多项式型迭代方程的一致凸解

【摘   要】   利用[Schauder]不动点定理，讨论多项式型迭代函数方程在实数域[R]上的一致凸解存在性的充分条件。再通过[Banach]收缩原理，得到该多项式型迭代函数方程一致凸解唯一性、稳定性的充分条件。

【关键词】   函数方程；迭代；一致凸解

Uniformly Convex Solutions to Polynomial-like Iterative Equation

Xia Menglian

（Chongqing Normal University， Chongqing 401331， China）

【Abstract】    In this paper， we will use the Schauder fixed point theorem to discuss the sufficient conditions for the existence of uniformly convex solutions to polynomial iterative functional equations in the real number field R. The sufficient conditions for the uniqueness and stability of the uniformly convex solution to the polynomial-like iterative functional equation are obtained by using the Banach contraction principle.

【Key words】     functional equation; iteration; the uniformly convex solutions

〔中图分类号〕  O193                           〔文献标识码〕  A                   〔文章编号〕 1674 - 3229（2024）02- 0016 - 04

[收稿日期]   2023-08-17

[作者简介]   夏梦莲（1999- ），女， 重庆师范大学数学科学学院硕士研究生，研究方向：微分方程与动力系统。

0     引言

设[S]是线性空间中的非空集，[Fx]是已知函数。多项式型迭代函数方程：

[λ1f（x）+λ2f2（x）+…+λnfn（x）=F（x）， ?x∈S] （1）

其中， [λi]表示实常数，[f：S→S]是未知函数，[fi]表示[f]的第[i]次迭代[i=1，2，…，n]。

对于方程的研究已有许多结果，司建国［1］证明该方程在一个确定的区间上存在无穷多个严格递增的连续解；石勇国等［2］、余志恒等［3］在已知函数为非单调函数的情形下，分别给出了多项式型迭代方程解的存在性以及多项式解；朱圣陵等［4］利用[Schauder-Tychonoff]不动点定理解决了方程在非紧区间上连续凸解问题；李蔓蓉等［5］采用[Schauder]不动点定理，得到方程的强凸解存在性、唯一性、稳定性的充分条件；吴炳学等［6］利用上下解方法研究这类迭代函数方程的极大解与极小解。一致凸函数通常用于梯度方法、近似算法、二阶对偶、优化问题的适定性中，本文考虑方程的一致凸解，记[I]是实数[R]的区间。

定义1   如果存在算子[δ：I→R]，则称算子[f：I?R→R]是一致凸的，使得

[ftx+1-ty+t1-tδx-y≤tfx+1-tfy]

对任意的[x，y∈I， t∈0，1]成立。

定义2   如果算子[f]是一致凹的，则存在算子[δ]满足：

[ftx+（1-t）y≥tf（x）+（1-t）f（y）+t （1-t） δx-y]

对任意的[x，y∈I， t∈0，1]成立。

1     基础知识

在本节中，给出一些记号和预备引理。

令[M≥1≥m≥0]，记[C（I）]由[I=[a，b]]上的所有连续函数组成。定义：

[C（I;m，M）={f∈C（I）：f（a）=a，f（b）=b，a≤f（x）≤b，][|f（x）-f（y）|≤M|x-y|，m（x1-y1）≤f（x1）-f（y1），?x，y∈I，x1>y1}，]

而[CucvI;m，M;δ]、[CuccI;m，M;δ]则分别表示全体一致凸、一致凹函数的集合。当然，[CI]是关于范数[f=maxf（t）：t∈I，?f∈CI]的Banach空间。

引理1   [C（I;m，M）]，[Cucv（I;m，M;δ）]和 [Cucc（I;m，M;δ）]

是[C（I）]的紧凸子集。

证明 [C（I;m，M）]是[C（I）]的紧凸子集［5］。对于任意[f，g∈Cucv（I;m，M;δ）]， [α∈[0，1]]，考虑

[F（x）=αf（x）+（1-α）g（x）， ?x，y∈I]。

易得 对于[?x≥y]，有

[a≤F（x）≤b，F（a）=a，F（b）=b，|F（x）-F（y）|≤M|x-y|，][F（x）-F（y）≥m（x-y）]

