光学性质剖析，实例探究思考

［摘 要］ 众多圆锥曲线含有光学性质，探究特性、总结规律、生成结论，有助于分析推理圆锥曲线问题. 文章以抛物线为例，探究总结其光学性质并证明归纳，结合实例应用探究，提出教学建议.

［关键词］ 圆锥曲线；光学性质；抛物线；平行；等角

众多圆锥曲线含有光学性质，常见的有抛物线、双曲线、椭圆和圆，其光学性质可广泛应用于问题条件的推导，可降低思维难度. 下面以抛物线的光学性质为例，分三个环节进行探究：环节1，引例探究，挖掘特性；环节2，特性探究，证明分析；环节3，应用探究，实例剖析.

引例探究

以抛物线为例，其具有以下光学性质：从焦点发出的光线经抛物线反射后平行于抛物线的对称轴. 该特性在实际生产中的应用非常广泛.

问题 如图1所示，从抛物线y2=2px（p>0）的焦点F发出的两条光线a，b分别经抛物线上的A，B两点反射，已知两条入射光线a，b与x轴的夹角均为60°，且两条反射光线a′和b′之间的距离为，则p的值为______.

解析 抛物线y2=2px（p>0）的焦点F

，0

. 由于∠OFA=60°，所以直线AF的方程为y-0=-

x-

，即y=-

x-

. 联立直线AF与抛物线的方程，有

y=-

x-

，

y2=2px，整理得3

x-

=2px，解得x=或x=，可得A

，

.

同理直线BF的方程为y-0=·

x-

，即y=

x-

. 联立直线BF与抛物线的方程，有

y=

x-

，

y2=2px，可得B

，p

.

所以

y

-y=p=，解得p=2.

评析 上述问题的图象涉及抛物线的光学性质，解析时可采用联立方程求点的方法，确定关键点的坐标，进而推导出特征参数p的值.

光学性质探究

上述引例围绕抛物线的光学性质构建，下面具体探究其光学性质，并从几何、代数两大视角出发加以证明.

1. 光学性质的描述

光学性质：从抛物线的焦点发出的光线，经过抛物线上一点反射后，反射光线与抛物线的对称轴平行，如图2所示. 反之，平行于抛物线的对称轴的光线照射到抛物线上，经反射后都通过抛物线的焦点.

2. 光学性质的证明

（1）几何证明（以y轴为对称轴的抛物线为例）

根据抛物线的光学性质可知，其中涉及光线的反射知识，显然入射角等于反射角，存在几何等角关系.

已知：如图3所示，抛物线C：x2=2py（p>0），焦点F

0，

，j是过抛物线上一点D（x，y）的切线，A，B是直线j上的两点（不同于点D），直线DC平行于y轴. 求证：∠FDA=∠CDB（入射角等于反射角）.

[x][y][m][D′][F] [D][C][B][A][图3][j][O]

证明 作抛物线的准线m：y=-，延长CD交m于点D′

x，-

，则DF=DD′. 由于C：x2=2py（p>0），可得C：y=. 下面讨论x取值下的情况：

①当x≠0时，直线j的斜率k=，直线FD′的斜率k==-，两条直线的斜率之积为-1，所以直线j垂直平分线段FD′，则∠FDA=∠D′DA=∠CDB.

②当x=0时，点D（0，0），此时直线j为x轴，结论显然成立.

综上所述，结论成立.

（2）代数证明（以x轴为对称轴的抛物线为例）

根据抛物线的光学性质可知，从抛物线的焦点发出的光线照射到抛物线上，经反射后的光线平行于x轴，即斜率为0.

已知：如图4所示，抛物线C：y2=2px（p>0），F是抛物线的焦点，从抛物线的焦点发出的光线照射到抛物线上的点M处. 求证：经反射后的光线平行于x轴.

证明 设M

，y

，过点M的抛物线的切线为l：x=t（y-y）+，入射光线FM的反射光线为MN. 由y2=2px，

x=t（

y-y）+

得y2-2pty+2pty-y=0，故Δ=4p2t2-8pty+4y=0，得t=，所以切线l的斜率k=.

