案之后，能从“边的重合数”的角度进行解释，初步归纳出“所拼图形最接近正方形（即长与宽最接近）时周长最短”的数学模型。随后，学生能将该模型迁移应用到长方形或长方形、正方形组合的周长何时最短等同类情境中。模型应用是小学数学建模的拓展环节。

二、小学数学建模力培养的价值取向

数学学习本质上是数学建模的过程，侧重于理解、联结与应用，具有多元化的价值。

（一）重视理解，经历数学化

数学化是把不同层次的常识进行提炼和组织，凝聚而成的概念、性质、关系和规律，包括横向数学化与纵向数学化，基本方式是模型化与结构化（如图3）。［7］学生可在理解知识互译的过程中，体验“再创造”的数学建模过程。

例如，在“小数的初步认识”的教学中，学生围绕人民币模型、面积模型和线段模型完成“寻找0.7元”和借助米尺“寻找0.7”两个任务，经历“找一找、圈一圈、涂一涂、标一标、说一说”等多元表征活动，初步建立十进分数与一位小数的联系。在此基础上，将0.7元、0.7米和0.7分米的直观图示进行对比思辨，进而抽象出数轴模型，强化单位细分的“十进”关系。这一过程经历了从现实原型到面积模型、线段模型，再到数轴模型的转化，体现了数学化。

（二）关注联结，促进结构化

在学习过程中，既有静态储蓄型的知识联结，也有动态转换型的思维过程联结，更有自我更新型的方法观念联结［8］。在数学建模的过程中，学生需经历从知识联结到思维联结再到方法观念联结的发展过程。例如，在构建植树问题模型时（如表1），将“植树问题”简化为“包含除问题”，将“棵数、间隔”抽象为“点段模型”，借助实物图、线段图等多元表征的方式寻求数学问题的解决方案，体会植树问题中“一一对应”的数学思想，概括归纳出“总长÷间隔=棵数”的一般化模型；再结合现实情境对模型进行验证与优化，并迁移应用到公交车站、路灯、台阶、锯木头等现实情境模型中。由此可见，在知识、思想与方法的联结过程中，体现了结构化。

（三）强调应用，突出一般化

从特殊到一般的概括归纳，将一个问题的解决拓展为一类问题的解决，是数学建模不可或缺的环节。例如，“用数字1、2、3、4、5编一个三位数乘两位数的算式，如何组合能使算式的积最大或最小”这一问题，实际上是对周长、面积变化规律的拓展应用。在解决这一“新问题”时，可以先将其还原为三位数乘两位数的数学问题，让学生尝试用面积模型对算式进行拆分，然后在对图、式与义进行表征联结和解释的基础上，将“周长一定，长和宽越接近，面积越大”的几何模型进一步改造为“和一定，差越小，积越大”的代数模型。这一过程体现了一般化思想。

三、小学数学建模力测评工具的初步构建

研发测评工具是实现“学—教—评”一致性的重要手段，它能够为教师在数学课堂教学中贯彻建模思想以及培养小学生数学建模力提供评价依据。

（一）小学数学建模力测评工具的设计

借鉴蔡金法教授的观念，侧重数学建模“循环”过程的评估包括问题、规划、计算、解释、验证与报告六个环节［6］126。结合王田等学者的观点，小学数学建模能力可分为数学建模元认知能力与数学建模过程能力两部分，其中数学建模过程能力可以进一步分为理解信息、建立模型、数学运算和解释验证四个维度［9］。此外，章勤琼博士提出模型意识具有识别、表征、抽象及概括这四个层次的表现［5］109。

综合参考上述评估工具，以及本研究对小学数学建模力的界定，笔者从识别、简化、求解与应用四个维度尝试设计了评估量表（如表2），以评估学生在建模过程中的能力水平。

识别理解水平主要评估学生是否能识别关键信息并理解其蕴含的意义；表征联结水平主要评估学生是否能借用表征手段，将现实问题简化为数学问题，并尝试初步建立模型；解答反思水平主要评估学生运用已有知识、思维和方法结构解决问题，以及对形成的方案、结论进行说理、反思与归纳的能力；解释应用水平主要评估学生概括归纳一般化模型，以及运用模型进行解释与应用的能力。鉴于学生间存在能力差异，教师可在该量表基础上对各水平层次进行细化或通过赋分（0～4分）具体量化学生水平，从而更加精准地评估学生的建模力。

