几类量子BCH码的构造

蒲可莉 廖群英

摘要：量子纠错码可以有效地克服量子消相干，是实现量子计算的关键技术.量子纠错码可以利用满足特定关系的经典纠错码来进行构造.BCH码作为一类距离可设计的特殊循环码，具有很好的代数结构，所以可以用来构造量子BCH码.首先给出有限域Fq（q为素数方幂）上模n分圆陪集是单元集的等价刻画和性质.然后利用CSS构造和Steane构造得到两类有限域Fq上的新的量子BCH码，最后将分圆陪集的相关结果推广到有限域Fq2上，并利用Hermitian构造得到一类量子BCH码.

关键词：分圆陪集; CSS构造; Steane构造; Hermitian构造; 量子BCH码

中图分类号：O236.2  文献标志码：A  文章编号：1001-8395（2024）05-0689-07

doi：10.3969/j.issn.1001-8395.2024.05.015

1994年，Shor[1]提出了计算效率高的量子算法，用于大数分解和计算离散对数，基于这些算法，量子计算机的所有者可以破解公钥密码系统.1997年，Grover[2]提出了一种量子算法用于搜索非结构化数据库，它比经典的搜索算法速度更快.这些成果使得量子算法的性能受到了广泛关注.然而，量子系统和环境之间并不是完全孤立的，量子计算机的量子态与外部环境发生相互作用，破坏量子态间的相干性，从而导致量子消相干现象.环境中的噪声将纯纠缠态变成混合态，导致传输的量子信息出错.所以若要量子计算机或长距离量子通信成为现实，则必须克服消相干现象带来的影响.量子纠错码正是解决量子消相干的主要方式之一.1995—1996年，Shor等[3-4]得到了7个和9个量子位的量子纠错码，证明了可以通过对信息增加冗余来对量子系统进行编码，这是量子纠错码的最早例子.同经典纠错码理论一样，构造具有良好参数的量子纠错码十分重要.在Shor[3]，Steane[5-6]和Calderbank等[7]的工作之后，量子纠错码理论在近20年来得到了迅速的发展.众所周知，利用CSS构造，Steane构造以及Hermitian构造可以将量子码与有限域上的经典线性码建立很好的对应关系，从而可以利用某些满足特定性质的经典线性码来构造量子纠错码.在经典编码理论中，循环码具有良好的代数结构和循环特性，便于编码和译码，所以应用广泛.因此，很多人开始研究如何利用循环码来构造参数优良的量子码.例如：Calderbank等[7]利用有限域上的经典加性码构造了一批二元量子BCH码，随后将该结构推广到了有限域上的任何非二元量子BCH码[8];文献[9-15]利用有限域上参数不同的经典BCH码，得到了一系列参数优的量子BCH码.此外，一些学者基于有限域上的负循环码和常循环码，分别在文献[16-19]中构造了具有不同码长的量子负循环码和量子常循环码.

CSS构造、Steane构造以及Hermitian构造是3种常见的量子码构造方法，其关键是构造相应参数的经典线性码使其满足对偶包含或自正交条件.而BCH码的正交性可通过其定义集来刻画.因此，利用BCH码来构造参数优良的量子BCH码，依赖于分圆陪集的选择.所以，本文以有限域上的分圆陪集为工具，证明了一些特殊码长的经典BCH码是对偶包含码.最后，利用CSS构造，Steane构造以及Hermitian构造得到了一系列的量子BCH码.

为叙述方便，我们先对本文出现的一些符号作如下说明：

1） q表示素数方幂，Fq表示q个元素的有限域，Fq[x]表示Fq上的多项式环;

2） 对任意a，b∈Z，（a，b）表示a与b的最大公因子;

3） 对任意实数y，「y表示不小于y的最小整数.

1 预备知识

设n为正整数，参数为[n，k，d]的线性码C是Fnq的k维子空间，其中，n为码长，k为维数，d为最小汉明距离.本文总假设（n，q）=1，称使得qm≡1（mod n）成立的最小正整数m为q模n的乘法阶，记为m=ordn（q）.

定义 1.1 对任意的i∈Z+，有限域Fq上包含i的模n的分圆陪集定义为

Ci={i，iq，…，iqli-1（mod n）}，

其中，li是使得iqli≡i（mod n）成立的最小正整数，Ci中的最小元素称为Ci的陪集代表元.

性质 1.2 Fq中的分圆陪集满足以下性质：

1） |Ci||ordn（q）;

2） 对任意分圆陪集Ci和Cj，有Ci≠Cj当且仅当i≠jqz（mod n），其中z∈Z+.

