一般加性噪声扰动的分数阶随机复Ginzburg-Landau方程解的适定性

刘爱丽 任蝶 邹艳艳 舒级

摘要：证明带有一般加性噪声的分数阶复Ginzburg-Landau方程解的存在性与唯一性.首先通过一族正则函数逼近原方程，然后再建立逼近解的一致估计，最后再通过极限过程证明方程的存在性和唯一性.

关键词：Ginzburg-Landau方程; 一般加性噪声; 分数阶拉普拉斯算子; 适定性

中图分类号：O175.29  文献标志码：A  文章编号：1001-8395（2024）05-0682-07

doi：10.3969/j.issn.1001-8395.2024.05.014

本文考虑了如下定义在Rn上的分数阶随机复Ginzburg-Landau方程解的适定性.给定α∈（0，1），对于t>0，

du（t）+（1+iγ）（-Δ）αu（t）dt+f（t，x，u（t））dt=（h（t，x，u（t））+g（t，x））dt+σ（t，w，u（t））dW，（1）

初始条件

u（0，x）=u0（x）， x∈Rn，（2）

其中，（-Δ）α是分数阶拉普拉斯算子，f（t，x，u（t））=（1+iβ）|u（t）|2u（t）是非线性函数，i是虚部，β，γ>0，h为未知的复值Lipschitz函数，g∈L2loc（R;L2（Rn）），σ是一个局部Lipschitz非线性扩散系数，W是一个定义在完备滤子空间（Ω，F，{Ft}t∈R，P）上的一个双边U-值柱形维纳过程，其中{Ft}t∈R是递增的右连续族，由包含了所有的零测度集的F -σ代数组成.

本文将研究随机复分数阶Ginzburg-Landau方程在一般加性噪声的扰动下解的适定性，主要思想来源于文献[1].分数阶拉普拉斯算子在物理学等领域有着广泛的应用[2-4].复Ginzburg-Landau方程被视为耗散情形下一种特殊的非线性Schrdinger方程，是数学物理中最重要的方程之一，具有非常丰富的物理背景和内涵，例如Benard对流问题[5]，Taylor-Couette流动[6]，平面Poiseuille流[7]，超导中的涡流问题[8]等.分数阶Ginzburg-Landau方程是当下热门课题之一，许多数学家对它的物理性质和数学理论都表现出极大的兴趣和关注，目前已经有很多研究成果[9-15].本文所研究的分数阶Ginzburg-Landau方程解的适定性在之前已经有了很多研究[16-20].

1 预备知识

本节回顾了分数阶拉普拉斯算子的定义并介绍了所研究Ginzburg-Landau方程解的定义.

设S为Schwartz空间，它是由所有定义在Rn上的快速衰减函数所构成的空间.对于0<α<1和u∈S，定义分数阶拉普拉斯算子（-Δ）α为

（-Δ）αu（x）dx=-12C（n，α）×∫Rnu（x+y）+u（x-y）-2u（x）|y|n+2αdy， x∈Rn，（3）

其中C（n，α）是一个正数：

C（n，α）=α4αΓ（n+2α2）πn2Γ（1-α），（4）

其中，Γ是通常的Gamma函数.由文献[21]可知，对于所有的u∈S，

（-Δ）αu=F-1（|ξ|2α（Fu））， ξ∈Rn， （5）

其中，F为傅里叶变换，F-1为傅里叶逆变换.

对于0<α<1，定义分数阶Sobolev空间Hα（Rn）为

Hα（Rn）={u∈L2（Rn）：∫Rn∫Rn|u（x）-u（y）|2|x-y|n+2αdxdy<∞}，

赋予其范数：

‖u‖Hα（Rn）=（∫Rn|u（x）|2dx+∫Rn∫Rn|u（x）-u（y）|2|x-y|n+2αdxdy）12.

由文献[21]可知

（‖u‖L2（Rn））+‖（-Δ）α2u‖2L2（Rn））12

是‖u‖Hα（Rn）的一个等价范数.Hα（Rn）空间中的内积被定义为

（u，v）Hα（Rn）=∫Rnu（x）v（x）dx+∫Rn∫Rn（u（x）-u（y））（v（x）-v（y））|x-y|n+2αdxdy，u，v∈Hα（Rn）.