当[?t∈（0，1）]， [x≤y]时，

[Ftx+1-ty+t1-tδy-x=αftx+1-ty+t1-tδy-x+1-αgtx+1-ty+t1-tδy-x≤tαfx+1-αgx+1-tαfy+1-αgy=tFx+1-tFy]

故[CucvI;m，M;δ]是[C（I）]的凸集。易验证[Cucv（I;m，]

[M;δ）]是闭集且是等度连续的。通过Ascoli-Arzela引理，[CucvI;m，M;δ]是[C（I）]的紧凸子集。同理可证，[CuccI;m，M;δ]是[CI]的紧凸子集。

引理2［5］    令[?f，g∈C（I;m，M）]（[Cucv（I;m，M;δ）]或[Cucc（I;m，M;δ）]），其中[0≤M]，则：

[fk-gk≤j=0k-1Mjf-g，k∈?+]。

命题1   令[m>0]，以下定义成立：

[i]若[f]是随着增算子[δ]递增的一致凸函数，[g]为凸函数，满足当[?x≤y]时，有[m（y-x）≤g（y）-g（x）]成立，则复合函数[f?g]是随着算子[δmx]递增的一致凸函数；若[f]是随着增算子[δ]递减的一致凸函数，[g]为凹函数，满足当[?x≤y]时，有[m（y-x）≤g（y）-g（x）]成立，则复合函数[f?g]是随着算子[δmx]递减的一致凸函数。

[ii]若[f]是随着增算子[δ]递增的一致凹函数，[g]为凹函数，满足当[?x≤y]时，有[m（y-x）≤g（y）-g（x）]成立，则复合函数[f?g]是随着算子[δmx]递增的一致凹函数；若[f]是随着增算子[δ]递减的一致凹函数，[g]为凸函数，满足当[?x≤y]时，有[m（y-x）≤g（y）-g（x）]成立，则复合函数[f?g]是随着算子[δmx]递减的一致凹函数。

[iii]若[f]是随着增算子[δ]递增的一致凸函数，满足当[x≤y]时，有[my-x≤fy-fx]成立，则迭代[fk]是随着算子[δk-1x=δmk-1x]，[k≥1]，[?x∈I]递增的一致凸函数；若[f]是随着增算子[δ]递增的一致凹函数，满足当[x≤y]时，有[my-x≤fy-fx]成立，则迭代[fk]是随着算子[δk-1x=δmk-1x]，[k≥1]，[?x∈I]递增的一致凹函数。

证明 [i]这里只证明一种情况，其他情况用同样的方法也可以证明。若[f]是随着增算子[δ]递增的一致凸函数，[g]为凸函数，满足当[?x≤y]时，有[m（y-x）≤g（y）-g（x）]成立，则对于[I]中的任何[x≤y]，可知[g（x）≤g（y）]以及

[f?gtx+1-ty+ct1-tδmy-x≤ftgx+1-tgy+ct1-tδgy-gx≤tf?gx+1-tf?gy，t∈0，1]

这意味着[f?g]是一致凸算子，容易看出[g]在递增，那么[f?g]随着[f]的递增而递增，即复合函数[f?g]是随着算子[δmx]递增的一致凸函数。

[ii]如果[f]是随着增算子[δ]递增的一致凹函数，[g]为凹函数，则

[f?gtx+1-ty≥ftgx+1-tgy≥tf?gx+1-tf?gy+ct1-tδgy-gx≥tf?gx+1-tf?gy+ct1-tδmy-x，?x≤y∈I，t∈0，1]

因此，[f?g]是随着算子[δmx]递增的一致凹函数，容易得到[f?g]的单调性，证明[ii]完成。

[iii]对于[x≤y]，利用[m（y-x）≤f（y）-f（x）]，易证：

[mk-1（y-x）≤fk-1（y）-fk-1（x）]。

采用数学归纳法证明[iii]。易证[k=1]时成立。假设：

[fl（tx+（1-t）y）+t（1-t）δ（ml-1（y-x））≤tfl（x）+（1-t）fl（y）， ?x≤y∈I， t∈[0，1]]

