2023年高考湖南卷物理选择题第10题的解法探析

向桦　杜娟

［摘 要］运用动力学法、惯性力法、力矩平衡法等三种解法，对2023年高考湖南卷物理选择题第10题进行探析，通过研究不同解法的特点，达到开阔学生解题视野、引导教师教学的目的。

［关键词］动力学；惯性力；力矩平衡

［中图分类号］    G633.7        ［文献标识码］    A        ［文章编号］    1674-6058（2024）08-0043-03

2023年高考湖南卷物理选择题第10题以小车及车厢内球杆连接体一起做加速运动为背景，考查了牛顿第二定律应用中的临界问题，对学生的理解能力、模型建构能力以及推理论证能力有较高的要求，是一道压轴选择题。该题把学生熟悉的球杆连接体模型放入小车里，通过对整体施加推力设置动力学临界情境，进而引出极值问题，充分体现了高考试题不回避经典模型但又给予创新的命题理念，对引导教师教学有着积极的作用。

一、试题呈现

如图1所示，光滑水平地面上有一质量为[2m]的小车在水平推力[F]的作用下加速运动。车厢内有质量均为[m]的[A]、[B]两小球，两球用轻杆相连，[A]球靠在光滑左壁上，[B]球处在车厢水平底面上，且与底面的动摩擦因数为[μ]，杆与竖直方向的夹角为[θ]，杆与车厢始终保持相对静止。假设最大静摩擦力等于滑动摩擦力。下列说法正确的是（）。

A.若[B]球受到的摩擦力为零，则[F=2mgtanθ]

B.若推力[F]向左，且[tanθ≤μ]，则[F]的最大值为[2mgtanθ]

C.若推力[F]向左，且[μ

D.若推力[F]向右，且[tanθ>2μ]，则[F]的范围为[4mg（tanθ-2μ）≤F≤4mg（tanθ+2μ）]

二、解法探析

在动力学问题中，对于较为复杂的系统，一般采取先整体后局部的解题路径。本题中，小车和[A]、[B]两小球整体的运动取决于水平推力[F]，而在保持相对静止的前提下整体与局部的加速度相同，不同的加速度对应[A]、[B]两小球各自不同的受力情况，从而产生临界极值问题。下面就三种解法对此问题展开讨论。

解法一：动力学法

在物体运动状态发生变化的过程中，往往达到某个特定状态时，有关物理量将发生突变，此状态即为临界状态，相应物理量的值为临界值［1-2］。临界状态的两侧，物体的受力情况、变化规律、运动状态一般都要发生改变，用变化的观点正确分析其运动规律是解决临界极限问题的关键，而临界状态的确定是解决临界极限问题的基础［3］。

选项[A]：如图2所示，若[B]球受到的摩擦力为零，则轻杆对[B]球弹力的水平分力提供其向右的加速度，在水平方向根据牛顿第二定律有[FBsinθ=ma]；对[A]球，在竖直方向根据平衡条件有[FAcosθ=mg]，且[FA=FB]，联立以上各式得：

[FA=FB=mgcosθ]              ①

[a=gtanθ]                       ②

以[A]、[B]两小球和车整体为研究对象，根据牛顿第二定律得[F=4ma=4mgtanθ]。

选项[B]和[C]：如图3所示，若推力[F]向左，当[A]球恰好不离开左壁时有[FNA=0]，对[A]球，在水平方向根据牛顿第二定律有[FAsinθ=maA0]，得[A]球的临界加速度为

[aA0=gtanθ]                ③

当[B]球相对车厢恰好不向右滑动时，受到的静摩擦力达到最大，在水平方向根据牛顿第二定律有[μFNB-FBsinθ=maB0]，以[A]、[B]两小球及杆组成的系统为研究对象，在竖直方向由平衡条件有[FNB=2mg]，可得[B]球的临界加速度为：

