高中数列问题的解题方法与教学策略探究

徐文京

【摘要】高中阶段是启迪学生思维、拓宽学生思想边界、培养学生学习习惯的关键时期，对学生日后的发展具有重要影响.高中数学被大部分学生公认为难度较大的科目，学生在学习时往往会对其产生一定的畏难情绪，加之数学知识点之间的关联性，若某一内容无法完全理解，则会直接影响对与之相关联知识点的理解.针对此类情况，文章从数列问题的解题方法与教学策略两个方面展开思考，结合数列类例题，总结应用数列基本概念、性质及特殊方法解题的主要思路，同时探索能够有效提升教学效果的策略，旨在提高学生的解题能力，助力高中数学教学质量的提升.

【关键词】高中数学；数列问题；解题方法；教学策略

引 言

在高中数学知识点中，数列是极为关键的部分，与几何、函数、不等式等内容均存在一定关联，在考试中占比较高.在核心素养背景下，对于高中数学教学的目标已经不再局限于传授知识点，而是传授教学思路和方法，培养学生的高阶思维，使其能够加深对知识点的理解，并能灵活运用.高中阶段的核心素养包括逻辑推理、数学建模、数学抽象、数学运算、数据分析等，对学生的个人发展具有重要推动作用.

一、高中数学数列问题解题方法探究

（一）基本概念求解

以数列问题为例，其中有很多基础类知识点，学生只需理解基本概念即可完成相关题目，这类问题考查学生的记忆能力和学习态度，要求学生掌握扎实的基础知识，为后续的多样化题目练习和综合性知识点的学习奠定基础.因此，此类问题可通过数列基本概念来完成，教学重点在于学生能够正确理解概念，从而避免失误.

以高中数学人教A版选择性必修第二册第四章“数列”中的“4.1数列的概念”这一知识点为例，题目为：已知等差数列{a}的前n项和为Sn（n为整数），若已知a2=5，S10=100，求解S5.为进一步加深学生对数列基本概念的记忆，教师可以在完成题目分析后在黑板上标注等差数列的公式，并让学生在题目旁边可见的位置做好公式标注，再一一代入已知条件.这种紧凑型的教学模式能够进一步提升学生对知识点的记忆效果，同时能够将理论知识与实际例题相结合，让学生掌握公式的运用，同时引导学生养成良好的学习习惯.在每次做题前根据已知条件判断与题目相关的知识点类型及内容，做到牢记公式，长此以往，能够培养学生发现问题、分析问题的能力，符合高中数学核心素养中对数学运算能力、问题解决能力及批判思维的培养要求.

（二）性质求解

随着学生数学知识的不断积累，其思维边界也会逐渐扩大，知识点难度随之逐渐提高，这就要求学生具备更强的理解能力和灵活性思维.仍以高中数学人教A版选择性必修第二册第四章“数列”为例，在“4. 2等差数列”中，教学目标从“了解基础公式”过渡到“发现数列性质并运用性质解决问题”.这就需要教师立足于基础知识，从考查学生对知识点的记忆能力过渡到考查学生对知识点的灵活运用与解决问题能力，这也是培养高阶思维的关键一步.

例如，已知等差数列中a3+a8=64，求取a4+a5+a6+a7的和.为进一步落实以人为本理念，培养学生独立思考的能力，教师在讲解数列性质知识点时可以给出一些比较典型的完整数列，让学生优先观察数列规律，并给予其足够的独立思考的时间.在学习性质内容时，学生已经掌握并能运用相关知识点，自然会发现数列的规律.此时再由教师揭晓数列性质的内容，以上述题目类型进行性质对照，即可获得答案.

（三）特殊方式求解

数列问题中的难点在于变化形式多样，不同类型题目能够运用多样化的解题方式来完成，但在实际应用中经常存在方式不正确、思路偏差等情况，导致无法获得正确答案，这对学生数学思维的培养也无益处，因此教师需要将问题类型与解题思路结合起来进行授课.

1.累加法

高中生数学思维的培养并不是一蹴而就的，需要经过长期的引导与训练，不断积累知识，再以此为基础进行思维的灵活发展，循序渐进地培养高阶思维.以高中数学人教A版选择性必修第二册第四章“数列”为例，强调通过数列来培养学生的数学思维和创新意识，提高学生解决问题的能力和逻辑推理的能力，使其学会观察已知题目中的要素，回忆所学过的知识，寻找关联点，从而完成解题.例如，数列问题中比较常用的方法———累加法，适用于一些相邻系数相加的问题，需要学生看到题目后快速搜索其中的要素并判断是否适合运用累加法解决问题.

例如，若数列{an}中，已知a1=3，且an+1=an+2n，求通项公式.根据题干内容来看，若直接观察题目要素并不能发现其中蕴含的数量关系，这就需要学生具备公式转换的思维，利用等号两边关系进行知识点转换，其中“an+1=an+2n”可以转换为“an+1-an=2n”，此时“an-an-1=2（n-1）”，由此可得相邻两项之间的数量关系.已知首项和项数关系后可利用通项公式得到an的值，即an=n（n-1）+3.这一问题主要考查学生的观察能力和思维的灵活性，能够主动完成公式转换，确认该问题可利用累加法来解决，再借助已有的等差数列公式知识点进行计算，从而获得答案.