（二）小学数学建模力测评任务的编制

评估量表一方面可以作为数学课堂学习任务的评价标准，另一方面也可以用来开展小学生数学建模力的专项测评。

1.作为驱动学习的建模任务编制

编制作为驱动学习进程的建模任务，需结合现实生活与数学知识设计问题情境，在此基础上，根据评估目标设计进阶任务与评价量规。以“百分数的再认识”教学内容为例，笔者设计了核心任务“标准我来定”（如表3）的建模任务。该建模任务让学生在理解百分数的数学意义和初步感悟百分数的统计意义的基础上进行探究，并有测评工具作为评估依据，任务设计的针对性更强。

学生完成“标准我来定”任务的过程，其实就是经历“识别理解—表征联结—解答反思—解释应用”进行建模的过程。让学生自主设计所在班级仰卧起坐水平的评估模型，既是对百分数的统计意义的灵活应用，也是对学生数学建模力的培养。

2.作为专项测评的建模任务编制

专项测评有助于评估小学生的建模力，发现其在建模过程中存在的问题，并基于数据驱动教师改进教学，实现循证实践。那么，如何设计一份评估目标清晰的建模任务呢？以“租船任务”（表内乘法的拓展）为例，为评估二年级学生对乘法意义的理解及其对乘法分配律的前认知水平，笔者以春游中的“租船问题”为情境编制了相应的建模力评估量表（如表4），以此展开测评。该测评在“表内乘法”单元结束后进行，测评时，问题（1）～（2）和问题（3）～（4）分两次布置，具体如下。

二年级小朋友去坐游船，小船和大船各租了12条，每条船都坐满。

（1）你知道了哪些数学信息？你能提出什么数学问题？

（2）你准备怎么解决这些数学问题？请你先画一画、算一算，再把自己的想法写下来。

（3）乐乐是用下面两种方法解决问题的，他采用的方法和你的方法一样吗？请你先根据点子图填一填，再写一写自己的发现。

[2×12=（  ）×（  ）+（  ）×（  ）=（  ）

]

我发现：

4×12=（  ）×（  ）+（  ）×（  ）=（  ）

（4）你能用上面的方法来解决“每张门票要6元，12人需要付多少钱”这个数学问题吗？你是怎么想的？

乘法分配律模型的建构属于长程设计过程，教师可以在小学二年级“表内乘法”单元教学中加以渗透。通过专项评估可以发现，有40%的学生具备初步的“拆分”意识，这为在“表内乘法”教学中渗透“乘法分配律”模型提供了佐证依据。

综上所述，数学建模可以看作一种学习与理解数学的教学活动，侧重于用模型思想去理解数学的各种抽象模式，包括概念、关系与结构。加强小学数学建模力的培养和评估，在关注模型意识的同时，还培育了学生的“三会”核心素养。当然，建模是一个相对复杂的过程，在后续研究中，还需要进一步关注学生在感悟“数学模型的普适性”过程中的元认知能力。

参考文献：

［1］史宁中.漫谈数学的基本思想［J］.中国大学教学，2011（7）：9-11.

［2］全美州长协会和首席州立学校官员理事会.美国州际核心数学课程标准：历史、内容和实施［M］.蔡金法，孙伟，江春莲，等译.北京：人民教育出版社，2016．

［3］美国数学及其应用联合会，美国工业与应用数学学会.数学建模教学与评估指南［M］.梁贯成，赖明治，乔中华，等译.上海：上海大学出版社，2017．

［4］刘琳娜，刘加霞.数学建模思想在小学数学教学中的有效渗透［J］.小学教学（数学版），2018（7/8）：35-39.

［5］章勤琼，陈肖颖.小学数学模型意识的内涵、表现与教学：兼论核心素养的表现性目标［J］.课程·教材·教法，2024，44（1）：106-113.

［6］蔡金法，刘启蒙.读懂每一个学生：课堂评估的目的、设计、分析和使用策略［M］.上海：上海教育出版社，2022.

［7］刘加霞.数学化：“是什么”与“怎么做”［J］.教学月刊·小学版（数学），2022（7/8）：1.

［8］葛素儿.数学联结力：内涵、价值与测评列举［J］.小学数学教师，2023（5）：5-9.

［9］王田，周达，谢志勇，等.小学生数学建模能力结构模型的建构研究［J］.数学教育学报，2023，32（6）：72-80.

（浙江省杭州市富阳区教育发展研究中心）