例析几种常见回复力的来源及拓展

杨天才

摘 要：做简谐运动的物体必然受到回复力的作用，回复力是效果力，常见的回复力由哪些性质的力提供的呢？文章通过实例探析回复力的来源，旨在做出一般性归纳，分析物理现象，体现物理逻辑，得出物理规律，最终达到提升核心素养的目的.

关键词：简谐运动；回复力；牛顿第二定律；微分方程

中图分类号：G632   文献标识码：A   文章编号：1008-0333（2024）13-0126-04

简谐运动是一种最简单最基本的振动.一个质点做机械振动，如果它的回复力与偏离平衡位置的位移大小成正比，而且方向与位移方向相反，就能判定它的运动性质为简谐运动.回复力是根据力的效果命名的一种力，是使物体回到平衡位置的效果力[1]，除了教材中提到的弹簧振子（弹簧弹力提供回复力）和单摆（重力的分力提供回复力）外，学生在学习探索问题情境中，还会遇到弹力（浮力）、万有引力、摩擦力、静电力、电磁力等性质力（或分力）提供回复力[2].

1 浮力与重力的合力提供回复力

例1 粗细均匀的一根木筷，下端绕几圈铁丝，竖直浮在较大的装有水的杯中，如图1所示.把木筷往上提起一段距离后放手，木筷就在水中上下振动，试判断木筷的振动是简谐运动（忽略水阻力的影响）.

解析 如图2所示，在平衡位置mg=F浮，平衡位置上Δx处时F合=mg-F′浮，F合=mg-F浮+ΔF浮，F合=ρgΔV=ρgSΔx，方向向下，即回复力F回=ρgSΔx，设ρgS=k，位移为x，方向向上为正方向，F回=-kx，木筷的振动是简谐振动.

点评 根据解析可知木筷的运动性质为简谐运动，可理解为水中的类弹簧振子模型，同理液体中还有类单摆模型，将木球（或铁球）用轻绳固定在水底（或在水面下某点），让球小角度偏离平衡位置，球在浮力、重力、拉力作用下也会做简谐运动（忽略水阻力的影响）.

2 万有引力与弹力的合力提供回复力例2 设计贯通地球的弦线光滑真空列车隧道：如图3所示，质量为m的列车不需要引擎，从入口的A点由静止开始穿过隧道到达另一端的B点，O′为隧道的中点，O′与地心O的距离为h=32R，假设地球是半径为R的质量均匀分布的球体，地球表面的重力加速度为g.已知质量均匀分布的球壳对球内物体引力为0，P点到O′的距离为x，则（  ）.

A.列车在隧道中A点的合力大小为mg

B.列车在P点的重力加速度等于g

C.列车在AB间做简谐运动

D.列车在运动中的最大速度为gR2图3 例2题图

解析 选项A、B分析略.设地球的质量为M，列车运动到P点距地心为r，∠POO′=θ′，根据几何关系有sinθ′=xr，列车运动到P点合力为F合=GM″mr2·sinθ′，地球为均匀球体，则M″M=r3R3，又GMmR2=mg，解得F合=mgRx，取mgR=k，位移为x，方向水平向左为正方向，F回=-kx，选项C正确；列车在隧道内距O′的距离x时合力F′=ma=mgRx，F′随x均匀变化，既列车从A到O′做加速度减小的加速运动，则列车在O′点有最大速度，则有FA+FO′2·xAO′=

12mv2-0，解得v=12gR，选项D正确.

点评 因质量均匀分布的球壳对球内物体引力为0，地球内某点的重力（引力）加速度为g′=G4πρr3，与球心到该点的距离成正比，所以引力与支持力的合力与距离呈线性关系，即合力提供回复力.

3 动摩擦力提供回复力

例3 如图4所示，质量为m，长为L的匀质木板以速度v0（未知）向右运动，水平地面O点左侧是光滑的，右侧是粗糙的，与木板的摩擦系数为μ，当木板全部进入时刚好静止.试计算：图4 例3题图

（1）初速度v0；

（2）运动的时间t.

解析 （1）假设右端进入粗糙部分长度为x，则受到的摩擦阻力大小为f=μxLmg=μmgLx，方向向左，做出f-x图像如图5所示，图线与坐标轴所围的面积在数值上表示克服摩擦力做的功，有Wf=12·μmgLL·L=12μmgL，根据能量守恒，有12mv20=12μmgL，解得v0=μgL.

（2）由于f=-μxLmg=-μmgLx，所以木板进入摩擦区域的运动可以等效为一个简谐运动，等效回复系数为k=μmgL，运动周期为T=2πmk=

2πLμg，所以运动时间为简谐运动的14T，即t=T4=π2Lμg.

点评 只有知道木板向右运动的运动性质，才能求出其运动时间，由题设条件知木板向右运动可看成简谐运动的一部分，时间刚好为14T.

4 静电力提供回复力

例4 电量均为+Q的两电荷固定在相距为2d的AB两点，如图6所示，O为AB连线中点，AB连线中垂线上有一点M，到O的距离为A，已知静电力常量k.

（1）求M点的场强；

（2）将一质量为m，带电量为-q的粒子从M点由静止释放，不考虑粒子的重力.若A远小于d，可略去Adn（n≥2）项的贡献，试证明粒子的运动为简谐运动.