对于任意[l≥1]成立。由[m（y-x）≤f（y）-f（x）]和[i]可知，[fk，k≥1]是递增的，有

[fl+1tx+1-ty+t1-tδmly-x≤fl+1tx+1-ty+t1-tδml-1fy-fx≤fltfx+1-tfy+t1-tδml-1fy-fx≤tfl+1x+1-tfl+1y， ?x≤y∈I， t∈0，1]

证明完成。

2     主要成果

在本节中，将证明在某些条件下，方程在[CucvI;m，M;δ]、[CuccI;m，M;δ]中有解且解是唯一的、稳定的。因此需要额外的假设：

[H1λ1>0， λi≤0，i=2，3，…，n]

[H2]归一化条件：[λ1+i=2nλi=1]

定理1  假设[H1]和[H2]成立，以及[F∈Cucv（I;]

[m1，M1;δF）]，其中常数[0≤m1≤M1<+∞]，若存在递增算子[δ：I→I]，使得：

[i=1nλimi≤m1≤M1≤i=1nλiMi]     （2）

[i=1nλiδ（mi-1x）≤KδF（x）， ?x∈I]      （3）

对于[0≤m≤M<+∞]，则方程有解在[f∈Cucv（I;]

[m，M;δ）]，其中[f]是具有递增算子[δ]的一致凸函数。

证明   定义映射[L：Cucv（I;m，M;δ）→C（I）]，

[Lf（x）=1λ1F（x）-λ2λ1f2（x）-…-λnλ1fn（x）]        （4）

对于任意的[f∈Cucv（I;m，M;δ）] 和[F∈Cucv（I，m1，]

[M1;δF）]，由[H2]可知[Lf（a）=a]，[Lfb=b]。

若任意的[x，y∈I]，通过（2）式得：

[Lfx-Lfy=1λ1Fx-Fy-λ2λ1f2x-f2y-…-λnλ1fnx-fny≤1λ1Fx-Fy-i=2nλifix-fiy≤1λ1M1-i=2nλiMix-y≤Mx-y]  （5）

若[x≤y∈I]，通过（2）式，有

[Lfy-Lfx=1λ1Fx-Fy-i=2nλifiy-fix≥1λ1m1-i=2nλimiy-x≥my-x                        （6）] 而[Lf]在[a，b]递增，则[a≤Lfx≤b]。

事实上，对于任意[f∈Cucv（I;m，M;δ）]，由命题1得到[fi，i=2，…，n]是具有算子[δ（mi-1x）]，[?x∈I]的一致凸函数。

对于每一个[x≤y∈I]，由（3）和[H1]，知

[Lftx+1-ty+t1-tδy-x≤Lftx+1-ty+t1-tλ1δFy-x-i=2nλiδmi-1y-x=1λ1Ftx+1-ty+t1-tδFy-x-λ2f2tx+1-ty+t1-tδmy-x-…-λnfntx+1-ty+t1-tδmn-1y-x≤1λ1tFx+1-tFy-λ2tf2x+1-tf2y-…-λntfnx+1-tfny=t1λ1Fx-λ2λ1f2x-λ3λ1f3x-…-λnλ1fnx+1-t1λ1Fy-λ2λ1f2y-λ3λ1f3y-…-λnλ1fny=tLfx+1-tLfy                                                          （7）]  故随着算子[δ]的增加，[Lf]是一致凸的。通过（5）-（7）可知，[L]是[Cucv（I;m，M;δ）]上的自映射。

对于任意[f， g∈Cucv（I;m，M;δ）]，有

[Lf-LgCI=1λ1supx∈Ii=2nλifix-gix≤-1λ1i=2nλisupx∈Ifix-gix≤-1λ1i=2nj=0i-1λiMjf-gCI]     （8）

这意味着[L]是连续的。由引理1和[Schauder]不动点定理可知，存在不动点[f∈Cucv（I;m，M;δ）]，使得[Lf=f]，即方程（1）存在具有递增算子[δ]的一致凸解。综上，定理1证毕。