[aB0=2μg-gtanθ]                      ④

现讨论以下两种情况：

当[aA0≤aB0]，得[tanθ≤μ]，为了使[A]、[B]两小球与车厢始终保持相对静止，应取[aA0]为最大加速度，此时以[A]、[B]两小球和车整体为研究对象，根据牛顿第二定律有[F=4maA0=4mgtanθ]。

当[aA0>aB0]，得[tanθ>μ]，为了使[A]、[B]两小球与车厢始终保持相对静止，应取[aB0]为最大加速度，此时以[A]、[B]两小球和车整体为研究对象，根据牛顿第二定律有[F=4maB0=4mg（2μ-tanθ）]，再由[F≥0]，得[tanθ≤2μ]，故[μ

选项[D]：若推力[F]向右，则[A]球无法离开左壁，故只用分析[B]球，分两种情况讨论。

如图4所示，当[B]球相对车厢恰好不向左滑动时，受到的静摩擦力达到最大且向右，根据牛顿第二定律有[FBsinθ+μFNB=maB1]，得[B]球的临界加速度为：

[aB1=gtanθ+2μg]         ⑤

此时以[A]、[B]两小球和车整体为研究对象，根据牛顿第二定律有[F=4maB1=4mg（tanθ+2μ）]。

如图5所示，当[B]球相对车厢恰好不向右滑动时，受到的静摩擦力达到最大且向左，根据牛顿第二定律有[FBsinθ-μFNB=maB2]，得[B]球的临界加速度为：

[aB2=gtanθ-2μg]         ⑥

此时以[A]、[B]两小球和车整体为研究对象，根据牛顿第二定律有[F=4maB2=4mg（tanθ-2μ）]。

再由[F>0]，得[tanθ>2μ]，故[F]的取值范围为[4mg（tanθ-2μ）≤F≤4mg（tanθ+2μ）]。

评析：解法一的基本思路是先分析[A]、[B]两球在各自临界状态时的受力特征，再配合整体、隔离法运用牛顿第二定律进行求解，通过比较[A]、[B]两球各自的临界加速度，得到[tanθ]和[μ]的关系。

解法二：惯性力法

惯性力其实可以作为一种解题经验、解题技巧、解题方法来学习和应用，当然也可以作为一个物理概念或观念来引入，并借此培养学生的物理观念和科学思维，发展学生的科学态度与责任素养［4］。

以小车为非惯性参考系，其加速度为[a=F4m]，对[A]、[B]两小球分别施以惯性力（方向与加速度方向相反），则

[F惯=ma=F4]                  ⑦

选项[A]：如图6所示，若[B]球受到的摩擦力为零，则有[F惯=FBsinθ]，得[F=4mgtanθ]。

选项[B]和[C]：如图7所示，若推力[F]向左，当[A]球恰好不离开左壁时有[FNA=0]，则[FAsinθ=F惯]，得[F=4mgtanθ]，当[B]球相对车厢恰好不向右滑动时，受到的静摩擦力达到最大，则有[FBsinθ+F惯=f=2μmg]，得[F=4mg（2μ-tanθ）]，比较两种临界情况下[F]的大小即可确定[tanθ]与[μ]的关系，这里不再赘述。

选项[D]：如图8所示，若推力[F]向右，当[B]球相对车厢恰好不向左滑动时有[F惯=FBsinθ+2μmg]，得[F=4mg（tanθ+2μ）]。

如图9所示，当[B]球相对车厢恰好不向右滑动时有[F惯+2μmg=FBsinθ]，得[F=4mg（tanθ-2μ）]，故[F]的取值范围为[4mg（tanθ-2μ）≤F≤4mg（tanθ+2μ）]。

