反比例函数常见题型及解题策略探究

马美珍

摘要：反比例函数是初中数学中非常重要的一个函数模型，与之相关联的题型较多，题目也灵活多样.在解决这类问题时，要注意反比例函数图象的重要性质，并基于这些性质在解决数学问题中的方法进行分析，如此才可以迅速求得题目中的代数值或者比例系数等问题，就是说要注重对解题策略的总结和归纳，不断夯实学生的解题基本功，提高学生的解题和思维能力，另外要注意培养学生的建模意识、数形结合思想、分类讨论思想等，如此不断提高学生的数学素养.

关键词：反比例函数；解题策略

1 有关比例系数k的问题

反比例系数k的意义比较重要，也是解决有关问题的基本入口.在解决这类问题时，要注意利用数形结合法，利用“以形助教，以数解形”，使得问题更加直观，同时要灵活运用系数k的几何意义，将代数问题转化为几何问题，将题目化难为简，达到事半功倍的效果.

例1如图1，已知点A在正比例函数y=-2x的图象上，过点A作AB垂直x轴于点B，四边形ABCD是正方形，点D在反比例函数y=kx的图象上.

（1）若点A的横坐标为-2，求k的值；

（2）若设正方形ABCD的面积为m，试用含m的代数式表示k值.

解析：（1）根据题意可知，因为点A在正比例函数y=-2x的图象上，且其横坐标为-2，则当x=-2时，y=4.所以A的坐标为（-2，4）.

过点A作AB垂直x轴于点B，由四边形ABCD是正方形，

得AD=AB=BC=DC=4.

又OB=2，所以D的坐标为（-6，4）.

由点D在反比例函数y=kx的图象上，得

k-6=4，则k=-24.

（2）由正方形ABCD的面积为m，得

AD=AB=BC=DC=m，则点D和A的纵坐标为m，所以点A的坐标为-m2，m，OC=OB+BC=3m2.故D的坐标为-3m2，m.

代入y=kx，得k=-3m2×m=-32m.

点评：本题考查反比例函数和一次函数的图象上的点的坐标特征，解题的核心就是要利用正方形的边长相等来表示各个点坐标，利用图形代数化解决图形有关问题.

2 有关点的坐标问题

对于反比例函数中有关求解点的坐标问题，在搞清楚题目已知条件的基础上，找出条件之间存在的关系，通过建立未知量和已知量的联系，找到问题的突破口，从而可快速解决问题.

例2如图2，点A在反比例函数y=kx的图象上，仅使用无刻度的直尺作图（不用写作法，只保留作图痕迹）.

（1）在图2中画出点A关于原点O的对称点A′；

（2）点P在y轴上，在图3中画出点P关于原点O的对称点P′.

解析：（1）连接AO，并延长交反比例函数y=kx的图象于A′，如图4所示，

则点A′即为所求.

（2）连接PA，并延长交反比例函数y=kx的图象于点B，连接AO，BO，并延长交反比例函数y=kx的图象于点A′，B′，连接B′A′，并延长交y轴于点P′，如图5所示.

因为反比例函数的图象是中心对称图形，对称中心为原点，所以OA=OA′，OB=OB′.

又∠AOB=∠A′OB′，所以△AOB≌△A′OB′，

则∠ABO=∠A′B′O.又∠BOP=∠B′OP′，

可知△BOP≌△B′OP′（ASA），所以OP=OP′.

故点P′即为所求.

点评：本题考查反比例函数的图象及性质、无刻度的直尺作图、全等三角形的判定及性质，根据题目给出的条件，理解反比例函数的图象是中心对称图形，对称中心为原点，是解决此类问题的关键.

3 与直线相交的问题

一次函数与反比例函数是初中数学中两类非常基本的函数，前者的图象是一条直线，后者的图象是双曲线.对于这二者的相交问题，首先就是要根据已知求得解析式，在此基础上可以根据数形结合法求解范围问题，或者利用轴对称求有关线段或者周长的最值问题等.

例3如图6，一次函数y=x+4的图象与反比例函数y=kx（k为常数且k≠0）的图象交于A（-1，a），B两点.

（1）求此反比例函数的表达式及点B的坐标.

（2）当反比例函数值大于一次函数值时，直接写出x的取值范围.

（3）在y轴上存在点P，使得△APB的周长最小，求点P的坐标并直接写出△APB的周长.

解析：（1）根据已知.因为点A（-1，a）在一次函数y=x+4的图象上，所以a=-1+4=3，故点A（-1，3）.因为点A（-1，3）在反比例函数y=kx的图象上，所以k=-1×3=-3，故反比例函数的表达式为y=-3x.联立y=-3x，y=x+4，解得x=-1，y=3，或x=-3，y=1，所以点B（-3，1）.

（2）观察函数图象可知，当-1

（3）作点A关于y轴的对称点A′，连接BA′交y轴于点P，此时PA+PB的值最小，则△APB的周长最小，如图7所示.因为点A（-1，3），所以点A′（1，3），

设直线BA′的表达式为y=mx+n（m≠0），

则m+n=3，-3m+n=1，解得m=12，n=52.

所以直线BA′的表达式为y=12x+52.

在y=12x+52中，令x=0，则y=52.

所以点P0，52.

由A（-1，3），B（-3，1），A′（1，3），可得

AB=（-1+3）2+（3-1）2=22，

A′B=（1+3）2+（3-1）2=25.

所以△APB的周长为PA+PB+AB=A′B+AB=25+22.

点评：本题主要考查了一次函数与反比例函数的综合，轴对称最短路径问题，对于这类问题首先要求出函数解析式，在此基础上利用图象法，找出题目中给出的某些点关于直线的对称点，然后找出线段或者周长最值，尤其要注意利用点的位置求解范围或最值问题.

在日常的学习中，我们要熟练掌握各种题型的处理方法，积极思考解决各类问题的方法策略.在解决问题中经常进行归纳与反思，总结各类问题的解决方法，培养学生自主思考和探究问题的能力，实现高效解题，并能够在后面的问题处理中学会融会贯通，更好地开发学生的逻辑思维能力以及发散思维，从而不断提高学生思考问题、分析问题和解决问题的能力.

参考文献：

崔兰兰.利用反比例函数性质解题的策略探究.数理化解题研究，2023（26）：17-19.

耿恒考.中考试题中的“反比例函数”.初中生世界，2023（Z5）：70-71.

孙晓琴.数学课堂因数学思想而精彩——反比例函数图

象与性质的教学思考.数学之友，2011（5）：56-59.