设直线l与直线FM的夹角为α，直线MN与直线l的夹角为β，则由tanα=tanβ可得=，所以=，解得k=0，即经反射后的光线平行于x轴.

综合应用

抛物线的光学性质是高中数学的特殊内容，在实际考查时有多种形式，常从知识综合角度命题，下面结合实例探究其综合应用.

1. 给定平行距离，探求方程

例1 光学是当今科技的前沿和最活跃的领域之一，抛物线有如下光学性质：由其焦点射出的光线经抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出. 今有抛物线C：x2=2py（p>0），一平行于y轴的光线从上方射向抛物线上的点P处，经抛物线两次反射后，又沿平行于y轴方向射出. 已知两平行光线间的最小距离为8.

（1）求抛物线C的方程；

（2）若直线l：y=x+m与抛物线C相交于A，B两点，以点A为顶点作△ABN，使△ABN的外接圆圆心T的坐标为

3，

，求弦AB的长.

思路分析 本题以抛物线的光学性质为背景，构建直线、三角形，开展综合探究. 可通过把握其光学性质，结合圆锥曲线的相关知识进行转化，构建思路.

（1）由题意设直线PQ的方程为y=kx+（k∈R），然后联立直线PQ与抛物线C的方程并整理为二次方程，后续运用韦达定理得x+x=2pk，xx= -p2. 又两平行光线间的距离d=

x

-x=≥2p，所以2p=8，进而求得抛物线C的方程.

（2）设A（x，y），B（x，y），A，B两点的中点M（x，y），联立直线AB与抛物线C的方程，把握其中的垂直关系（MT⊥AB），将其转化为斜率之积等于-1的条件，从而构建方程，利用弦长公式求得结果.

过程解析 （1）设P（x，y），Q（x，y），抛物线的焦点坐标F

0，

. 设直线PQ的方程为y=kx+（k∈R），联立直线PQ与抛物线C的方程，有x2=2py，

y=kx+，整理得x2-2pkx-p2=0. 由韦达定理得x+x=2pk，xx=-p2，则两平行光线间的距离d=

x

-x=≥2p，所以2p=8，得抛物线C的方程为x2=8y.

（2）设A（x，y），B（x，y），A，B两点的中点M（x，y）. 联立AB与抛物线C的方程，有x2=8y，

y=x+m，整理得x2-8x-8m=0，则其判别式Δ>0⇒m>-2. 由中点坐标公式可得x==4，y=4+m. 因为MT⊥AB，故k·k=-1，即·1=-1，解得m=. 所以，x2-8x-9=0⇒x=-1，x=9.由弦长公式可得AB=

x

-x=10.

评析 上述问题以抛物线的光学性质为背景，给定入射光线与出射光线之间的距离，求解抛物线的方程. 问题涉及联立方程法、直线与抛物线的位置关系，以及韦达定理等知识.

2. 综合光学性质，探求弦长

例2 圆锥曲线有着令人惊奇的光学性质，这些性质均与它们的焦点有关. 例如，从椭圆的一个焦点发出的光线照射到椭圆上，经反射后的光线通过椭圆的另一个焦点；从抛物线的焦点发出的光线照射到抛物线上，经反射后的光线平行于抛物线的对称轴. 某市进行科技展览，其中一个展品就利用了圆锥曲线的光学性质，此展品的一个截面由一条抛物线C和一个“开了小孔”的椭圆C构成（小孔在椭圆的左上方）. 如图6所示，椭圆与抛物线均关于x轴对称，且抛物线和椭圆的左端点都在坐标原点，F，F为椭圆C的焦点，同时F也为抛物线C的焦点，椭圆的短轴长为2，在F处放置一个光源，其中一条光线经过椭圆两次反射后再次回到F，经过的路程为8. 由F发出的某些光线经椭圆反射后穿过小孔，再由抛物线反射后不会被椭圆挡住.