定义 1.3 参数为[n，k，d]的q元线性码C叫作循环码，是指若c=（c0，c1，…cn-1）∈C，则有c′=（cn-1，c0，…cn-2）∈C.若将c=（c0，c1，…cn-1）表示成多项式c（x）=∑n-1i=0cixi，则码长为n的q元循环码可以看成是商环Fq[x]/（xn-1）的理想.熟知Fq[x]/（xn-1）的理想都是主理想，故循环码C也可表示成C=〈g（x）〉，其中g（x）是xn-1在Fq[x]中的首一多项式因式.称g（x）为循环码C的生成多项式，而h（x）=xn-1g（x）称为C的校验多项式，并且k=deg（h（x））.

设α是Fqm的本原元，令β=αqm-1n，则C的定义集定义为D={0≤i≤n-1|g（βi）=0}.

蒲可莉，等：几类量子BCH码的构造

定义 1.4 设α是Fqm的本原元，β=αqm-1n.对任意正整数b和δ（2≤δ≤n-1），以多项式

g（q，n，δ，b）（x）=lcm（Mb（x），Mb+1（x），…，Mb+δ-2（x））

为生成多项式的循环码叫作码长为n，设计距离为δ的BCH码，记为C（q，n，δ，b），其中，Mi（x）为βi（b≤i≤b+δ-2）

433≥5[[732，710，d≥5]]≈0.97

655≥7[[1 098，1 064，d≥7]]≈0.97

现在，利用Steane构造方法构造Fq上码长n=rqm-1q-1的量子BCH码，即如下的定理.

定理 3.3

设n=rqm-1q-1，ordn（q）=m是奇素数.若2≤t≤q-1，1≤c≤t-1，

则存在Fq上参数为[[n，n-m（c+t），dq]]的量子BCH码，其中dq≥min{t+1，「（q+1）（c+1）q}.

证明 设α是Fqm的本原元，令β=αqm-1n，则β是n次本原单位根.由2≤t≤q-1及引理2.2可知，Ci∩Cj=，其中1≤i≠j≤t.

设q元BCH码

C1=[n，k1，d1]=〈∏ti=1∏s∈Ci（x-βs）〉（9）

和

C2=[n，k2，d2]=〈∏cj=1∏s∈Cj（x-βs）〉， （10）

则分别由C1和C2的生成多项式以及BCH界可得

d1≥t+1，（11）

d2≥c+1.（12）

由于m是奇素数，由性质1.2可得|Ci|=1或者m，其中1≤i≤t.

令d=（qm-1q-1，q-1r），与定理3.2的证明类似，同样可得d≤m.又2≤t≤q-1且1≤c≤t-1，所以

1≤c

故由引理2.1可得|Ci|=m.进而，由（9）和（10）式以及Ci∩Cj=可得

k1=n-mt， k2=n-mc.（13）

另由（9）式可知C1的定义集为D1=∪ti=1Ci.由于2≤t≤q-1，故由引理2.3可得D1∩D-11=，从而C1⊥C1.由于（n-mc）-（n-mt）>2，故C2是C1的扩展码，因此

C1⊥C1C2.（14）

最后，由Steane构造法以及（11）～（14）式可得，存在参数为[[n，n-m（c+t），dq]]的q元量子BCH码，其中dq≥min{t+1，「（q+1）（c+1）q}.

例 2 设q=13，m=3，根据定理3.3可以得到不同参数的量子BCH码.结果如下：

rctd[[n，k，d]]kn

112≥3[[57，48，d≥3]]≈0.84

223≥4[[114，99，d≥4]]≈0.87

334≥5[[171，150，d≥5]]≈0.88

656≥7[[342，309，d≥7]]≈0.90

推论 3.4 设n=r（q3-1q-1），且ordn（q）=3.若r≠2，则存在参数为[[n，n-5，3]]的q元量子BCH码.

证明 由n=r（q3-1q-1）以及q3≡1（mod n）可得，Cq2+q={q+1，q2+1，q2+q}，Cq2+q+1={q2+q+1}，因此Cq2+q∩Cq2+q+1=.

设β是Fq3的n次本原单位根.现考虑q元BCH码

C1=[n，k1，d1]=〈∏s∈Cq2+q∪Cq2+q+1（x-βs）〉 （15）

及

C2=[n，k2，d2]=〈∏s∈Cq2+q+1（x-βs）〉.

由于

Cq2+q∪Cq2+q+1={q+1，q2+1，

q2+q，q2+q+1}，

且Cq2+q+1={q2+q+1}，

故由（15）和（16）式分别可得C1=[n，n-4，d1]，C2=[n，n-1，d2]，其中d1≥3，d2≥2.

因为（n-1）-（n-4）>2，所以C2是C1的扩展码.进而，由（15）式可知C1的定义集为

D1=Cq2+q∪Cq2+q+1={q+1，q2+1，q2+q，q2+q+1}.

