基于数形结合的晶胞复习

贾同全

晶胞是描述晶体结构的基本单元，这个基本结构单元通常是一个平行六面体。晶体中晶胞的排列是无隙并置的，“无隙”指的是相邻的晶胞之间共用顶角、共用棱、共用面。“并置”指的是从一个晶胞到另一个晶胞只需平移晶胞框架，无需任何转动。

晶胞参数：3组棱长a、b、c；3组棱相互间的夹角α、β、γ（如图1所示），中学化学常见晶胞如图2所示。

立方晶胞：a=b=c，α=β=γ=90°（只有1个晶胞参数a是可变动的）。

四方晶胞：a=b≠c，α=β=γ=90°（有2个晶胞参数a和c）。

正交晶胞：a≠b≠c，α=β=γ=90°（有3个晶胞参数a、b和c）。

六方晶胞：a=b≠c，α=β90°，γ=120°（有2个晶胞参数a和c）。

一、准确描述晶胞质点空间位置的方法——原子分数坐标

1.定义：以晶胞参数为单位长度建立的坐标系来表示晶胞内部各原子的相对位置，称为原子分数坐标。

2.原子分数坐标的确定方法：

①依据给出的坐标系取向和已知原子的坐标确定坐标原点。

②一般以坐标轴所在立体图形的棱长为1个单位（长、宽、高可以不同，但都为1个单位）。

③从原子所在位置分别向x、y、z轴作垂线，所得坐标轴上的截距即为该原子的分数坐标（各点均在晶胞内，0≤x、y、z＜1）。

二、晶胞中粒子的投影

1.定义：用一组光线将物体的形状投射到一个平面上去，称为投影。在该平面上得到的图像，也称为投影图。

2.分类：

①正投影：投射线的中心线垂直于投影的平面。②斜投影：投射线的中心线不垂直于投影的平面。

目前大多数题目涉及到的都是正投影。

3.常见晶胞结构模型图的坐标轴方向（俯视图）和体对角线方向投影图总结。

（1）体心立方晶胞（如图3所示）

俯视图：8个顶点投影在正方形4个顶点上，体心投影在正方形中心。

体对角线方向投影图：6个顶点投影在正六边形顶点上，另外2个顶点和体心重叠在正六边形中心。

（2）面心立方晶胞（如图4所示）

俯视图：8个顶点投影在正方形4个顶点上，前后左右4个面心投影在正方形4个边的中点，上下2个面心投影在正方形中心。

体对角线方向投影图：6个顶点投影在大正六边形顶点上，6个面心投影在小正六边形顶点上，另外2个顶点重叠在正六边形中心。

（3）金刚石晶胞（如图5所示）

俯视图：8个顶点投影在正方形4个顶点上，前后左右4个面心投影在正方形4个边的中点，上下2个面心投影在正方形中心，左上右上左下右下四个小体心投影在4个小正方形中心。

体对角线方向投影图：6个顶点投影在大正六边形顶点上，3个面心和3个小体心（另3个面心在3个小体心背后遮挡）投影在小正六边形顶点上，另外2个顶点和2个小体心重叠在正六边形中心。

例题1 LiCl·3H2O属于正交晶系（长方体形）。晶胞参数为0.75、1.0、0.56nm。如图6所示为沿z轴投影的晶胞中所有氯原子的分布图和原子分数坐标。

据此推断该晶胞中氯原子数目为____。

解析可以根据投影图将其转化为立体图（如图7所示）。根据晶胞沿z轴的投影图可知，该晶胞中氯原子①、②、③、④、A、B的位置，yz面上有2个氯原子①②，与yz平行的面上有2个氯原子③④，体内有2个氯原子A、B，所以1个晶胞中氯原子的数目为4×1/2+2=4。

三、晶胞中粒子间距的求算方法

要想求算晶胞中粒子间距，就必须了解清楚晶胞的结构。以金刚石为例，金刚石品胞（如图8所示）中碳原子在什么位置相切？已知晶胞参数为apm，碳原子半径与a之间有什么关系？

晶胞中的体对角线上（球①②③④⑤或球⑥⑦③⑧⑨）是球球相切（其中3，4，7号球为虚拟补充上去的），则有：8r=根号下3a。

例题2 普鲁士蓝晶体属立方晶系，晶胞棱长为apm。铁-氰骨架组成小立方体，Fe粒子在顶点，CN-在棱上，两端均与Fe相连，立方体中心空隙可容纳K+，如图9所示（CN-在图中省略）。

若所有铁粒子为等径小球，则K+与Fe2+之间最近距离为____pm；

解析钾离子位于小立方体的体心，二价铁位于小立方体的顶点，则

四、立方晶胞密度的计算模型

1.计算公式：ρ=m/V=n·M/NA·a3

2.思维流程：

①先确定一个晶胞中微粒个数n（均摊法）。

②再确定一个晶胞中微粒的总质量。

③根据晶胞参数a求晶胞的体积。

④最后代人密度公式求晶胞的密度。

3.单位换算：1pm=10-10cm;1nm=10-7cm。

例题3 TiN晶胞中的少量Ti被Al代替后的立方晶胞结构如图10所示。该晶胞中，距离Ti最近的Al有____个；原子①与原子②的距离为____nm（已知晶体密度为ρg·cm-3，阿伏加德罗常数的值为NA）。

解析 由图可知，以右侧棱心的钛原子为例，晶胞内体心铝原子与其最近，则周围4个晶胞中距离Ti最近的Al有4个；据“均摊法”，晶胞中含氮原子数：