解析 （1）两个等量正电荷在M处产生的电场强度合成如图7所示， M点的场强为EM=2kQd2+A2cosα=2kQAd2+A232，方向为O指向M.

（2）粒子运动过程中，O点为平衡位置，可知当发生位移x时，粒子受到的电场力为F=-2kQqxd2+x232=2kQqxd21+x2d232≈-2kQqd3x=-kx，即粒子的运动为简谐运动.

点评 本题的模型可理解为类弹簧振子模型，对匀强电场中的单摆可理解为类单摆模型.

5 安培力提供回复力

例5 xOy是位于光滑水平面的直角坐标系，x>0一侧有大小为B的匀强磁场，方向如图8所示，在x<0一侧有边长分别为l1和l2的刚性矩形超导线框位于桌面上，其长边与y轴平行，电阻为R，线框质量为m.现让刚性矩形超导线框沿x方向以初速v0进入匀强磁场区域，当线框全部进入磁场时恰好静止，（假定线框始终保持超导状态且自成为L）求v0的大小.

解析 设超导线框进入的深度为xx

6 简谐运动的本质是匀速圆周运动的一个分运动

如图9所示，把一个有孔的小球A装在轻质弹簧的一端，弹簧的另一端固定，小球穿在沿水平x轴的光滑杆上，能够在杆上自由振动.另一小球B在竖直平面内以O′为圆心，在电动机的带动下，沿顺时针方向做半为径R的匀速圆周运动.用竖直向下的平行光照射小球B，然后调节B球转动的角速度，可以实现小球B在x方向上的“影子”和小球A在x轴上的位置时时重合.已知弹簧劲度系数为k，小球A的质量为m，小球B的角速度为ω.

（1）要实现这一现象，请推导角速度ω与劲度系数k必须满足的关系；

（2）结合a的结论，请论证弹簧振子的运动周期与其振幅无关.

解析 （1）小球A的运动为小球B在水平方向上的分运动，小球A在O点时的瞬时速度大小即为小球B匀速圆周运动的速度大小；以小球A为研究对象，设它经过平衡位置O时的速度为v，当它从最大位移处运动到O，根据机械能守恒有

12mv2=12kR2，解得v=Rkm，则角速度ω与劲度系数k必须满足的关系为ω=vR=km.

（2）小球A振动的周期与小球B做圆周运动的周期相等.根据圆周运动周期公式，小球B的运动周期TB=2πRv=2πmk，所以小球A的振动周期为TA=TB=2πmk，可知弹簧振子的运动周期与其振幅无关.

7 电磁振荡现象类比简谐运动

例7 简谐运动是一种最基本的振动，它具有这样的特征.简谐运动质点的运动速度v与其偏离平衡位置的位移x之间的关系可以表示为v2=v20-ax2，其中v0为振动质点通过平衡位置时的瞬时速度，a为由系统本身和初始条件所决定的不变的常数.

（1）请你证明，图10中小球的运动也满足上述关系，并说明其关系式中的a与哪些物理量有关.已知弹簧的弹性势能表达式为12kx2，其中k是弹簧的劲度系数，x是弹簧的形变量.

（2）现在请你结合简谐运动的特征，从能量的角度证明如图11所示的LC振荡电路中，电容器极板上的电荷量随时间的变化满足简谐运动的规律（即电荷量与时间的关系遵从正弦函数规律）.已知电感线圈中磁场能的表达式为12LI2，式中L为线圈的自感系数，I为线圈中电流的大小；电容器中电场能的表达式为12CU2，式中C为电容器的电容，U为电容器两端的电压.（不计电磁波的辐射）

图11 LC振荡

解析 （1）由简谐运动过程中的机械能守恒，有12mv20=12mv2+12kx2，整理可得v2=v20-kmx2，即图10中小球的运动也满足上述关系，且常数 a为km.

（2）LC振荡电路的总能量包括电容器的电场能和电感线圈中的磁场能，其总能量是守恒的，有：12LI20=12LI2+12CU2，其中 I0为LC振荡电路中的最大电流，I和 U分别为某一时刻电路中的电流和电容器极板间的电压，整理可得CU2=LI20-LI2，而电容器的电荷量为q=CU，代入得I2=I20-1LCq2，与v2=v20-ax2类比可知，电荷量q类比为位移x，电流I类比为速度v，可推得电荷量随时间的变化满足简谐运动的规律.

8 结束语

弹簧振子和单摆是典型的简谐运动实例，在中学物理中，经常有其他性质的力（如：重力、弹力、摩擦力、电磁力等）充当回复力，使物体做简谐运动.简谐运动从运动的合成与分解的角度来说，是匀速圆周运动的一个分运动；从动力学（牛顿第二定律）的角度来说，简谐运动是所受外力大小正比于位移，且与位移方向相反（原点设立在平衡位置）的一种特殊的运动.这种关系导致了简谐运动的正弦或者余弦关系表达式，其本质是数学微分方程的特解.

参考文献：

［1］袁冬梅.回复力来源分类例析［J］.高中数理化，2012（08）：35.

［2］ 党克明，赵明文.回复力的来源之浅见［J］.物理教师，1990（02）：18-19.

［责任编辑：李 璟］