构建思维框架 超越题型教学

［摘 要］ 目前，高三解析几何复习教学仍局限于题型教学，如何突破现状，真正发挥解析几何的育人价值？回到几何问题的本质上，超越具体题目的“现象”，培养学生“哲学式”思考习惯，以及整体把握解题方向的能力，正是解析几何的育人价值.

［关键词］ 解析几何；育人价值；“哲学式”思考习惯

问题的提出

解析几何是高三复习教学的难点，题型多样，运算量大，得分率低.在有限的复习时间内，师生都不愿意把时间花费在这块“难啃的骨头”上，害怕付出没有收获. 因此，解析几何的复习教学多停留在有限的几个专题上. 学生满足于题型学习，而不见解析几何的全貌. 复习教学突出了实践阶段的“算”，却忽略了运算之前的“想”；突出了“一题多解”，却忽略了“多题归一”.

各种各样的题型和运算能力的训练是必需的，但从育人的角度来看，它们并没有终极意义. 引导学生寻求纷繁庞杂的题型背后的统一性，构建分析问题的思维框架，并通过这个思维框架去领悟“几何问题代数化”的精髓应当成为终极追求.

构建分析问题的思维框架

高中数学的每部分内容都有自己的研究对象和研究方法，那么解析几何的研究对象是什么？它要解决的问题是什么？研究方法是什么？为了回答上述问题，我们需要详细考察几何问题的构成.

几何问题通常都有一个动点或一条动直线，而动点或动直线引起相关直线的运动，从而引起相关点的坐标的变化，多数几何问题中的相关直线或点还满足一个几何条件. 而我们要求解的就是运动变化过程中的“定、恒、最”三大问题，即固定的、恒定的、最大或最小的某一结果.

因此，几何问题通常由三部分构成，即运动变化的点或线、几何条件、几何结论. 明确了几何问题的构成后，我们再进一步提炼解题的一般步骤.

1. 引入参数

对于运动变化的点或线，通常引入参数来表示.在题目的运动变化中，如果首动元素是点，可以引入点参数（x，y）；如果首动元素是线，依据条件，可以引入斜率k或纵截距b，也可以设y=kx+b，引入两个参数. 当然，设点、设线还有其他方法，上述是常见的几种. 体现首动元素的参数（简称主参数），有着“牵一发而动全身”的地位，参数定，则图形定，相关点的坐标或其他变元也跟着确定. 因此，相关的直线方程、点坐标或其他变元都能体现主参数. 主参数类似于函数的自变量，相关点的坐标类似于函数的因变量，二者之间的关系常常体现为一个方程. 在最值问题中，主参数常常就是自变量，它是一个能贯穿所有、贯穿始终的量.

“引参”是几何问题代数化的第一步，也是运用方程思想、函数思想解决问题的第一步. 引入什么作为参数，随着我们观察图形的立足点的变化而变化，“设点”还是“设线”将影响随后的运算路径和运算量. 因此，在“引参”前，要深入理解条件之间的关系，选择一个能关联各方的量作为参数.

其实，无论是学习方程、函数，还是学习解析几何，“设元引参”都是解决问题的第一步. “设元引参”应当成为学习数学的基本素养，它是把问题“数学化”的第一步.

2. 几何问题坐标化

引入参数后，实现代数化的第二步就是把几何条件坐标化，即把几何条件转化成一个坐标的式子. 斜率和几何四大问题（平行、垂直、角度、长度〈距离〉）都有相应的坐标化公式，其中角度的坐标化需要先把角转化成它的某一个三角函数值再坐标化. 也可以运用向量的知识来实现坐标化，比如点到直线的距离（长度的一种）就可以用向量的投影长公式来实现坐标化.

坐标化的式子中既有横坐标又有纵坐标，运算时通常都要消去其中一个，保留另外一个. 我们熟悉的一些公式就是“消参”的结果. 比如，两点间的距离公式AB=，利用直线方程y=kx+b“消参”后，得到AB=

x

-x=

y

-y，这样公式中就只有横坐标或纵坐标. 类似的公式还有抛物线y2=2px（p>0）上两点连线的斜率k===，这样斜率公式中就只有纵坐标了. 利用直线方程或抛物线方程来消“一次项”是常用的“消参”方法.

