例谈二元不等式条件下函数最值的求解策略

张志刚

摘 要：以一道近年清华大学自主招生试题为例，探索二元不等式约束条件下函数最值的求解策略.发现可类比方程条件下最值的求解思路，从函数思想、方程有解、不等式放缩、数形结合等视角尝试解决，启发学生深刻剖析题设条件，敏锐捕捉解题灵感，积极促成知识迁移，全面搭建解题思路，努力提高解题效益.

关键词：不等式；二元函数极值；类比推理；数学运算

中图分类号：G632   文献标识码：A   文章编号：1008-0333（2024）13-0009-05

《中国高考评价体系》指出：高考关注与创新密切相关的能力与素养，比如独立思考能力、发散思维、逆向思维等. 考查学生敏锐发现旧事物缺陷、捕捉新事物萌芽的能力，考查学生进行新颖的推测和设想并周密论证的能力，考查学生探索新方法、积极主动解决问题的能力，鼓励学生摆脱思维定式的束缚，勇于大胆创新［1］.因此，高考试题应合理呈现情境，设置新颖的试题呈现方式和设问方式，促使学生主动思考，善于发现新问题、找到新规律、得出新结论.例如，二元方程条件下的最值问题历来是高考、竞赛、高校强基计划测试等考查的热点，近三年高考就有2020年新高考全国Ⅰ卷第11题、新高考全国Ⅱ卷第12题、天津卷第14题、江苏卷第12题、2022年新高考全国Ⅱ卷第12题等，自然也吸引了众多数学教育工作者对此进行深入探讨，形成了日益成熟的解题理论［2-3］.然而，此类试题的命题模式多年来鲜有变化，似有陷于僵化之嫌.如何改变问题呈现样态，减少考试固化给机械训练和大量刷题带来的收益，同时强化其选拔功能呢？下面的两道高校选拔试题将条件由方程变更为不等式，使传统的二元函数最值问题焕发出新的生机，代表了试题改革的一个新趋向，具有较高的研究价值.

1 案例呈现

例1 （2019年清华大学自主招生测试第11题）实数x，y满足x2+y-22≤1，求x+3yx2+y2的最大值与最小值.

例2 （2022年中国科学技术大学创新班初试第5题）实数a，b满足a-22+b2≤1，求f=3a+ba2+b2的最大值与最小值之差.

两例均考查不等式约束条件下二元函数的最值问题，情境相对新颖，思维跨度更大，呈现出更强的综合性与选拔性.

2 案例解答

首先讨论例1.在平面直角坐标系中，方程x2+y-22=1表示以0，2为圆心，1为半径的圆，而不等式x2+y-22≤1则表示此圆及其内部.因此，从运动变化的观点来看，方程条件x2+y-22=1变更为不等式条件x2+y-22≤1，仅仅是动点x，y的变化区域由闭合曲线——圆，扩展为更广阔的平面区域——圆面，问题的本质并未变化，因此可类比方程条件下最值的求解策略，从函数思想、方程有解、不等式放缩、数形结合等多个视角尝试解决［4］.

思路1 函数思想.

解法1 （选斜率为参数、利用导数求解函数最值）设圆面x2+y-22≤1上任意一点Px，y（y>0），设f=x+3yx2+y2，当x=0时，f=3.

当x>0时，令yx=k，k≥3，则

f=1+3y/x1+y/x2=1+3k1+k2（k≥3），

则f ′=3-k1+k23≤0.

所以f在3，+∞上单调递减.

所以当k=3时，f取得最大值2；

当x<0时，令yx=k，k≤-3，

f=1+3y/x-1+y/x2=1+3k-1+k2（k≤-3），

则f ′=k-31+k23<0.

所以f在-∞，-3上单调递减.

故当k=-3时，f取得最小值1.

综上，1≤f≤2，即x+3yx2+y2的最大值是2，最小值是1.

评注 通过比值换元yx=k，将函数f表示为关于k的函数，利用导数求出函数的最值.于此，我们可进一步体会导数对于讨论函数单调性的普适性，领会知识间的有机衔接与融合.

解法2 （选角为参数、转化为三角函数最值）设圆面x2+y-22≤1上任意一点Px，y（y>0），设f=x+3yx2+y2，当x=0时，f=3.

当x>0时，令yx=tanθ，θ∈π3，π2，

f=1+3y/x1+y/x2=1+3tanθ1+tanθ2=2sinθ+π6∈3，2；

当x<0时，令yx=tanθ，θ∈-π2，-π3，

f=1+3tanθ-1+tan2θ=-2sinθ+π6∈1，3.

综上，1≤f≤2，即x+3yx2+y2的最大值是2，最小值是1.