为了方便，记H=L2（Rn），V=Hα（Rn），H*和V*分别是H和V的对偶空间.L2（Rn）的范数与内积记为‖·‖，（·，·）.给定一个可分的Hilbert空间U，用L2（U，H）表示U到H的Hilbert-Schmidt算子所构成的空间，记L2（U，H）的范数为‖·‖L2（U，H）.本文对于任意的u，v∈C，（u，v）=∫Rnudx.

刘爱丽，等：一般加性噪声扰动的分数阶随机复Ginzburg-Landau方程解的适定性

对于非线性扩散系数σ，假设对于每一个固定的u∈H，σ（·，·，u）：R×Ω→L2（U，H）是循序可测的.

对于漂移项h，假设h：R×Rn×C→C是连续的，使得对于所有的t>0，u1，u2∈C且x∈Rn，

h（t，x，0）=0，|h（t，x，u1）-h（t，x，u2）|≤ψ（t，x）|u1-u2|，（6）

其中ψ∈L∞loc（[WTHZ]R[WT]，L∞（[WTHZ]R[WT]n））.

事实上，容易得到存在常数c>0使得对于所有的z1，z2∈C，

||z1|2z1-|z2|2z2|≤c（|z1|2+|z2|2）|z1-z2|.（7）

通过（7）式可知

‖|u|2u-|v|2v‖2≤2c2（‖u‖4+‖v‖4）‖u-v‖2， u，v∈H.（8）

现定义一个全局Lipschitz函数去逼近局部Lipschitz非线性项f，对于每一个n∈N，ξn：C→C：

ξn（s）=s，|s|≤n，ns|s|，|s|>n.

容易证得ξn：C→C是全局Lipschitz连续的.事实上，可以得到

|ξn（s1）-ξn（s2）|≤|s1-s2|，s1，s2∈C（9）

且

|ξn（s）|≤n， |ξn（s）|≤|s|， ∈C.（10）

令

fn（t，x，s）=f（t，x，ξn（s））=（1+iβ）|ξn（s）|2ξn（s），

于是给定n∈N，通过（7），（9）和（10）式可以发现：对于s，s1，s2∈H，

‖（1+iβ）|ξn（s1）|2ξn（s1）-（1+iβ）|ξn（s2）|2ξn（s2）‖2≤4b2n4‖s1-s2‖2，（11）

其中b>0为一个常数.

定义 1.1

令u0∈L2（Ω，H）是F0-可测的.若一个连续的H-值Ft-适应的随机过程u满足，

u∈L2（Ω，C（[0，T]，H））∩L2（Ω，L2（0，T;V））∩L4（Ω，L4（0，T;L4（Rn）））， T>0，（12）

使得对于所有的t≥0，ξ∈V∩L4（Rn），下面的式子在P-几乎处处的条件下成立，

（u（t），ξ）+∫t0（1+iγ）（（-Δ）α2，（-Δ）α2ξ）ds+∫t0（f（s，x，u（s）），ξ）dxds=（u0，ξ）+∫t0（h（s，·，u（s）），ξ）ds+∫t0（g（s），ξ）ds+∫t0（σ（s，u（s）），ξ）dW，（13）

其中随机项中的ξ由Riesz表示定理看成是H*=H中的元，则称u是方程（1）和（2）的一个解.

注 1.2

若u是（1）和（2）式在定义1.1意义下的一个解，则

（-Δ）αu∈L2（Ω，L2（0，T;V*）），f∈L43（Ω，L43（0，T;L43（Rn）））.

因此，一个连续H-值的Ft-适应的随机过程u是（1）和（2）式在定义1.1的意义下的一个解当且仅当u满足（12）式，且对所有的t≥0，下面的等式在

（V∩L4（Rn））*中成立且在P-几乎处处的条件下成立，

u（t）+∫t0（1+iγ）（-Δ）αu（s）ds+∫t0f（s，·，u（s））ds=u0+∫t0h（s，·，u（s））ds+∫t0g（s）ds+∫t0σ（s，u（s））dW.（14）

因此（13）和（14）式是等价的.

2 一般加性噪声情形的适定性

本节证明带有一般加性噪声的方程（1）和（2）的解的存在性与唯一性.更具体地说，设σ：R×Ω→L2（U，H）是一个循序可测的过程使得

σ∈L2（Ω，L2（0，T;L2（U，H）））， T>0.（15）

于是考虑如下带有一般加性噪声的Ginzburg-Landau方程：

du（t）+（1+iγ）（-Δ）αu（t）dt+f（t，x，u（t））dt=h（t，x，u（t））dt+g（t，x）dt+σ（t，ω）dW，x∈Rn， t>0，（16）

初始条件

u（0，x）=u0（x）， x∈Rn，（17）

其中，f（t，x，u（t））=（1+iβ）|u（t）|2u（t）.

