零次Del Pezzo曲面上的直线

武杭杭 张加劲

摘要：9-n的del Pezzo 曲面S和李代数En（0≤n≤8）密切相关.给出次数为0的del Pezzo 曲面X9上有无穷多条直线的一个证明，并证明仿射型Weyl群W（E8）可迁地作用在这些直线上.

关键词：del Pezzo 曲面; 直线; Weyl群

中图分类号：O187.1  文献标志码：A  文章编号：1001-8395（2024）05-0708-03

doi：10.3969/j.issn.1001-8395.2024.05.017

设X0=CP2是复射影平面，而del Pezzo 曲面Xn是X0在n个一般位置点x1，…，xn.

Xn的皮卡格Pic（Xn）H2（Xn，Z）是一个奇的幺模洛伦兹格I1，n，它的Z-基为h，l1，…，ln，其中h是X0上的直线类，li是在点xi处吹胀得到的例外类[1-2].Xn上的一条曲线l是反典范嵌入下的一条直线当且仅当l2=l·K=-1，其中K=-3h+∑ni=1li是Xn的反典范类.根据文献[3]，定义2个集合

Rn ={x∈H2（Xn，Z） |x2=-2，x·K=0}，In ={x∈H2（Xn，Z） | x2=x·K=-1}.

文献[3]中证明了Rn为对应的En型李代数的根系，In为Xn的例外除子集.Rn的单根为α1=h-l1-l2-l3，αi=li-1-li，2≤i≤9.Rn的单根的基本反射生成Weyl群W（Rn）.已知当0≤n≤8时，Weyl群W（Rn）可迁地作用在In上[4-5].本文主要讨论当n=9时，I9中元素的性质.将证明I9为无穷集，且W（R9）可迁地作用在I9上;当这9个点处于一般位置时，I9中每个元素都是一条直线.

1 I9中元素

当n=9时，设x=ah+∑9i=1bili∈Pic（Xn） ， a，bi∈ Z.X9中的一条既约不可约曲线C称为一条直线，如果C·K=C2=-1，则X9中的直线的类[C]=ah+∑9i=1bili是如下方程的解

3a+∑9i=1bi=1，a2+1=∑9i=1b2i.（1）

为了之后计算的方便，将方程（1）化为另一种形式如下

∑9i=1（a+3bi）2=6a+9，（2）

所以6a+9≥0，a≥-32，又因为a∈Z，则a≥-1.当a= -1时，方程（1）无整数解;当a= 0时，方程（1）的解为li，1≤i≤9为平凡情形.因此在之后的证明中都假设a>0.

首先给出I9中元素的系数之间的关系.

命题 1 设x ∈I9，记x=ah+∑9i=1bili，a，bi∈ Z.若a >0，则bi≤0，对所有1≤i≤9.

证明 由方程（2），若存在某个bi >0，则有

（a+3bi）2≥（a+3）2 >6a+9，

得出矛盾.因此，对所有1≤i≤9，当a >0时，bi≤0.证毕.

令α1，…，α9是R9的单根，其中，α1=h-l1-l2-l3，αi=li-1-li，2≤i≤9.因此Weyl群W（R9）由基本反射σα1，…，σα9生成.事实上有如下命题.

命题 2 W（R9）恰好同构于仿射李代数E8的Weyl群W（E8）.

证明 参见文献[6].

定义σαi（x）=x+（x·αi）αi，因此

σα1（li）=h-lj-lk， {i，j，k}= {1，2，3}，li， i≥4.

当j≥2时，

σαj（li）=lj， i=j-1，lj-1， i=j，li， i≠j-1，j.

从命题1可知，I9中的每一个元素x=ah+∑9i=1bili都可以写成x=ah-∑9i=1bili的形式，其中a，bi，1≤i≤9均为非负整数.为了记号的简洁，之后将x=ah-∑9i=1bili记作（a;-b1，…，-b9）， a，bi ∈Z≥0.

为了证明I9是一个无限集，先给出一个命题.

武杭杭，等：零次Del Pezzo曲面上的直线

命题 3 令（a;-b1，…，-b9） ∈I9，则b1，…，b9中必然存在3个非负整数，它们的和小于等于a-1;且当a>0时，b1，…，b9中必然存在3个非负整数，它们的和大于等于a+1.

证明 知道，若（a;-b1，…，-b9） ∈I9，则σαi（（a;-b1，…，-b9））也属于I9，其中2≤i≤9.

因此可以将b1，…，b9重新按降序排列，即可以假设b1≥b2…≥b9.由（1）式得

3a-1=∑9i=1bi≥3（b7+b8+b9），

b7+b8+b9≤a-13，

因为bi均为整数，所以

b7+b8+b9≤a-1.

命题前半部分得证;对于后半部分

b1+b2+b3≥a-13，

因为bi均为整数，所以有

b1+b2+b3≥a.

若

b1+b2+b3=a，

由于

b7+b8+b9≤a-1，

则必然有

b4+b5+b6=a，

且

b7+b8+b9=a-1.