评析：解法二的基本思路是以小车为非惯性参考系，引入假想的惯性力，把牛顿第二定律问题转换成平衡问题，让思维难度降级。

解法三：力矩平衡法

力矩平衡问题的物理情境复杂，灵活多变，与生活联系紧密，需要学生理解力矩平衡的本质，有较强的逻辑思维能力及运用物理知识解决问题的能力。而针对具体力矩平衡问题情境（原始问题），通过分析、简化、概括得出对应的杠杆模型（抽象问题）进行等效替代，再结合物理知识和数学知识，原始问题就能顺利解决［5］。

引入惯性力后，设轻杆长度为[L]，以逆时针方向力矩为正，运用力矩平衡求解。

选项[A]：如图10所示，若[B]球受到的摩擦力为零，以[A]球为矩心，根据力矩平衡有[FNBLsinθ-F惯Lcosθ-mgLsinθ=0]，得[F=4mgtanθ]。

选项[B]和[C]：如图11所示，若推力[F]向左，当[A]球恰好不离开左壁时有[FNA=0]，以[B]球为矩心，根据力矩平衡有[mgLsinθ-F惯Lcosθ=0]，得[F=4mgtanθ]。

当[B]球相对车厢恰好不向右滑动时，受到的静摩擦力达到最大，以[A]球为矩心，根据力矩平衡有[FNBLsinθ+F惯Lcosθ-2μmgLcosθ-mgLsinθ=0]，得[F=4mg（2μ-tanθ）]。

选项[D]：如图12所示，当[B]球相对车厢恰好不向左滑动时，以[A]球为矩心，根据力矩平衡有[FNBLsinθ+2μmgLcosθ-F惯Lcosθ-mgLsinθ=0]，得[F=4mg（tanθ+2μ）]。

如图13所示，当[B]球相对车厢恰好不向右滑动时，以[A]球为矩心，根据力矩平衡有[FNBLsinθ-2μmgLcosθ-F惯Lcosθ-mgLsinθ=0 ]，得[F=4mg（tanθ-2μ） ]，故[F]的取值范围为[4mg（tanθ-2μ）≤F≤4mg（tanθ+2μ）]。

评析：由于轻质活杆问题中杆对球的作用力沿着杆的方向，若以球为矩心，则其力矩为零。因此，解法三不用再考虑轻杆对球的作用力，使问题得以简化，但值得注意的是，选取不同矩心时，同一力的力矩正负号会发生相应的变化。

三、教学反思

以上三种解法中，解法一属于高中物理的常规解题方法，解法二和解法三属于高中物理强基知识范畴。从解题的繁简程度来看，解法二和解法三明显优于解法一，但对于没有接触过高中物理强基知识的学生来说，理解起来会有一定困难。从提升学生的思维能力、训练学生的解题基本功来看，解法一更为合适。解法一通过研究物体受力和运动的关系，找临界状态、讨论极值，将问题抽丝剥茧、层层分析，是高中物理学科素养、关键能力的体现，对指导学生学习高中物理主干知识、基本方法有积极作用。在学生充分理解了解法一后，教师再有针对性地拓展和拔高，可以开阔学生的解题视野，丰富学生的知识面，提升学生的解题能力。

在日常的物理教学中，教师既要注重基础知识、基本方法的传授，又要注重培养学生的创新思维。教师在强化基础知识和基本方法的学习的同时，要引导学生从不同侧面思考问题、解决问题，鼓励学生敢于向未知知识和方法挑战，以提升学生的物理思维品质。

［   参   考   文   献   ］

［1］  朱欣.牛顿第二定律在临界问题中的应用［J］.中学物理教学参考，2005（12）：27-28.

［2］  张北春.高考物理模拟试题选析与点拨（上）［J］.试题与研究，2011（31）：39-61.

［3］  黄宽宽.动力学中的临界极值问题的解题策略［J］.教学考试，2023（22）：43-48.

［4］  陈新生.运用惯性力巧解复杂的动力学问题［J］.中学物理，2019（3）：50-53.

［5］  张丽丽.杠杆模型在力矩平衡问题解决中的应用［J］.物理通报，2019（增刊1）：17-20，24.

（责任编辑 黄春香）