接下来，将去证明方程（16）和（17）在条件（15）下解的存在性与唯一性.

定理 2.1

假设（6），（11）和（15）式成立且u0∈L2（Ω，H）是F0-可测的，则问题（16）和（17）在定义1.1的意义下有唯一解u满足：

‖u‖2L2（Ω，C（[0，T]，H））+‖u‖2L2（Ω，L2（0，T;V））+‖u‖4L4（Ω，L4（0，T;L4（Rn）））≤L（T）（1+‖u0‖2L2（Ω，H）+‖g‖2L2（0，T;H）+‖σ‖2L2（Ω，L2（0，T;L2（U，H）））），（18）

其中L（T）是只与T有关的正数.

证明 此定理的证明分为以下四步完成.

1） 正则函数的逼近.在这一步中，通过一族正则函数来逼近（15）式中的σ，为了达到目的，选择一个正整数h0使得h0>n8.于是对每个0<α<1，H2h0（Rn）L4（Rn）且H2h0（Rn）Hα（Rn）.令V0=H2h0，于是有V0V且V0L4（Rn）.给定k∈N，设σk=（I-1kΔ）-h0σ，则σk∈L2（0，T;L2（U，V0））.

通过文献[22]中定理2.3可知，对于任意k∈N，存在唯一连续的H-值Ft-适应的随机过程uk，且uk∈L2（Ω，C（[0，T]，H））∩L2（Ω，L2（0，T;V））∩L4（Ω，L4（0，T;L4（Rn））），使得对于任意t≥0且ξ∈V∩L4（Rn），在P-几乎处处的意义下有

（uk（t），ξ）+∫t0（1+iγ）（（-Δ）α2uk（s），（-Δ）α2ξ）ds+∫t0（f（s，·，uk（s）），ξ）ds=（u0，ξ）+∫t0（h（s，·，uk（s）），ξ）ds+∫t0（g（s），ξ）ds+∫t0ξσk（s）dW（s）.（19）

由文献[22]可知，存在一个与k无关的正数c1=c1（t）使得对于任意的k∈N，

‖uk‖2L2（Ω，C（[0，T]，H））+‖uk‖2L2（Ω，L2（0，T;V））+‖uk‖4L4（Ω，L4（0，T;L4（Rn）））≤c1（1+‖u0‖2L2（Ω，H）+‖g‖2L2（0，T;H）+‖σk‖2L2（Ω，L2（0，T;L2（U，H））））.

根据算子（I-1kΔ）-h0的压缩性，对所有k∈N，

‖uk‖2L2（Ω，C（[0，T]，H））+‖uk‖2L2（Ω，L2（0，T;V））+‖uk‖4L4（Ω，L4（0，T;L4（Rn）））≤c1（1+‖u0‖2L2（Ω，H）+‖g‖2L2（0，T;H）+‖σ‖2L2（Ω，L2（0，T;L2（U，H））））.（20）

由（20）式可得，对任意k∈N，

‖f（·，·，uk）‖43L43（Ω，L43（0，T;L43（Rn）））=∫T0∫Rn|（1+iβ）|uk（t）|2uk（t）|43dxdt≤c2∫T0∫Rn|uk（t）|4dxdt=c2‖uk‖4L4（0，T;L4（Rn））≤c3（1+‖u0‖2L2（Ω，H）+‖g‖2L2（0，T;H）+‖σ‖2L2（Ω，L2（0，T;L2（U，H））））.（21）

2） 逼近解的一致估计.由文献[22]中定理3.3的证明可知，对于任意的k∈N，（19）式的解uk可以通过下面在V*中的方程的解uk，n取极限得到

uk，n（t）+∫t0（1+iγ）（-Δ）αuk，n（s）ds+∫t0fn（s，·，uk，n（s））ds=∫t0h（s，·，uk，n（s））ds+u0+∫t0g（s）ds+∫t0σk（s）dW.（22）

故

uk1，n（t）-uk1，n（t）+∫t0（1+iγ）（-Δ）α（uk1，n（s）-uk2，n（s））ds+∫t0fn（s，·，uk1，n（s））-fn（s，·，uk2，n（s））ds=∫t0h（s，·，uk1，n（s））-h（s，·，uk2，n（s））ds+∫t0σk1（s）-σk2（s）dW.

