基于数学核心素养培养的“二项式定理”课堂教学探究

摘 要：数学课堂是培养学生数学核心素养的主阵地，教师要打造以学生为主体的探究性课堂，以有效激发学生自主学习知识、提升关键能力的热情，让学生实现核心素养的提升。对二项式定理知识在数学教材中的情况进行了分析，结合实例探究了核心素养引导下的“二项式定理”课堂教学路径，并在此基础上探讨了基于核心素养培养的数学教学完善策略。

关键词：数学核心素养；高中数学；数学历史文化；探究式问题；数学模型

作者简介：范迪飞（1992—），女，浙江省杭州市萧山区第二高级中学。

《普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）》明确指出，数学教育承载着落实立德树人根本任务、发展素质教育的功能。数学在培养人的理性思维、科学精神和促进人的智力发展的过程中有着不可替代的作用［1］。高中数学教学旨在培养学生的数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算、数据分析等素养。在具体的数学教学中，教师要循序渐进，以帮助学生掌握必备知识、形成关键能力为目标导向，以数学知识的产生、发展为逻辑线索，构建学习情境，设计数学活动，从而真正提升学生的数学学科核心素养。本文以“二项式定理”的教学为例，阐述基于问题探究、素养提升的数学课堂应该如何设计。

一、基于核心素养培养的教材解读

“二项式定理”是人教A版高中数学选择性必修第三册中的重要课程，被安排在计数原理、排列组合知识之后，随机变量相关知识之前，既是对计数原理和组合知识的应用，也是解决概率、二项分布相关问题的基础。“二项式定理”一课的教学旨在引导学生学会用数学的眼光观察世界，用数学思维思考世界，培养学生数学抽象、逻辑推理等核心素养。那么基于核心素养培养的课堂教学应如何开展呢？

笔者在一次区级公开课磨课后布置了一道复习题，但是学生的解答情况没有达到笔者的预期。习题如下：求（x2+x+y）5的展开式中x5y2的系数。此题考查的是三项和的展开式的知识，但其本质还是依托二项式定理、二项展开式的通项公式等知识点。但是一些学生不知如何下手，还有一部分学生将问题转化，使得解答过程较为复杂。其实结合二项展开式中项的数学本质我们会发现，该多项式5个（x2+x+y）因式中2个因式取了y，2个因式取了其中的x2，1個因式取了x，由此可快速得出结果为·=30。

这次习题的解答情况让笔者发现，过于关注课堂的活跃度，会使数学课堂缺少思维深度，使得学生只会机械地应用相应的定理进行简单的计算，无法有效提升学生的数学抽象、逻辑推理等核心

素养。

教师应该站在学生的角度进行思考，深入学生的学习情景中，了解学生的最近发展区，然后在此基础上构建一个合理的数学逻辑思维生长点，让学生能结合已学知识理解新的知识，并掌握相应的数学思想和方法［2］，从而促进学生思维能力、实践能力和创新意识的发展。因此，教师在开展数学教学时，要从学生思维过程形成的合理性等角度出发，让学生掌握数学知识，理解相应的数学思想和方法，使学生掌握“四基”，发展“四能”，实现从“知其然”到“知其所以然”再到“何由以知其所以然”的跨越，最终促进学生数学核心素养提升。基于以上思考，笔者对“二项式定理”一课的教学进行了优化设计。

二、核心素养引导下的课堂教学探究

（一）二项式定理的文化引入

问题1：一个体积为30m3的正方体水库的边长是多少？不使用计算器你可以求出边长（保留2位小数）吗？

《九章算术》是我国古代一本重要的数学典籍，全书共有九个章节，采用问题集的形式，收录了246个与生产、生活实践有关的应用问题，其中记录了开三次方根的方法。结合相应的方法，我们可以不用计算器解答问题1。首先，我们可以确定的整数部分为3，进而得出=3+x，其中x表示的小数部分；之后，两边同时3次方，可得30=（3+x）3=27+27x+9x2+x3，若舍去9x2+x3，可得27x=3，解得x ≈ 0.11，因此 ≈ 3.11。

