一道平面几何最值问题的多种解法

冯兴旺

【摘要】解三角形中的最值（或取值范围）等问题，场景新颖，知识交汇融合，技巧方法众多，是全面考查学生“四基”与能力的重要题型之一.文章基于一道平面图形翻折的模拟题的创设，以解三角形的最值问题来合理设置，从角参与边参的设置，以及坐标构建等多思维视角切入，巧妙解决相应的解三角形的最值问题，拓展数学思维，提升数学品质，引领并指导数学教学与解题研究.

【关键词】解三角形；翻折；函数；导数；不等式

引 言

解三角形中的最值（或取值范围）等问题，是近几年新高考数学试卷命题的一个热点，问题背景灵活多变，知识考查面广.特别是在新高考数学试卷中，此类问题有时还巧妙融入现实生活、数学文化等应用场景，成为一类创新性的综合应用问题，倍受各方关注.对其解题方法与技巧进行探究与总结十分必要.

一、问题呈现

本题是一道以平面图形翻折为背景的平面几何的最值问题，此类问题主要考查正弦定理、余弦定理、不等式等相关知识，以及平面几何、三角函数等知识.在解决此类问题时常用到平面几何、三角函数、解三角形、不等式、函数与导数的应用等相关知识，此类题有一定的综合性，并且对代数变形能力要求较高，综合考查直观想象、逻辑推理以及数学运算等核心素养.

根据该问题的实际应用场景，解题者可以从角参设置与边参设置等不同思维视角切入，合理构建对应的关系式，通过关系式的结构特征，利用函数思维或不等式思维并结合相关知识来分析与解决问题.

二、问题破解

（一）角参设置思维

解后反思 根据应用场景引入边参来合理构建所求线段长度的关系式，也是解决问题时比较常用的一类技巧.以边参为参数（注意对应的取值范围）所对应的函数，可以通过函数的本质，利用函数与导数的应用来处理与转化，这往往是解决与之相关的最值（或取值范围）等问题中最为常用的思维方法.

（三）坐标构建思维

方法4（导数法3）

解析 以A为坐标原点，AB，AD所在直线分别为x轴、y轴建立平面直角坐标系，

解后反思 根据平面几何图形的结构特征，将其放置于平面直角坐标系中，通过平面几何与平面解析几何的交汇来综合应用.合理引入点的坐标、直线的斜率等参数，巧妙构建所求线段的长度关系式，进而通过函数与导数的应用、重要不等式的应用等来确定对应的最值问题，从而实现问题的突破与解决.

三、教学启示

（一）命题设置方式，知识综合交汇

综合性的解三角形问题可以很好地考查学生的数学基础知识、数学思想方法与数学能力等.而处理解三角形问题往往可以利用平面几何图形来打开思路，这是近年各地高考模拟卷中解三角形问题的一个基本模式，在高考命题也必将占有一席之地.

此类解三角形问题求解的方法通常引入合理的角参或边参，结合平面几何图形的特征，综合解三角形的相关定理、性质、公式等构建关系式，通过对应的函数、不等式等知识来分析与解决问题.

（二）思路方法归纳，技巧能力提升

解决此类解三角形问题的一般思路主要包括以下两种：

（1）代数角度，寻找关于角或者边的函数或不等式关系，进而从函数或不等式视角来分析与求解.

（2）几何角度，借助平面几何知识，寻找图形中蕴藏的几何关系，从直观想象与数形结合视角来分析与求解.

当然，解决此类解三角形问题经常采用的思路是代数与几何的综合，从几何中寻找关系，进而合理构建代数关系，对代数运算与几何推理加以综合应用，分析与解决问题.

结 语

此类平面几何图形翻折成对应平面几何图形的创新应用问题，要正确把握翻折过程中变与不变的量（涉及边、角等），通过合理的参数引入来构建对应的关系式，进而将几何问题代数化，解决此类解三角形问题.

【参考文献】

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