对上式运用伊藤公式并取实部可得

‖uk1，n（t）-uk1，n（t）‖2+2∫t0‖（-Δ）α2（uk1，n（s）-uk2，n（s））‖2ds=-2Re∫t0（fn（s，·，uk1，n（s））-fn（s，·，uk2，n（s）），uk1，n（s）-uk2，n（s））ds+2Re∫t0（h（s，·，uk1，n（s））-h（s，·，uk2，n（s）），uk1，n（s）-uk2，n（s））ds+∫t0‖σk1（s）-σk2（s）‖2L2（U，H）ds+2Re∫t0（uk1，n（s）-uk2，n（s），σk1（s）-σk2（s））dW.（23）

先处理（23）式右边的第一项.由（11）式可知

-2Re∫t0（fn（s，·，uk1，n（s））-fn（s，·，uk2，n（s）），uk1，n（s）-uk2，n（s））ds=-2Re∫t0（（1+iβ）|ξn（uk1，n（s））|2ξn（uk1，n（s））-（1+iβ）|ξn（uk2，n（s））|2ξn（uk2，n（s）），uk1，n（s）-uk2，n（s））ds≤2∫t0‖（1+iβ）|ξn（uk1，n（s））|2ξn（uk1，n（s））-（1+iβ）|ξn（uk2，n（s））|2ξn（uk2，n（s））‖×‖uk1，n（s）-uk2，n（s）‖ds≤4bn2∫t0‖uk1，n（s）-uk2，n（s）‖2ds.（24）

再处理（23）式右边的第二项.由（6）式可知

2Re∫t0（h（s，·，uk1，n（s））-h（s，·，uk2，n（s）），uk1，n（s）-uk2，n（s））ds≤2∫t0∫Rnψ（t，x）|uk1，n（s）-uk2，n（s）|2dxds≤2‖ψ‖L∞（0，T;L∞（Rn））×∫t0‖uk1，n（s）-uk2，n（s）‖2ds.  （25）

将（24）和（25）式代入（23）式中可得

‖uk1，n（t）-uk1，n（t）‖2+2∫t0‖（-Δ）α2×（uk1，n（s）-uk2，n（s））‖2ds≤c4∫t0‖uk1，n（s）-uk2，n（s）‖2+∫t0‖σk1（s）-σk2（s）‖2L2（U，H）ds+2Re∫t0（uk1，n（s）-uk2，n（s），σk1（s）-σk2（s））dW.

再由Burkholder-Davis-Gundy不等式，对于T>0，存在与k1，k2，n无关的正数c5=c5（T）使得

E（sup0≤t≤T‖uk1，n（t）-uk2，n（t）‖2）+E（∫T0‖uk1，n（s）-uk2，n（s）‖2Vds≤c5E（∫T0‖σk1（s）-σk2（s）‖2L2（U，H）ds）.（26）

由文献[22]可知，存在Ω的一个子集Ω1，且P（Ω1）=1，使得对于每一个固定的k∈N和ω∈Ω1，当n→∞时，

在L∞（0，T;H）中，

uk，n（ω）w*uk（ω），（27）

在L2（0，T;V）中，

uk，n（ω）wuk（ω），（28）

在L4（0，T;L4（Rn）中，

ξ（uk，n）（ω）wuk（ω），（29）

在L43（0，T;L43（Rn）），

fn（·，·，uk，n（ω））ωf（·，·，uk（ω））.（30）

由（28）式可知

‖uk1（ω）-uk2（ω）‖2L2（0，T;V）≤lim infn→∞‖uk1，n（ω）-uk2，n（ω）‖2L2（0，T;V）.

因此

E（‖uk1-uk2‖2L2（0，T;V））≤E（lim infn→∞‖uk1，n-uk2，n‖2L2（0，T;V））.