又D-11={-i（mod n）|i∈D1}，所以

D-11={rq2+（r-1）q+r-1，

（r-1）q2+rq+r-1，（r-1）q2+（r-1）q+r，（r-1）q2+（r-1）q+r-1}.

由于r≠2，故D1∩D-11=，从而C1⊥C1.

综上，由Steane构造可得参数为[[n，n-5，d]]的q元量子BCH码，其中d≥3.

若d>3，则n-5+2d-2>n，这与量子码的Singleton界相矛盾.故存在参数为[[n，n-5，3]]的q元量子BCH码.

最后，令Q=q2，利用Hermitian方法来构造码长n=rQm′-1Q-1的Q元量子BCH码，即如下定理.

定理 3.5 设n=rQm′-1Q-1，ordn（Q）=m′>3是奇素数.若1≤t≤Q-1，则存在参数为[[n，n-2m′t，dQ]]的Q元量子BCH码，其中dQ≥t+1.

证明 设α是FQm′的本原元，令β=αQm′-1n，则β是n次本原单位根.因为1≤t≤Q-1，故由推论2.5可得Ci∩Cj=，其中1≤i≠j≤t.设C=[n，k，dC]是FQ上生成多项式为

g（x）=∏ti=1∏s∈Ci（x-βs）（17）

的BCH码，则C的定义集为

DC=∪ti=1Ci.（18）

显然，由BCH界可得

dC≥t+1.（19）

当m′为奇素数时，对1≤i≤t，有|Ci|=1或m′.

令d′=（Qm′-1Q-1，Q-1r），

则

Qm′-1Q-1=（kd′r+1）m′-1+…+（kd′r+1）+1， k∈Z+，

故d′|m′，从而d′≤m′.

又因1≤t≤Q-1，所以

1≤t≤Q-1

故由推论2.4可得|Ci|=m′.因为Ci∩Cj=，

所以由（17）式可得

k=n-m′t.（20）

由于m′>3且1≤t≤Q-1，故由引理2.6可得DC∩DC-q=，从而

C⊥HC.（21）

最后，由Hermitian构造以及（19）～（21）式，可得参数为[[n，n-2m′t，dQ]]的Q元量子BCH码，其中dQ≥t+1.

4 结束语

文献[13]构造了一些码长为n=r（q±1）的量子BCH码，其中ordn（q）=2.对于码长n=r（q3-1）且q≡2（mod 3）的情形，文献[10]利用Hermitian构造法得到了一系列量子BCH码.文献[19]利用有限域上码长n=r（qm-1）的常循环码，构造了一批量子常循环码，其中ordn（q）=2m.本文首先给出有限域Fq上分圆陪集是单元集的充要条件以及性质.针对经典BCH码，利用这些分圆陪集的性质，得到了一些特殊码长的对偶包含BCH码，并利用CSS构造及Steane构造得到了两类码长为n=rqm-1q-1的量子BCH码，其中ordn（q）=m是奇素数.这些结果，进一步丰富了量子BCH码的种类.随后，将相关结果推广到有限域Fq2，并利用Hermitain构造得到了一类码长为n=r（Qm′-1Q-1）的量子BCH码，其中Q=q2，ordn（Q）=m′>3是奇素数.

致谢阿坝师范学院校级专项项目（AS-RCZX2023-03）对本文给予了资助，谨致谢意.

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Several Classes of Quantum BCH Codes

PU Keli1，2， LIAO Qunying1

（1. School of Mathematics and Science， Sichuan Normal University， Chengdu 610066， Sichuan;2. Institute of Mathematics， Aba Teachers College， Wenchuan 623000， Sichuan）

Abstract：Quantum error-correcting codes can be used to overcome quantum decoherence efficiently， which is the key technology to realize quantum computing. A series of quantum codes were proposed based on classical codes. In this paper， a necessary and sufficient condition for being the number of elements in cyclotomic cosets over finite fields is given and then some characteristics for cyclotomic cosets over finite fields are presented. Later， a series of new quantum BCH codes over the finite field Fq are constructed by CSS （Calderbank-Shor-Steane） construction or Steane construction， where q is a power of the prime. Finally， a class of quantum BCH codes over Fq2 are constructed by using Hermitian construction.

Keywords：cyclotomic coset; CSS construction; Steane construction; Hermitian construction; quantum BCH code2020 MSC：11T71

（编辑 周 俊）

基金项目：国家自然科学基金（12071321）和四川省科技计划资助项目（23ZYZYTS0335）

*通信作者简介：廖群英（1974—），女，教授，主要从事代数编码与密码学的研究，E-mail：qunyingliao@sicnu.edu.cn

引用格式：蒲可莉，廖群英. 几类量子BCH码的构造[J]. 四川师范大学学报（自然科学版），2024，47（5）：689-695.