问题2：根据上述方法，我们得知估算的值需要明确（3+x）3的展开式，那在估算、的值时怎么办？估算的值时又怎么办？

在讲解问题1时，教师引入《九章算术》的内容，能让学生充分感受到中国古代数学文化的魅力，从而激发学生的爱国热情和民族自豪感。问题2的设置能让学生认识到二项式定理与开高次方根的关系，并能为后续学习（a+b）n展开式的知识做铺垫。

（二）二项式定理的本质探究

探究一：展开式项的数学本质探究

问题3：在古代，《九章算术》就对（a+b）2、（a+b）3的展开式进行了研究，那么（a+b）n如何展开，我们应该怎样研究问题“（a+b）n=？”呢？

问题4：根据多项式乘法运算法则，（a+b）2的每一项是如何产生的？展开式中一共有几项？

问题5：（a+b）3的每一项是如何产生的？展开式中一共有几项？

问题3的设置为学生提供了一个探索空间，能引导学生从n=1、n=2、n=3这三种特殊情况入手，研究其规律，掌握从特殊到一般的数学研究方法。问题4能引导学生发现（a+b）2是2个（a+b）相乘，让学生探究展开式项的数学本质。问题5则是问题4的进阶，能让学生明确多项式展开式项的数学本质。这三个问题能使学生的思维处于“提出问题、思考问题、解决问题”的状态中，培养学生的数学抽象和逻辑推理的核心素养。

探究二：展开式中项的个数的数学模型构建

问题6：在合并同类项前，（a+b）3的展开式一共有8个项，请大家思考（a+b）3展开式中a2b的系数，并思考该系数是怎么得到的？

问题7：在三个相同的盒子中均有相同的a、b球各1个，现分别从每个盒子中取出一个球，根据球的类型，摸出的3个球可以分成几类？每一类共有多少种情况？

问题8：能否依托上述的摸球模型，用组合数来重新表示（a+b）3的展开式？每一项的形式有什么共同点？

问题9：结合上述过程，你能否利用组合数写出（a+b）2和（a+b）4的展开式？

问题6能引导学生求解（a+b）3的展开式，让其明白a2b的系数与同类项合并有关，从而为后续的类比推导做铺垫。考虑到学生很难将二项展开式和计数原理联系在一起，所以笔者设置了问题7，将项的形成转化为数学模型，通过数学模型降低知识学习难度。学生根据经验可知摸出的3个球可以分为4种情况，结合计数原理可知2个a球和1个b球的情况的数量可以表示为=3，类比可知3个a球、1个a球和2个b球、3个b球的情况的数量。问题8能引导学生利用组合数表示（a+b）3=a3+a2b+ab2+b3，并让其结合项的数学本质明确展开后每一项的形式为a3-kbk。问题9是计数原理的再次应用，可让学生总结发现（a+b）2和（a+b）4展开式的规律。

在此教学环节中，笔者利用数学建模的方式将展开式中项的个数问题转化为摸球模型，这有利于提升学生的数学建模核心素养。同时，笔者结合阶梯式问题抽象出研究的对象，让学生经历完成实践、观察、猜想、类比推导的过程，这能让学生学会用数学的眼光观察世界，提升学生的数学抽象和逻辑推理素养。

探究三：二项式定理的总结归纳

问题10：对于任意的正整数n，（a+b）n的展开式如何表示？项的个数是多少？项的系数、形式如何表示？

問题11：你能否对上述猜想进行说明？

问题10能让学生利用由特殊到一般的数学思想得出（a+b）n的展开式，并明确各项的系数、形式等。而问题11能再一次让学生认识到（a+b）n是n个（a+b）相乘，展开后的每一项是由每个（a+b）取出a或b相乘形成，所以展开后每一项的形式为an-kbk。最终（a+b）n的展开式如下：（a+b）n=an+an-1b+……+an-kbk+……+bn（n∈N*）。