由（26）式和Fatou引理可知

E（‖uk1-uk2‖2L2（0，T;V））≤E（lim infn→∞‖uk1，n-uk2，n‖2L2（0，T;V））≤

c6E（∫T0‖σk1（s）-σk2（s）‖2L2（U，H）ds）.（31）

类似地，通过（27）式和Fatou引理可知

E（‖uk1-uk2‖2C（[0，T]，H））≤c6E（∫T0‖σk1（s）-σk2（s）‖2L2（U，H）ds）.（32）

由于在L2（Ω，L2（0，T;L2（U，H）））中，当k→∞时，σk→σ，故{uk}∞k=1是L2（Ω，C（[0，T]，H））∩L2（Ω，L2（0，T;V））中的柯西列.因此，存在u∈L2（Ω，C（[0，T]，H））∩L2（Ω，L2（0，T;V））使得在L2（Ω，C（[0，T]，H））∩L2（Ω，L2（0，T;V））中，

limk→∞ uk=u，（33）

其中的u是一个连续的H-值Ft-适应过程.

另一方面，通过（33）式可知，存在一个子列，使得对于几乎处处的（ω，t，x）∈Ω×[0，T]×Rn，

uk→u.（34）

由（21）式可知，存在M∈L43（0，T;L43（Rn））使得在L43（0，T;L43（Rn））中，

f（·，·，uk）ωM.（35）

通过（34）和（35）式及Mazur定理可知M=f（·，·，u），因此在

L43（0，T;L43（Rn））中，f（·，·，uk）ωf（·，·，u）.（36）

类似地，通过（20）和（34）式可知在L4（0，T;L4（Rn））中，

uk→u.（37）

3） 逼近解的极限过程.给定φ∈L∞（Ω，Rn），ξ∈V∩L4（Rn），由（33）式，对任意t∈[0，T]，

E（（uk（t），ξ）φ）→E（（u（t），ξ）φ）.（38）

此外，通过（33）式可知，对于任意t∈[0，T]，

E（φ∫t0（1+iγ）（（-Δ）α2uk（s），（-Δ）α2ξ）ds）=E（∫t0（1+iγ）（（-Δ）α2uk（s），1[0，t]（s）φ（-Δ）α2ξ）ds）→

E（∫t0（1+iγ）（（-Δ）α2u（s），1[0，t]（s）φ（-Δ）α2ξ）ds）=E（φ∫t0（1+iγ）（（-Δ）α2u（s），（-Δ）α2ξ）ds）.（39）

类似地，由（36）式可知，对于任意t∈[0，T]，

E（φ∫t0（f（s，·，uk（s）），ξ）ds）→E（φ∫t0（f（s，·，u（s）），ξ）ds）.（40）

又因为在L2（Ω，L2（0，T;L2（U，H）））中σk→σ，可得，对于任意t∈[0，T]，

E（φ∫t0ξσk（s）dW（s））→E（φ∫t0ξσ（s）dW（s））.（41）

将方程（19）两边同时乘以φ，再取期望，令k→∞，于是由（6），（33）和（38）～（41）式可知，对于任意t∈[0，T]，ξ∈V∩L4（Rn），

E（φ（u（t），ξ））+E（φ∫t0（1+iγ）（（-Δ）α2u（s），（-Δ）α2ξ）ds）+E（φ∫t0（f（s，·，u（s）），ξ）ds）=E（φ（u0，ξ））+E（φ∫t0（1+iγ）（（-Δ）α2u（s），（-Δ）α2ξ）ds）+E（φ∫t0（g（s），ξ）ds）+E（φ∫t0ξσ（s）dW（s））.（42）

由于φ∈L∞（Ω，R）是任意的，从（42）式可以推断出，对于任意t∈[0，T]，ξ∈V∩L4（Rn），存在Ω的子集Ω2且Ω2只与t和ξ有关，P（Ω2）=0，使得对于任意的ω∈ΩΩ2，

（u（t），ξ）+∫t0（1+iγ）（（-Δ）α2u（s），（-Δ）α2ξ）ds+∫t0（f（s，·，u（s）），ξ）dxds=（u0，ξ）+∫t0（h（s，·，u（s）），ξ）ds+∫t0（g（s），ξ）ds+∫t0ξσ（s）dW（s）.（43）

注意到Ω2也许依赖于t∈[0，T]，ξ∈V∩L4（Rn）.由于空间V∩L4（Rn）是可分的且（43）式中的每一项对时间t都是连续的，因此，能够找到一个不依赖于t和ξ的子集Ω2且P（Ω2）=0，使得（43）式对任意的ω∈ΩΩ2，t∈[0，T]且ξ∈V∩L4（Rn）成立.