有些几何条件无法直接坐标化，如四点共mB6m1BWxKqNZus2H7WQnAJFOWbJsATc0VLEV45Ko5Ek=圆，需要依条件转化成另一个几何条件再坐标化. 而有些几何条件直接坐标化将导致运算复杂，这样就需要“转化”，即把已知的几何条件等价转化成另一个几何条件再坐标化. 有时还需要挖掘图形的几何特征实现转化，例如2020年高考全国Ⅲ卷理科数学第20题，不直接把“等腰直角”坐标化，而是“挖”出直角顶点旁边的两个全等的直角三角形，进而得到对应直角边的长度相等，然后再坐标化. 再如2019年高考浙江卷数学第21题，若能想到“三角形重心连接三个顶点组成的三个三角形的面积相等”这个性质，就可以把三角形的面积之比转化成线段之比，进而转化成两个交点的纵坐标之比. 这样既减少了相关点的坐标，还缩短了运算路径，避开了运算“泥潭”. 如何转化几何条件是难点，需要对运算对象、运算途径、运算目标有整体上的把握，才能有目标、有意识地去转化.

3. 运算分析

把几何问题坐标化后，剩下的就是运算.运算的目标是什么？为什么而算？我们需要从思维上整体把握运算，即理解每一个“运算”背后的动机，寻求运算的“统一性”. 运算的目标首先是相关点的坐标，即直线与曲线（包括直线）的交点或切点的坐标.为了方便，本文只讨论直线与圆锥曲线相交的情况.

当动直线与圆锥曲线相交时，联立直线与圆锥曲线的方程，消去y（或x），得到一个关于x（或y）的一元二次方程ax2+bx+c=0（或ay2+by+c=0）（*）（方程的系数带有主参数）. 设交点坐标为A（x，y），B（x，y），则x，x（或y，y）是方程（*）的两个根.方程（*）体现了交点坐标与主参数之间的依存关系. 理论上可由求根公式分别求x，x（或y，y），但求解过程中常常采用“设而不求”的方法，为什么？因为求根公式是分式和根式的混合式，在运算过程中用求根公式分别求x，x（或y，y）会有很多不便，而且“消参”后如果x+x和x·x在坐标式中整体出现，那么就可以通过韦达定理进行整体替换，没必要分别求x，x（或y，y），所以常常用“设而不求”的方法. 是不是所有的坐标式都能通过韦达定理进行整体替换呢？当然不是. 例如（x-a）（x-b）（a≠b）这样的“非对称式”经配凑后除了有含x+x，x·x的项和常数项外，还有含x（或x）这样的单独项，这些单独项就无法通过韦达定理进行整体替换. 另外，在极少数情况下，坐标化没有同时用到两个交点A，B的坐标，而只用了A的坐标或B的坐标（A与B的作用等价），这样得到的就是一个只有一个点的坐标式. 在这类情况下，用求根公式把这个点的坐标解出来参与运算，也是一个不错的方法.

特别地，当其中一个点是曲线上的已知点时，另一个点的横坐标可由韦达定理求出来. 需要注意的是，无论是“设而不求”，用求根公式求，还是用韦达定理求，最终都要使得主参数能体现在相关点的坐标中，这是运算的第一个目标. 另外，在某些问题中，为获得相关点的坐标与主参数之间的关系，无须联立方程组，而是运用方程思想，直接把未知的相关点的坐标当作“已知”，用相关点的坐标表示直线的方程，跟主参数一起参与运算，依条件获得关于坐标的“同构方程”，然后再建立统一方程. 例如2021年全国高考甲卷理科数学第20题，过抛物线上的动点引圆的双切线，切线和抛物线的交点坐标与主参数之间的关系，就可以用“同构法”获得——此类问题用“同构法”能简化运算路径. 运用“同构法”须识别问题的“对称性”，这不是直观上的图形对称，而是两个变元处于“等同”的地位，比如抛物线的“双切线”问题中的切点坐标，式子=λ，=λ中的λ，λ就有“等同”的地位.

运算的第二个目标是“消参”，即把坐标式统一成只关于横坐标或纵坐标的式子，与联立方程组后得到的一元二次方程相呼应. 一般地，若点（x，y）在曲线f（x，y）=0上，则把点（x，y）代入方程f（x，y）=0，得到x与y的一个关系式f（x，y）=0. 这个关系式在运算中起着很重要的作用（常用于“消参”，包括“直线消参”与“曲线消参”）.

总之，解析几何中的运算通常包括两个方面，一是联立方程组获得相关点的坐标，二是“消参”，使主参数通过相关点的坐标体现在坐标式中，而要解决的“定、恒、最”三大问题分别涉及关于主参数的方程、恒等式、函数，这也是代数运算的最终目标.

具体案例

综上所述，引入参数、几何问题坐标化、运算分析构成了解决几何问题的思维框架，这三个方面互相呼应，形成了一个完整的“代数化”过程.下面以两道高考试题为例，说明如何运用上述思维框架分析几何问题，做到未动笔之前，整个行动“蓝图”就已经在头脑里形成（具体的解题过程不详细呈现）.

试题1 （2021年新高考全国Ⅰ卷第21题）在平面直角坐标系xOy中，已知F（-，0），F（，0），点M满足

MF-

MF=2. 记M的轨迹为C.