评注 通过比值换元yx=tanθ及三角恒等变换，将函数f表示为关于θ的三角函数，然后利用三角函数的单调性求得最值.

思路2 方程思想.

解法3 （二次方程有解，应用判别式法）设圆面x2+y-22≤1上任意一点Px，y（y>0），设x+3yx2+y2=t，当x=0时，t=3.

当x>0时，令yx=k，k≥3，

t=1+3y/x1+y/x2=1+3k1+k2，

则有t2-3k2-23k+t2-1=0.

此方程有实数解，则

△=232-4t2-3t2-1≥0，

解得-2≤t≤2.

另一方面，由于圆面x2+y-22≤1位于直线x+3y=0的上方，x+3y>0，故x+3yx2+y2=x+3yx2+y2.

又圆面x2+y-22≤1位于直线3x+y=0的上方，3x+y>0，又y>0，故

x+3yx2+y2=x+3yx2+y2=x+3y2x2+y2=2y3x+yx2+y2+1≥1.

所以1≤f≤2.

当x<0时亦有相同结论.

综上，x+3yx2+y2的最大值是2，最小值是1.

评注 通过换元转化为二次方程有解，利用判别式△≥0构造不等式，也是处理二元函数最值问题的常见思路.

思路3 不等式放缩.

解法4 （运用柯西不等式放缩）由柯西不等式得1×x+3×yx2+y2≤12+32×x2+y2x2+y2=2，

当且仅当3x=y，即x=32，y=32时等号成立.

所以x+3yx2+y2的最大值是2.

下同解法3得x+3yx2+y2的最小值是1.

评注 柯西不等式是探求函数（特别是多元函数）最值的有力工具.解法4通过柯西不等式放

缩一次性消除变元x，y，使代数式转化为常数2（即所求最大值），体现了消元思想.在利用柯西不等式解题时，往往借助拆项、添项、配凑等技巧构造出柯西不等式的结构形式.此外，要验证等号能否成立.

思路4 数形结合思想.

设圆面x2+y-22≤1上任意一点Px，y，记点D1，3，过原点O作圆x2+y-22=1的两条切线OA，OB，切点分别是A-32，32，

B32，32，如图1所示.

解法5 （利用平面向量投影求解）

x+3yx2+y2=1，3·x，yx2+y2=OD·OPOP，

故x+3yx2+y2表示向量OD在向量OP方向上的投影.

显然，当OP=OA时，此投影取得最小值OD·OAOA=1.

当OP=OB时，此投影取得最大值OD·OBOB=2.

故x+3yx2+y2的最大值是2，最小值是1.

评注 由结论x+3yx2+y2的结构联想向量数量积的坐标表示，将问题与向量的投影联系起来，进而数形结合得投影的最值.

解法6 （构造两个向量的夹角求解）

x+3yx2+y2=2×x+3y2x2+y2=2×1，3·x，y12+32×x2+y2=2×OD·OPODOP=2cosθ，其中θ为向量OD，OP的夹角.

又∠BOD≤θ≤∠AOD，即0≤θ≤π3.

所以2cosπ3≤2cosθ≤2cos0.

即1≤2cosθ≤2.

即x+3yx2+y2的最大值是2，最小值是1.

评注 本解法在解法5解析式变形基础上，继续配凑为两个向量的夹角公式形式，转化为两个向量夹角的余弦函数最值问题.

解法7 （构造点到直线的距离求解）由于圆面x2+y-22≤1位于直线l：x+3y=0的上方，故x+3y>0.

所以x+3yx2+y2=

|x+3y|/2

x2+y2

=2×x+3y/2x2+y2

=2×dOP=2sin∠POM，其中d表示点P到直线l的距离，OP为点P与原点O的距离.

作PM⊥l于点M，如图1，则x+3yx2+y2=2sin∠POM.

又∠AOM≤∠POM≤∠BOM，所以π6≤∠POM≤π2，所以1≤2sin∠POM≤2.

故x+3yx2+y2的最大值是2，最小值是1.

评注 根据函数解析式的结构特征，联想点到直线的距离和两点之间的距离，于是根据圆面位于直线x+3y=0的上方，结合系数调配将结论变形为2×x+3y/2x2+y2，然后引入正弦函数，转化为三角函数的最值.

比较可知，例1和例2的条件和结论均高度一致.另外，作例1中圆面x2+y-22≤1关于直线y=x对称的圆面，即得例2不等式表示的圆面，因此，两例本质相同且联系密切，可参考以上解法求解例2，不再赘述.