（1）求抛物线C的方程；

（2）若由F发出的一条光线经椭圆C上的点P反射后穿过小孔，再经抛物线C上的点Q反射后刚好与椭圆相切，求此时的线段QF的长；

（3）在（2）的条件下，求线段PQ的长.

思路分析 本题同样以抛物线的光学性质为背景构建模型，融合了抛物线、椭圆、直线等图形. 本题共三问，分别设有条件，各问既相互独立，又存在一定的联系.

（1）该问求抛物线C的方程，需求出其焦点的坐标.

（2）该问设定光线在抛物线与椭圆中的反射形式，探究线段QF的长，可结合抛物线的光学性质推导条件. 设点Q的坐标，先代入抛物线C的方程求出其坐标，然后结合两点间的距离公式求解.

（3）该问是在第（2）问条件下的进一步分析，求线段PQ的长可分三步：第一，先求出直线QF的斜率，进而求出tan∠QFF=-4；第二，结合∠QFF+∠PFF=π推得tan∠PFF=4，再求出cos∠PFF=；第三，结合余弦定理求出线段PQ的长.

过程解析 （1）设椭圆C的长轴长为2a，短轴长为2b，焦距为2c，由题意可知2b=2，4a=8，得b=，a=2，则c==1. 所以，抛物线C的焦点为F（1，0），可得抛物线C的方程为y2=4x.

（2）因为光线经过抛物线的焦点，根据抛物线的光学性质可知，光线经抛物线反射后平行于x轴，所以点Q的纵坐标为，故设Q（x，），代入抛物线C的方程得x=，即Q

，

. 又F（1，0），所以

QF==.

（3）由第（2）问可知，QF所在直线的斜率为k=-4，即tan∠QFF= -4.结合∠QFF+∠PFF=π得tan∠PFF=4，∠PFF∈（0，π），所以cos∠PFF=.

设

PF=x，则

PF=4-x，已知

F

F=2. 在△PFF中，由余弦定理可得

PF2=

PF2+

F

F2-2

PF·

F

F·cos∠PFF. 所以，（4-x）2=x2+4-2x·2·，求得x=. 所以，线段PQ的长为+=.

评析 上述问题涉及抛物线的“光线平行”的性质，以及椭圆的“光线过焦点”的性质. 需要利用性质推理几何条件，简化解题过程. 对于其中求弦长或线段长的问题，可结合弦长公式、解三角形等通过转化求解.

教学思考

上述探究的是抛物线的光学性质在相应问题中的综合应用，是对新课标中关于“发展学生的数学应用意识”要求的贯彻. 在教学探究中，要立足模型，总结结论，结合实例应用分析. 下面提出几点教学建议.

建议1 注重模型解读，强调推理证明.

教学中探究抛物线的光学性质，建议关注两点：一是注重模型解读，即结合具体的模型来阐述光学性质，让学生充分理解特性内容；二是强调推理证明，对于抛物线的光学性质，要从几何与代数两大视角开展过程分析、推理证明，让学生深刻理解其定理结论.

建议2 注重性质应用，强化思路构建.

利用抛物线的光学性质，可直接推理入射光线与出射光线的平行关系，从而确定直线斜率与角度之间的关系. 解题时合理利用抛物线的光学性质可直接推理条件，简化解析过程. 因此，建议教学中注意抛物线的光学性质的应用讲解，引导学生归纳总结构建思路，掌握和运用解题策略.

建议3 实例分析探讨，适度拓展特性.

在抛物线的光学性质的教学探究中，要注意结合实例分析探讨，并适度拓展特性，从而提升学生的解题能力. 教学可分三个阶段：阶段1，引例剖析，设计常规问题，让学生初步感知光学性质；阶段2，综合探究，设计综合性问题，让学生强化应用光学性质；阶段3，拓展探究，设计拓展性问题（由于众多圆锥曲线具有光学性质，因此可构建复合模型引导学生拓展探究）.