所以b1=b2=…=b8=b9+1.将（3m;-m，…，-m，-（m-1））代入方程（1），得到m=0.因此，对任意（a;-b1，…，-b9）∈I9，当a>0时，b1+b2+b3≥a+1.命题得证.

利用命题3，下面证明I9是无限集，且W（E8）可迁地作用在I9上.

定理 在del Pezzo曲面X9上，集合I9={x∈H2（X9，Z）|x2=x·K=-1}是无限集，且Weyl群W（E8）可迁地作用在I9上.

证明 由命题3，记m、n、p为b1，…，b9中满足m+n+p=d≤a-1的3个非负整数.通过基本反射σαi（2≤i≤9）的作用，不失一般性，假设b1=m，b2=n，b3=p.下面证明（2a-d;-（m+a-d），-（n+a-d），-（p+a-d），b4，…，-b9）∈I9.

3（2a-d）-1=6a-3d-1，

（m+a-d）+（n+a-d）+（p+a-d）+b4+…+b9=∑9i=1bi+3（a-d）=3a-1+3a-3d=6a-3d-1，

（2a-d）2+1=4a2-4ad+d2+1，（m+a-d）2+（n+a-d）2+（p+a-d）2+b24+…+b29=∑9i=1b2i+2（a-d）（m+n+p）+3（a-d）2=4a2-4ad+d2+1.

因此（2a-d;-（m+a-d），-（n+a-d），-（p+a-d），b4，…，-b9）是方程（1）的解.由于d≤a-1，所以2a-d>a，即在W（E8）的作用下h的系数可以不断增大，这表明I9是无限集.

根据命题3，同样可以在b1，…，b9中选择3个非负整数使得它们的和d>a.同上面的证明类似，可以缩小h的系数.因此I9的每一个元素都可以被迭代地缩小到（0;-1，0，…，0）.具体地，对（a;-b1，…，-b9）∈I9，在b1，…，b9中存在bi，bj，bk使得bi+bj+bk=d>a，且d-a≤min{bi，bj，bk}，则

σα4…σαk+1σα3…σαj+1σα2…σαi+1（（a;-b1，…，-b9））=（a;-bi，-bj，-bk，…，-b9），

σα1（（a;-bi，-bj，-bk，…，-b9））=（2a-d;-（bi+a-d），-（bj+a-d），-（bk+a-d），…，-b9）.

所以h的系数可以不断减小，重复这个过程最终可以得到（0;-1，0，…，0）.由此证明了Weyl群W（E8）作用在I9上是可迁的.

下面证明，当x1，…，x9处于一般位置时，I9中的每个元素都是一条“真实”的直线，即一条既约不可约直线（简称直线）.

首先，l1，…，l9都是直线;其次，根据命题1的证明σαi（lj）也是直线.而W（E8）由

σα1，…，σα9生成，所以σ∈W（E8），σ（lj）仍是直线.根据W（E8）作用在I9上的可迁性知，当x1，…，x9处于一般位置时，I9的每个元素都是一条直线.

2 结束语

本文给出了X9上有无穷多条直线的清晰而初等的证明，并清楚地刻画了这些例外曲线集合的结构，即I9=W（E8）*l1.这些虽然是“众所周知”的事实，但目前文献中从未有完整的证明.

参考文献

[1] DEMAZURE M. Surfaces de del Pezzo-Ⅰ， Ⅱ， Ⅲ， Ⅳ， Ⅴ[M]. Berlin： Springer，1980.

[2] DONAGI R Y. Principal bundles on elliptic fibrations[J]. Asian Journal of Mathematics，1997，1（2）：214-223.

[3] LEUNG N C， ZHANG J J. Moduli of bundles over rational surfaces and elliptic curves Ⅰ： simply laced cases[J]. Journal of the London Mathematical Society，2009，80（3）：750-770.

[4] HUMPHREYS J E. Introduction to Lie algebras and representation theory[M]. New York： Springer-Verlag，1978.

[5] MANIN Y I. Cubic forms： algebra， geometry， arithmetic[M]. New York： American Elsevier Publishing，1974.

[6] LEUNG N C， XU M， ZHANG J J. Kac-Moody Ek-bundles over elliptic curves and del Pezzo surfaces with singularities of type A[J]. Math Ann，2012，352（4）：805-828.

The Lines on the Del Pezzo Surface of Degree 0

WU Hanghang， ZHANG Jiajin

（School of Mathematics， Sichuan University， Chengdu 610064， Sichuan）

Abstract：It is known that the del Pezzo surface S of degree 9-n is closely related to the Lie algebra En， for 0≤n≤8. We  investigate the property of the exceptional lines  on a del Pezzo surface X9 of degree 0， and prove that there are infinitely many such lines. We also prove that the Weyl group W（E8） acts on these lines transitively.

Keywords：del Pezzo surface; line; Weyl group2020 MSC：14A25

（编辑 陶志宁）

基金项目：国家自然科学基金面上项目（11171258）

*通信作者简介：张加劲（1973—），男，教授，主要从事代数几何的研究，E-mail：jjzhang@scu.edu.cn

引用格式：武杭杭，张加劲. 零次Del Pezzo曲面上的直线[J]. 四川师范大学学报（自然科学版），2024，47（5）：708-710.