通过以上讨论可见，求解二元不等式条件下的最值问题，可类比方程条件下最值的解法，常见思路有：一是通过消元转化为一元函数的最值问题；二是联系代数式的几何意义借助数形结合思想求解；三是借助不等式（如基本不等式、柯西不等式、切（割）线不等式）放缩.以上各解法环肥燕瘦、各有千秋，又相互印证、相辅相成.不管是哪种方法，消参减元是贯穿解题过程的一条主线.

具体解答时需综合应用函数、三角函数、不等式、平面向量、导数、解析几何等知识，辅以换元法、构造法及转化与化归、函数与方程、分类讨论等数学思想方法.

3 强化训练

近年，不等式条件下的最值试题频频出现于高校强基计划测试等选拔性考试中，代表了二元函数最值问题命题的一个新趋向，成为一道亮丽的风景线.下面再举几例.

题1 （2020年清华大学强基计划测试第1题）已知x2+y2≤1，则x2+xy-y2的取值范围为（  ）.

A.-32，32   B.-1，1

C.-52，52D.-2，2

解析  （三角换元法）本题为平方和结构的不等式条件，优先选择三角代换，将问题转化为关于θ的三角函数的范围问题，以达消参减元之目的.

令x=rcosθ，y=rsinθ0≤r≤1，0≤θ<2π，则

x2+xy-y2=r2cos2θ+sinθcosθ-sin2θ

=r2cos2θ+12sin2θ

=52r2sin（2θ+φ），

因为-1≤sin（2θ+φ）≤1，0≤r2≤1，

所以-52≤

52r2sin（2θ+φ）≤52，故选C.

题2 （2020年北京大学强基计划测试第1题）正实数x，y，w满足x≥y≥w和x+y≤2z+w，则wx+zy的最小值为（  ）.

A.34 B.78 C.1 D.前三个答案都不对

解析 （基本不等式放缩法）本题结论中含有四个变元，首先利用条件消掉变量z，再由基本不等式求得最值.

wx+zy≥wx+（x+y）/2-wy=w1x-1y+x2y+12，

又x≥y>0，所以1x-1y≤0.

又y≥w，有w1x-1y+x2y+12≥y1x-1y+x2y+12=yx+x2y-12≥2yx×x2y-12=2-12，当且仅当x=2y=2w时等号成立，故选D.

题3 （2019年北京大学暑期夏令营第2题）非负实数x，y满足x+y≤2 0182 019，求2 018-2 019x2+2 018-2 019y2的最小值.

解析 （割线不等式放缩法）本题条件为两个变量之和结构，而结论为同构型代数式之和的形式，可考虑构造函数，借助割线放缩将问题转化为一次函数的最值.

设fx=2 018-2 019x20≤x≤2 0182 019，则过fx的图象上两点A0，2 018，B2 0182 019，0的直线为y=-2 019x+2 018.

易证当x∈0，2 0182 019时，2 018-2 019x2≥-2 019x+2 018，

同理有2 018-2 019y2≥-2 019y+2 018.

两不等式同向相加，得2 018-2 019x2+2 018-2 019y2≥ -2 019x+y+22 018≥-2 019×2 0182 019+ 22 018=2 018，当且仅当x=0y=2 0182 019或x=2 0182 019y=0时等号成立.

所以2 018-2 019x2+2 018-2 019y2的最小值是2 018.

4 结束语

在教学和命题实践中，通过情境设置考查学生的关键能力和核心素养是当前中、高考改革以及国际考试测量的基本方向.高考命题一方面将进一步创新试题的情境创设和呈现方式，另一方面将进一步加大试题的开放性和探究性，实现对学生创新思维和批判性思维的考查.可见，高考评价体系引领下的命题情境将进一步呈现复杂性、综合性和创新型的特点.二元不等式条件下的最值问题通过创新问题情境，区分度更高，能有效驱动学生与情境之间持续而有意义的互动，促进学生积极剖析条件，捕捉信息，抓住关键，形成设想，构建方案，将所学知识迁移到新情境，解决新问题，与高考评价体系的要求相契合.然而，我们的思考不应到此为止，二元函数最值试题有哪些新的发展方向呢？除了将条件由方程变换为不等式，变元数量会从二元走向多元吗？探求结论会更加开放吗？会交叉融合更多知识考查吗？届时，我们又有何良策呢？

参考文献：

［1］

教育部考试中心.中国高考评价体系说明[M].北京：人民教育出版社，2019.

[2] 徐元根.二次方程约束条件下的一类取值范围问题[J].数学通报，2007（09）：50-51.

[3] 姜坤崇.一类求取值范围问题的解法[J].数学通报，2006（04）：27-28.

[4] 董建功.数学命题设计[M].上海：华东师范大学出版社，2021.

［责任编辑：李 璟］