角平分线模型揭秘

李琳

在几何模型中，角平分线是一种重要模型，也是中考的必考知识.下面从三个方面探讨角平分线模型，以使学生对事物的认识由浅入深，由表象到理性.

1 角平分线的定义

在角的内部，从角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线叫做这个角的平分线.已知OP是∠AOB的角平分线，可得以下两组连等式，即∠AOP=∠BOP=12∠AOB，∠AOB=2∠AOP=2∠BOP.利用这些倍角或半角关系，结合图形中的角的和差关系，可进行角的多种转化.

例1已知∠AOB和∠COD均为锐角（∠AOB＞∠COD），OC与OA重合，将∠COD绕点O逆时针旋转t°即∠AOC＝t°（0＜t≤90），OP平分∠AOC，OQ平分∠BOD.

（1）若∠AOB＝m°，∠COD＝n°，求∠POQ的度数（用代数式表示）；

（2）在（1）的条件下，若OB平分∠POQ，请直接写出t的值（用含m，n的代数式表示）.

解析：（1）①若点C，D均在∠AOB内部，如图1，因为OP平分∠AOC，OQ平分∠BOD，所以∠POC=12∠AOC，∠DOQ=12∠BOD，则∠POQ＝∠POC+∠COD+∠DOQ=12∠AOC+∠COD+12∠BOD=12（∠AOC+∠COD+∠BOD）+12∠COD=12∠AOB+12∠COD=12m°+12n°.

②若点C在∠AOB内部，点D在∠AOB外部，如图2，则有∠AOB+∠COD-∠BOC＝∠AOD，所以∠AOD+∠BOC＝∠AOB+∠COD＝m°+n°.故∠POQ＝∠POC+∠COB+∠BOQ=12∠AOC+∠COB+12∠BOD＝∠COB+12（∠AOC+∠BOD）＝∠COB+12（∠AOD-∠BOC）=12∠AOD+12∠COB=12m°+12n°.

③若点C，D均在∠AOB外部，如图3所示，则∠AOB+∠COD+∠BOC＝∠AOD，所以∠AOD-∠BOC＝∠AOB+∠COD＝m°+n°.所以∠POQ＝∠POC+∠BOQ-∠COB=12∠AOC+12∠BOD-∠COB=12（∠AOC+∠BOD）-∠COB=12（∠AOD+∠BOC）-∠COB=12∠COB+12∠AOD=12m°+12n°.

综上所述，∠POQ=12m°+12n°.

（2）由OB平分∠POQ，得∠BOP=12∠POQ=14m°+14n°.因为∠BOP＝∠AOB-∠AOP＝∠AOB-12∠AOC＝m°-12t°，所以m°-12t°=14m°+14n°，整理得t=3m-n2.

评注：实际上本题的第（1）小题只有文字叙述，没有图形，所以在解答时要将所有符合题意的图形都画出来讨论一番，尽管结果都是一样的，但讨论是必须的，否则就是漏解.

2 角平分线的性质

根据角平分线上的点到这个角的两边的距离相等，可以得到三角形被内角平分线分成的两个小三角形的面积之比等于这个角的相应两边长之比.

例2在△ABC中，D是BC边上的点（不与点B，C重合），连结AD.

（1）如图4，当D是BC边上的中点时，S△ABD∶S△ACD=；

（2）如图5，当AD是∠BAC的平分线时，若AB=m，AC=n，求S△ABD∶S△ACD的值（用含m，n的代数式表示）；

（3）如图6，AD平分∠BAC，延长AD到点E，使得AD=DE，连接BE，如果AC=2，AB=4，S△BDE=6，那么S△ABC=.

解析：（1）如图7，过点A作AE⊥BC于点E.因为D是BC边上的中点，所以BD=DC.所以SABD∶S△ACD=12×BD×AE∶12×CD×AE=1∶1.

故答案为1∶1.

（2）如图8，过点D作DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F.因为AD为∠BAC的角平分线，所以DE=DF.

因为AB=m，AC=n，所以SABD∶S△ACD=12×AB×DE∶12×AC×DF=m∶n.

（3）如图6，因为AD=DE，所以由（1）知S△ABD∶S△EBD=1∶1.由S△BDE=6，得S△ABD=6.因为AC=2，AB=4，AD平分∠CAB，于是由（2）知S△ABD∶S△ACD=AB∶AC=4∶2=2∶1，则S△ACD=3，所以S△ABC=3+6=9.故答案为9.

评注：本题将三角形两条重要的线段，即中线、角平分线融合在一起，分别利用“等底同高的两个三角形面积相等”与“角平分线上的点到角两边的距离相等”，探讨了中线、角平分线在分三角形面积方面的数量关系.

3 与角平分线有关的尺规作图

作已知角的平分线是尺规作图五个基本作图之一，作图依据是基本事实“边边边”.如果找到一个点，使这一点到角两边的距离相等，则该点一定在角平分线上，这时作角平分线即可.但是，如何作圆的内接三角形的角平分线呢？此时可以借助圆找出角所对弧的中点即可.

例3已知△ABC是⊙O的内接三角形，请仅用无刻度的直尺在下列图形中按要求画图.

（1）在图9中，已知OD⊥BC于点D，画出∠A的角平分线；

（2）在图10中，已知OE⊥AB于点E，OF⊥AC于点F，画出∠A的角平分线.

作法：（1）如图11所示，延长OD交⊙O于点M，连接AM，则AM就是∠BAC的角平分线.

理由：因为OD⊥BC于点D，根据垂径定理，得OM平分BC，且OM平分BC，所以MB=CM.根据等弧所对的圆周角相等，得∠BAM=∠CAM，所以AM是∠BAC的角平分线.

（2）如图12所示，延长OE交⊙O于点H，延长OF交⊙O于点K，连接CH，BK，两条线段相交于点N，作射线AN，则射线AN就是∠BAC的角平分线.

理由：因为OE⊥AB于点E，根据垂径定理，得OH平分AB，所以BH=AH，根据等弧所对的圆周角相等，得∠BCH=∠ACH，所以CH是∠BCA的角平分线.同理，可知BK是∠ABC的角平分线.又CH，BK两条线段相交于点N，因为三角形的三条角平分线相交于一点，所以射线AN就是∠BAC的角平分线.

评注：本题利用尺规作图可以直接作出所求角的平分线，但题中只能使用直尺，所以必须借助题中的垂直条件.此类题一方面考查了尺规作图，另一方面考查相关图形的性质.

角平分线的定义是七年级的学习内容，角平分线的性质与尺规作图是八年级的学习内容，三角形的内切圆与内心是九年级的学习内容，同一个几何模型，对它的研究在不断的加深，体现了新课程的安排呈螺旋式上升的理念，使学生对事物的认识由浅入深，由表象到理性.