最后，由（33）和（37）式可知

u∈L2（Ω，C（[0，T]，H））∩L2（Ω，L2（0，T;V））∩L4（Ω，L4（0，T;L4（[WTHZ]R[WT]n）））.（44）

此外，通过（20），（33）和（37）式可知

‖u‖2L2（Ω，C（[0，T]，H））+‖u‖2L2（Ω，L2（0，T;V））+‖u‖4L4（Ω，L4（0，T;L4（Rn）））≤c1（1+‖u0‖2L2（Ω，H）+‖g‖2L2（0，T;H）+‖σ‖2L2（Ω，L2（0，T;L2（U，H））））.（45）

4） 解的唯一性.假设u1和u2都是（16）和（17）式在定义1.1意义下的解，初值分别为u0，1和u0，2.设=u1-u2，于是有对任意的t∈[0，T]且ξ∈V∩L4（Rn），下面的式子在P-几乎处处的意义下成立：

（（t），ξ）+∫t0（1+iγ）（（-Δ）α2（s），（-Δ）α2ξ）ds+∫t0（f（s，·，u1（s））-f（s，·，u2（s）），ξ）ds=（u0，1-u0，2，ξ）+∫t0（h（s，·，u1（s））-h（s，·，u2（s）），ξ）ds.（46）

同时有

ddt=-（1+iγ）（-Δ）α-f（·，·，u1）-f（·，·，u2）+h（·，·，u1）-h（·，·，u2）.（47）

由（44），（47）式和文献[23]可知，对于几乎所有的t∈[0，T]，

ddt‖（t）‖2=-2‖（-Δ）α2（t）‖2-2Re（f（·，·，u1（t））-f（·，·，u2（t）），（t））+2Re（h（·，·，u1（t））-h（·，·，u2（t）），（t））.（48）

先处理（47）式右边第二项：

-2Re（f（·，·，u1（t））-f（·，·，u2（t）），（t））=-2Re（（1+iβ）|u1（t）|2u1（t）-（1+iβ）|u2（t）|2u2（t），u1（t）-u2（t））≤21+β2c2（‖u1（t）‖4+‖u2（t）‖4）‖（t）‖2+1+β2‖（t）‖2.（49）

再处理（47）式右边的第三项：

2Re（h（·，·，u1（t））-h（·，·，u2（t）），（t））≤2∫Rn|h（t，x，u1（t））-h（t，x，u2（t））||（t）|dx≤2∫Rnψ（t，x）|（t）|2dx≤2‖ψ‖L∞（0，T;L∞（Rn））‖（t）‖2.

由（47）～（49）式和Gronwall不等式可知

‖（t）‖2≤e21+β2c2（‖u1（t）‖4+‖u2（t）‖4）+c7×‖0，1-0，2‖2.

从而有

E（‖（t）‖2）≤e21+β2c2（‖u1（t）‖4+‖u2（t）‖4）+c7E（‖0，1-0，2‖2）.

唯一性得证.

参考文献

[1] WANG B. Dynamics of fractional stochastic reaction-diffusion equations on unbounded domains driven by nonlinear noise[J]. J Differ Equ，2019，268：1-59.

[2] GUAN Q， MA Z. Boundary problems for fractional Laplacians[J]. Stoch Dyn，2005，5：385-424.

[3] AIFANTIS E C. Gradient nanomechanics： applications to deformation， fracture， and diffusion in nanopolycrystals[J]. Metallurgical and Materials Transactions A，2011，42：2985-2998.

[4] GUAN Q， MA Z. Reflected symmetric α-stable processes and regional fractional Laplacian[J]. Probab Theory Relat Fields，2006，134：649-694.

[5] BETHUEL F， BREZIS H， HELEIN F. Ginzburg-Landau vortices[M]. Boston： Birkhauser，1994.

[6] LIN F. Some dynamical properties of Ginzburg-Landau vortices[J]. Comm Pure Appl Math，1996，49：323-359.

[7] LIN F. A remark on the previous paper “Some dynamical properties of Ginzburg-Landau vortices”[J]. Comm Pure Appl Math，1996，49：361-364.

[8] BARTUCCELLI M， CONSTANTIN P， DOERING C， et al. On the possibility of soft and hard turbulence in the complex Ginzburg-Landau equation[J]. Physica D，1990，44：421-444.