（1）求C的方程；

（2）设点T在直线x=上，过T的两条直线分别交C于A，B两点和P，Q两点，且TA·TB=TP·TQ，求直线AB的斜率与直线PQ的斜率之和.

分析 （1）x2-=1（x>0）.

（2）本题的首动元素是点T，点T的运动引起图形变化，引起相关点A，B及P，Q的坐标变化.在运动变化过程中，两条直线满足条件TA·TB=TP·TQ，所以直线AB和直线PQ的倾斜角不是“自由”的，是受制约的. 但直线AB的斜率与直线PQ的斜率之和等于一个定值，与点T的运动无关. 在解题前，先要理解上述过程，再“由形转数”. 由于结论是关于直线AB斜率和直线PQ斜率的，因此自然引入直线AB的斜率k和直线PQ的斜率k，然后把它们的方程都写出来.

由于A，B，P，Q是双曲线右支上的点，因此这四个点的横坐标都大于，去掉坐标式中的绝对值得（1+k）·

x-

x-

=（1+k）·

x-

x-

，把

x-

x-

展开后，出现x+x和x·x，可通过韦达定理进行整体替换. 由于直线PQ和AB的地位等同，只要把k替换成k，同理可得x+x和x·x.这样参数t，k，k就在同一个式子中了，而我们的目标是求k+k的值（定值），与t无关，因此预测t可以从等式两边排除掉，从而得到一个只有k，k的恒等式.

试题2 （2022年新高考全国Ⅰ卷第21题）已知点A（2，1）在双曲线C：-=1（a>1）上，直线l交C于点P，Q两点，直线AP，AQ的斜率之和为0.

（1）求l的斜率；

（2）若tan∠PAQ=2，求△PAQ的面积.

分析 （1）C：-y2=1，l的斜率为-1.

（2）本题的首动元素是直线l（斜率等于-1的直线系），l的运动引起∠PAQ的变化.给定tan∠PAQ=2，相当于已知∠PAQ，则直线l就能确定下来，关键是怎么把已知的∠PAQ坐标化. 角的坐标化主要有两个途径：①如果是倾斜角，先求角的正切值，再利用斜率的坐标公式实现坐标化；②一般的角可以利用向量的夹角公式cos〈，〉=实现坐标化.

思路1 把顶角∠PAQ转化为直线AP，AQ的倾斜角再坐标化.

设直线AP，AQ与x轴相交于B，C两点，由已知可得△ABC是等腰三角形. 已知顶角，则底角可求. 设底角为α，则tan（π-2α）=2，即-tan2α=2，由二倍角公式可得tanα=，即直线AP的斜率为. 设P（x，y），则=. 注意到点P（x，y）在双曲线上，则-y=1. 联立方程组

=，

-y

=1，解得点P的坐标为

，

.

思路2 用向量的夹角公式实现坐标化.

由tan∠PAQ可得cos∠PAQ=.设P（x，y），Q（x，y），则·=（x-2）（x-2）+（y-1）（y-1），利用直线方程y=-x+m消去y得·=（x-2）（x-2）+（-x+m-1）（-x+m-1），展开后会出现x+x和x·x.而

，

的坐标化需要引入直线AP，AQ的斜率（分别为和-），则

=3

x-2

x-2（这里的绝对值无法先去掉），通过韦达定理进行整体替换，化简后得到m2-6m+9=2m2-8m-6（此时再讨论正负号去掉绝对值），解得m=（舍去m=-1和m=3）.

解析几何的育人价值

学完解析几何后，学生最终能收获什么呢？“通过学习知识来学会思考，学会分析和解决问题，培养和提高自己的能力，这就是知识的育人价值”，类似这样的答案是无法让人满意的. 那么，知识学习的终点是什么？解题分析能力究竟由什么构成？这些都是我们应该追问并努力回答的.

康德认为：一切人类认知都是从直观开始，从那里进到概念，而以理念结束. 具体到解析几何的学习，认知始于一个个具体题目的攻克，但是解再多的题目都不是终点，只有思维能从这些具体的现象中“一跃而出”，提炼出一种有概括性的“抽象真理”［1］，这一“真理”能运用到所有的题目上，并在反复运用的过程中领悟“几何问题代数化”的精神实质，这才是知识学习的终点.

上文所构建的思维框架就是“抽象真理”的具体体现，它意味着现象、事实的各种联系，学生应当经历“由实到虚”的“哲学式”思考，能用思维整体把握事物，而不是局限于具体的题目或题型. 当学生获得“哲学式”思考能力后，他就能获得某种认知体验，这是独立于具体学科，具有普遍意义的脑力劳动，有助于其他学科的学习.

参考文献：

［1］ 苏霍姆林斯基. 给教师的建议［M］.北京：教育科学出版社，1984.