圆幂定理的巧妙应用

陈丹洁

摘要：圆幂定理是每年中考必考的一个基本知识点，在解决平面几何的求值、判断、证明、综合等相关问题中都有着广泛的应用，结合实例，就圆幂定理的应用加以实例剖析，指导数学学习与复习.

关键词：圆幂定理；相交弦定理；割线定理；切割线定理；应用

由平面几何中的圆心角、圆周角及弦切角定理等，可以得到与圆的弦、切线、割线等有关的相似三角形中的数量关系，即相交弦定理、割线定理和切割线定理，这三个定理统称为圆幂定理.圆幂定理在解决圆的弦、切线、割线等的数量关系中应用非常广泛.下面就圆幂定理的一些常见应用加以实例剖析.

1 求值问题

例1如图1，已知△ABC是⊙O的内接三角形，PA是切线，PB交AC于点E，交⊙O于点D，且PE=PA，∠ABC=60°，PD=1 cm，BD=8 cm，求EC的长.

分析：要求解的线段EC在圆内对应的相交弦中，考虑到用相交弦定理，因此把问题转化为求解其他各线段长度的问题.结合条件，分别利用切割线定理与弦切角定理加以判断与分析.

解析：由于PA，PDB分别为⊙O的切线和割线，结合切割线定理有PA2=PD·PB=1×（1+8）=9，可得PA=3，则PE=PA=3，所以DE=PE-PD=3-1=2，于是EB=BD-DE=8-2=6.

又PA为⊙O的切线，∠ABC=60°，所以由弦切角定理得∠PAC=∠ABC=60°.

因此△AEP是等边三角形，即AE=PA=3.

由相交弦定理，有AE·EC=DE·EB.

所以EC=DE·EBAE=2×63=4 （cm）.

点评：对于圆中相关的线段求值问题，一般要进行正确转化，结合弦切角定理、相交弦定理以及切割线定理等加以判断与分析，关键是正确处理图形中相关的点、线、圆的关系，并结合相应的定理求解.

2 判断问题

例2如图2，⊙O的直径AB垂直于弦CD，垂足为H.P是弧AC上一点（点P不与A，C两点重合）.连接PC，PD，PA，AD，点E在AP的延长线上，PD与AB交于点F.给出下列四个结论：①CH2=AH5BH；②AD=AC；③AD2=DF5DP；④∠EPC=∠APD.其中正确的结论是（只填序号）.

分析：根据圆幂定理，通过相交弦定理、垂径定理、三角形相似的判定与性质、圆周角定理、圆内接四边形的性质等，结合题目条件对给出的四个结论加以逐一分析，从而得以正确判断.

解析：①中，由相交弦定理，可知CH5HD=CH2=AH5BH，故①正确；

②中，由于⊙O的直径AB垂直弦CD于点H，则可知H是CD的中点，根据垂径定理可知AD=AC，故②正确；

③中，如图3，连接BD，由⊙O的直径AB垂直弦CD于点H，可得△ADH∽△ABD，则AD2=AH5AB，故③不正确；

④中，由于AC对的圆周角为∠ADC，AD对的圆周角为∠APD，根据②中有AD=AC，则有∠ADC=∠APD，而由圆内接四边形的外角等于它的内对角，可知∠EPC=∠ADC，则∠EPC=∠APD，故④正确.

综上所述，正确的有①②④.

故填答案：①②④.

点评：对于圆中相关结论的判断问题，合理借助平面几何图形的直观想象，综合圆幂定理以及其他平面几何知识，通过合理推理、代数运算等形式加以综合应用.破解的关键是构建已知条件与对应结论之间的联系，借助平面几何中对应的知识加以分析与推理，从而得以正确分析与判断.

3 证明问题

例3如图4，AB是⊙O的直径，C，F为⊙O上的点，CA是∠BAF的角平分线，过点C作CD⊥AF交AF的延长线于点D，且CM⊥AB，垂足为M.

（1）求证：DC是⊙O的切线；

（2）求证：AM·MB=DF·DA.

分析：要证明DC是⊙O的切线，关键是根据切线的定义，证明DC⊥OC，通过辅助线，结合平行关系加以证明；同时要证明对应的线段的积相等，可以结合相关直角三角形的射影定理与切割线定理加以分析与转化.

证明：（1）如图5，连接OC，则∠OAC=∠OCA.又因为CA是∠BAF的角平分线，所以∠OAC=∠FAC，则∠FAC=∠OCA，于是OC∥AD.

又CD⊥AF，所以CD⊥OC.

故DC是⊙O的切线.

（2）连接BC，在Rt△ACB中，CM⊥AB，由直角三角形射影定理，得CM2=AM·MB.

又由（1）得DC是⊙O的切线，结合切割线定理得DC2=DF·DA.

而在Rt△AMC和Rt△ADC中，AC是公共斜边，∠OAC=∠FAC，

所以Rt△AMC≌Rt△ADC，则有DC=CM.

故AM·MB=DF·DA.

点评：本题证明的关键是把所要证的结论与题中的条件结合相关辅助线的添加进行合理转化，同时要注意对应图形中相关的点、线、圆的关系，以及正确利用圆幂定理与其他相关定理加以分析与证明.

4 综合应用问题

例4如图6，PT与⊙O相切于点T，直线PA交⊙O于A，B两点，M为PT的中点，且MB交⊙O于点N.

（1）证明：∠MNP=∠MPB；

（2）若MN=1 cm，NB=3 cm，且S△PNA∶S△ANB=4∶3，试求PB的长.

分析：第（1）问要证明两个角相等，结合图形分析，可以把它们放在两个对应的三角形中，通过证明两个相关的三角形相似来达到目的，而相似的证明要结合相关的线段关系来分析与过渡；第（2）问结合两三角形面积的比值，根据图形中的对应三角形同高关系，把面积比转化为相应的底边之比，通过相关线段关系进行转化，结合设元加以分析与求解.

（1）证明：由于MT，MNB分别为⊙O的切线和割线，结合由切割线定理有MT2=MN·MB.

又M为PT的中点，所以可得PM2=MN·MB，即PMMN=MBPM.

又∠NMP=∠PMB，所以△NMP∽△PMB.

故∠MNP=∠MPB.

（2）解：由MN=1，NB=3，得MB=1+3=4，所以MT2=MN·MB=1×4=4，则PT2=（2MT）2=16.又由于S△PNA∶S△ANB=4∶3，且△PNA与△ANB同高，因此PA∶AB=4∶3.

设PA=4k（k>0），则AB=3k，可得PB=7k.

又由于PT，PAB分别为⊙O的切线和割线，结合切割线定理有PT2=PA·PB，即4k×7k=16，解得k=277.

故PB=7k=7×277=27（cm）.

点评：圆幂定理可以用来解决相关的线段长度，对应的等式关系等.在综合应用问题中，往往可以利用圆幂定理中对应的关系加以过渡与转化，用来证明三角形的相似问题、求解线段的长度问题，以及解决一些创新性的问题等.有时要适当引入辅助线，结合对应图形中相关的点、线、圆的关系，正确利用圆幂定理与其他的相关定理加以分析与应用.

圆幂定理中相交弦定理、割线定理和切割线定理有着密切的联系，实质上反映了两条相交直线与圆的位置关系的性质定理与比例线段有关.通过与圆相关的比例线段，解决求值、判断、证明、等相关数学问题，很好地考查直观想象、逻辑推理、代数运算等数学素养.