2.待定系数法

待定系数法在高中数学数列解题中的运用主要针对一些求取未知数方面的内容，通过改变多项式的形式使其含有待定系数，再形成新的恒等式.解题过程中会通过恒等式性质形成方程组完成对待定系数的计算.部分学生对于待定系数法的运用存在一定误区，无法及时厘清其中的数量关系，需要教师进行科学引导.首先，明确式中未知数的设计标准，包含保证所假设的未知数能够被求取；其次，保证未知数设置符合关系式条件，代入数列获得公式；最后，求取未知数并代入原公式中.待定系数法对于部分思维灵活性较弱、观察能力不足的学生来说存在一定难度，教师务必先使其明确详细的解题思路，再结合实际题目传授知识.

二、数列问题解题教学策略分析

（一）设置问题情境调动学习兴趣

数列问题这一知识点的内容较少，相对简单，其难点在于与其他知识点的联动，以及教学过程中如何采用正确的方式渗透核心素养.高中数学从内容上来看具有一定的抽象性和复杂性，若采用平铺直叙的授课方式，难免会让学生生出畏难情绪，不利于知识点的传授.因此，教师在罗列相关知识点和传达解题技巧时可以采用创设情境的方式，以此来调动学生的思维，使其主动思考，主动参与学习活动.例如，高中数学人教A版选择性必修第二册第四章“数列”中等比数列的部分，相较于等差数列，等比数列更加考查学生敏捷的思维，难度也更高.教师可以创设与生活相关的情境，如针对车主喝酒后酒精含量的变化设置等比数列，在设置情境时尽可能保证内容详尽，涵盖等比数列定义、等比中项定义、通项公式等.此外，还需要注重等比数列这一知识点与其他知识点之间的联合性，如等比数列与函数之间的关系，以实现有效的知识点联动，帮助学生拓展思维.

（二）数形结合渗透转化思想

数形结合是高中数学教学中解决难题的常用方式，但由于学生思想和学习经验的差异性，部分学生无法自觉利用数形转化思想解决数学问题.因此，教师需要根据题目的已知条件来探索如何提高这部分学生的数形思想转化能力以自主实现“以数解形”“以形助数”.针对转化思想的研究，主要可以从以下两个方面展开论述.

第一，根据已知条件转化一般数列.高中阶段所学习的等差数列和等比数列普遍由其他更为复杂的数列转化而来，重点考查学生的知识迁移能力、思维灵活性及对基础知识点的掌握情况，在解题过程中教师可传授构造法的解题技巧.

第二，根据已知条件转化为函数问题，以此来实现知识点之间的联动，拓展学生思维，培养其观察能力和推理能力，让学生进一步了解数列的内涵及数列知识点在不同表达式中的运用.教师还可充分发挥计算机技术的优势，利用相关软件进行绘图，使学生能够更直观地了解数列与函数的性质特点.

（三）注重核心素养的渗透

在新课改革背景下，高中数学教育模式也应当不断优化，强调培养学生的数学思维和实践应用能力，根据人教版高中数学A版选择性必修第二册第四章“数列”这一内容来看，其中蕴含的数学学科核心素养内容很多，对学生思维的培养与塑造具有显著作用.因此，教师在进行解题技巧与方法传授过程中应当根据不同方式的特点渗透有关核心素养的内容，实现对学生的科学培养.例如，针对数列递进关系、通项公式方面的内容，教师可设计侧重于培养学生的逻辑推理能力的内容；在运用情境教学模式时，可设计生物繁衍、利息计算、生活场景、人口增长等方面的内容，并渗透模型构建方面的思想；针对数列性质、求和方式等，可设能够展现学生解决问题的能力的内容；针对数列推导方面的内容，设计大量代数或数据变形、化简等内容，侧重于对学生运算能力的培养；在运用数形结合方式时，如利用指数函数强化理解能力时，可设计能渗透空间想象、直观想象等核心素养方面的内容.

结 语

总而言之，高考数学中数列是必考类型，且题型十分丰富，一般情况下会以选择题的形式或解答题的形式出现.此类问题，主要考查学生对知识点的掌握情况，以及能否熟练运用相关解题方式和技巧来获得准确答案.目前来看，部分教师在讲解相关知识点时，更加倾向于让学生理解基础公式，以及掌握公式的运用，而忽视了学生思维的发展，且单一化的讲解并不能有效调动学生的学习积极性，甚至会使学生产生畏难情绪.针对此类情况，教师需要详细汇总此部分内容的相关解题技巧与方法，在此基础上创新授课方式，渗透核心素养理念，对学生进行有针对性的指导，有效提高学生的思维灵活性、观察能力及解决问题的能力，致力于高阶思维的培养.

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