定理2   设[H1]和[H2]成立，[F∈Cucc（I;m1，M1;]

[δF）]，其中m1、M1为常数，[0≤m1≤M1<+∞]。若存在递增算子[δ：I→I]，使得（2）和（3）式在[0≤m≤M<+∞]时成立，则方程（1）有解[f∈Cucc（I;m，M;δ）]，其中[f]是具有递增算子[δ]的一致凹函数。

证明 定义映射[L：Cucc（I;m，M;δ）→C（I）]如（4）式。类似定理1的证明，有[Lf∈C（I;m，M）]。对于[?x≤y∈I]，有

[Lftx+1-ty+t1-tδy-x≥1λ1Ftx+1-ty+t1-tδFy-x-λ2f2tx+1-ty+t1-tδmy-x-…-λnfntx+1-ty+t1-tδmn-1y-x=t1λ1Fx-λ2λ1f2x-λ3λ1f3x-…-λnλ1fnx+1-t1λ1Fy-λ2λ1f2y-λ3λ1f3y-…-λnλ1fny+t1-tλ1δFy-x-i=2nλiδmi-1y-x≥tLfx+1-tLfy+t1-tδy-x]

因此，[Lf]是随算子[δ]递增的一致凹函数，[L]是[Cucc（I;m，M;δ）]上的自映射，定理1证明了[L]的连续性。根据引理1和Schauder不动点定理，存在[f∈Cucc（I;m，M;δ）]是[L]的不动点。显然，[f]是具有递增算子[δ]的一致凹函数。

定理3   除了定理1的假设以外，假设

[-i=2nj=0i-1λiMj<λ1] （9）

成立。则方程（1）有唯一解[f∈Cucv（I;m，M;δ）] ，并且唯一解连续依赖于给定算子[F]。

证明   由定理1，可知映射[L：Cucv（I;m，M）→][Cucv（I;][m，M）]，再通过（8）式，有

[Lf-LgCI≤-1λ1i=2nj=0i-1λiMjf-gCI]

（9）式暗示着

[-1λ1i=2nj=0i-1λiMj<1]    （10）

由[Banach]不动点定理可知，不动点是唯一的。

给定两个算子[F1，F2∈CucvI;m1，M1;δ]，如（4）式定义算子[L，L]。假设条件（2）（3）（9）成立，则[f1， f2∈][Cucv（I;m，M;][δ）]，

使得

[f1=L f1 ， f2=L f2]

则：

[f1-f2CI≤Lf1-Lf2CI+Lf2-Lf2CI]

[≤Γf1-f2CI+Lf2-Lf2CI]

其中，[Γ=-1λ1i=2nj=0i-1λiMj]，因此

[f1-f2CI≤11-ΓLf2-Lf2CI≤1λ11-ΓF1-F2CI]

这证明解[f]对[F]具有连续依赖性，或者称为稳定性。

3     结语

本文利用[Schauder]不动点定理和Banach收缩原理，得出了在紧致区间[R]上的多项式型迭代函数方程一致凸解的存在性、唯一性和稳定性的充分条件。

［参考文献］

［1］ 司建国.迭代方程[fNx=n=0N-1Anfnx]的单调连续解［J］.曲阜师范大学学报，1995，21（2）：49-51.

［2］ 石勇国，刘娜，龚小兵.多项式型迭代方程解的存在性［J］.四川师范大学学报（自然科学版），2017，40（4）：482-485.

［3］ 余志恒，龚小兵.多项式型迭代方程的多项式解［J］.数学物理学报，2019，39A（6）：1352-1364.

［4］ 朱圣陵，吴春.多项式型迭代方程的连续凸解［J］.数学进展，2018，47（3）：433-440.

［5］Li MR， Zhao HY. Strongly convex solutions of polynomial-like iterative equation［J］.Journal of Mathematical Analysis and Applications，2021，495（2）： 1-15.

［6］ 吴炳学，赵侯宇. 一类多项式型迭代函数方程的极大解与极小解［J］.南宁师范大学学报（自然科学版），2022，39（3）：11-15.