[9] GUO C， SHU J， WANG X. Fractal dimension of random attractors for non-autonomous fractional stochastic Ginzburg-Landau equations[J]. Acta Math Sin（English Ser），2020，36：318-336.

[10] YANG L， SHU J. Dynamics of non-autonomous fractional stochastic Ginzburg-Landau equations with multiplicative noise[J]. Commun Pure Appl Anal，2019，18：2409-2431.

[11] LU H， BATE P W， L? S J， et al. Dynamics of the 3D fractional Ginzburg-Landau equation with multiplicative noise on an unbounded domain[J]. Commun Math Sci，2016，14：273-295.

[12] LI J， XIA L. The fractional Ginzburg-Landau equation with distributional initial data[J]. Commun Pure Appl Anal，2013，5：2173-2187.

[13] LU H， L? S. Random attractor for fractional Ginzburg-Landau equation with multiplicative noise[J]. Taiwanese Journal of Mathematics，2014，18：435-450.

[14] LU H， L? S， FENG Z. Asymptotic dynamics of 2D fractional complex Ginzburg-Landau equation[J]. International Journal of Bifurcation and Chaos，2013，23：1350202.

[15] LU H， LI J， ZHANG M. Stochastic dynamics of non-autonomous fractional Ginzburg-Landau equations on [WT5"HZ]R[WT5"BZ]3[J]. Discrete and Continuous Dynamical Systems-B，2022，27：6943-6968.

[16] GUO B， HUO Z. Well-posedness for the nonlinear fractional Schrdinger equation and inviscid limit behavior of solution for the fractional Ginzburg-Landau equation[J]. Fractional Calculus and Applied Analysis，2013，16：226-242.

[17] LI J， XIA L. Well-posedness of fractional Ginzburg-Landau equation in Sobolev spaces[J]. Appl Anal，2013，5：1074-1084.

[18] PU X， GUO B. Well-posedness and dynamics for the fractional Ginzburg-Landau equation[J]. Appl Anal，2013，92：318-334.

[19] GU X， SHI L， LIU T. Well-posedness of the fractional Ginzburg-Landau equation[J]. Appl Anal，2019，14：2545-2558.

[20] NIKOLOVA E， TARULLI M， VENKOV G. Unconditional well-posedness in the energy space for the Ginzburg-Landau equation[J]. AIP Conference Proceedings，2019，2159：030024.

[21] NEZZA E D， PALATUCCI G， VALDINOCI E. Hitchhikers guide to the fractional Sobolev spaces[J]. Bull Sci Math，2012，136：521-573.

[22] LIU A L， SHU J， ZOU Y Y， et al. Well-posedness of fractional stochastic complex Ginzburg-Landau equations driven by regular additive noise[J]. Discrete and Continuous Dynamical Systems-B，2023，28：5418-5436.

[23] LION J L. Quelques methodes de resolution des problemes aux limites non-lineaires[M]. Paris： Dunod，1969.

Well-posedness of Fractional Stochastic Complex Ginzburg-Landau Equation

Driven by General Additive Noise

LIU Aili1，2， REN Die1，2， ZOU Yanyan1，2， SHU Ji1，2

（1. School of Mathematical Science， Sichuan Normal University， Chengdu 610066， Sichuan;2. V.C. & V.R. Key Lab， Sichuan Normal University， Chengdu 610066， Sichuan）

Abstract：This paper deals with the well-posedness of the solutions of the fractional complex Ginzburg-Landau equation driven by general additive noise. We first approximate the drift coefficient by regular drift terms and construct a sequence of approximate solutions. Then we derive uniform estimates and prove the limit of the approximate solutions is a solution of the original equation. Finally， we show the uniqueness of solutions.

Keywords：Ginzburg-Landau equation; general additive noise; fractional Laplacian; well-posedness2020 MSC：３５Ｂ４４; ６０Ｈ１５

（编辑 周 俊）

基金项目：国家自然科学基金（12326414）和四川省科技厅项目（2023NSFSC0076）

*通信作者简介：舒 级（1976—），男，教授，博导，主要从事随机动力系统和偏微分方程的研究，E-mail：shuji2008@hotmail.com

引用格式：刘爱丽，任蝶，邹艳艳，等. 一般加性噪声扰动的分数阶随机复Ginzburg-Landau方程解的适定性[J]. 四川师范大学学报（自然科学版），2024，47（5）：682-688.