（三）二项式定理的实践应用

如何正确有效地求解展开式中项的系数是学生的学习难点，为此笔者设置了如下习题。

例1：求（x+1/x）6的展开式。

例2：求解（1+2x）7的展开式的第4项的系数和二项式系数。

上述两道例题能帮助学生巩固二项展开式的知识，让学生明确二项展开式的第k+1项是Tk+1=an-kbk，充分理解二项式定理。在讲解完以上两道例题后，笔者设置了两道练习题。

练习1：求（x-1）（x-2）（x-3）（x-4）（x-5）的展开式中

含x4的项的系数。

练习2：求（1+x+x2）（1-x）10的展开式中x4的系数。

这两道练习题在考查二项式定理知识的同时也考查了分类思想，将计数原理和二项式定理进行了有效结合，能提升学生逻辑推理核心素养。

三、核心素养渗透下的教学环节的完善

数学核心素养是具有数学学科特征的思维品质和关键能力的综合体现。数学核心素养的六个方面既相互独立又相互关联，在不同的知识体系中发挥着不同的作用，需要教师在教学中合理把握。

（一）依托真实的数学史料，挖掘数学现实

意义

数学承载着思想和文化，是人类文明的重要组成部分。学生数学素养的提升不仅体现在其能用数学的思维思考问题，用数学的方法解决问题，还体现在其对数学知识的历史发展有所了解，能认识到数学文化的特殊性和价值性。

二项式定理与高次幂开方问题的解决有关，在课堂教学中，教师要告诉学生二项式定理是如何产生的，并让学生在课后了解二项式定理的完善和发展的过程，以此让学生真正意识到数学知识源于对现实世界的抽象，是解决实际问题的有效工具，数学教学具有重要的现实意义。

（二）寻找适宜的教学方式，提升数学抽象

素养

在数学课堂教学中，教师不仅要教给学生数学知识和技能，还要培养学生的理性精神，让学生正确理解数学知识，并应用数学思想和方法创造性地解决实际生活中的数学问题。这要求教师在课堂中运用适宜的教学方式，设置适当的问题串，把握学生的思维方向，提升学生的思维深度。

二项式定理是初中的乘法公式的拓展，是计数原理的后续学习内容，因此教师要充分应用计数原理知识分析二项展开式，研究（a+b）3的展开式并类比推导（a+b）n的展开式。教学中，教师要依托一系列层层深入的问题串，激发学生探究结论的兴趣，使学生的思维始终处于“提出问题、思考问题、解决问题”的状态中，从而提升学生的思维品质［3］。

（三）设计精准的数学活动，培养数学建模

素养

学习知识的最佳途径是自己去发现，因为这种发现能让人理解更深刻。教师要创设各类针对知识生成和发展的精准化数学活动，设置一系列具有启发性的问题，通过数学课堂探究促进学生数学核心素养的提升。

本节课利用计数原理来推导二项式定理，看似知识的生成是自然而然的，但其实这种方式的难点在于跨领域知识的运用，学生很难将二项展开式和计数原理联系起来。为了降低问题难度，笔者设置了盒子内摸球的探究活动，并将结论进行迁移，展示了数学建模的优势，以此提升学生数学建模核心素养。

（四）注重数学的层次教学，强化逻辑推理

素养

在数学课堂教学中，教师要尊重学生个体的认知差异，循序渐进地帮助学生实现从低到高的跨越式提升。这就需要教师充分掌握学生学情和相关知识，构建层次化教学模式，让每一位学生都能找到适合自己的学习路径。

在本课中，笔者在讲解二项式定理的知识时采用了从特殊到一般的数学思想，根据（a+b）2和（a+b）3的展开式得出了（a+b）n的展开式，但并没有严格的证明。对此，逻辑素养较高的学生在课后可以运用数学归纳法来证明，以此感受数学的严谨性，培养逻辑推理核心素养。

数学的学习是学生体验的总和，而非教师经验的集合。教师在课堂教学中要以学生发展为本，摒弃经验化的课堂设计，站在学生的角度优化课堂结构，创设合理的数学模型，设置有梯度的探究情景、问题和活动，以真正地让学生参与到课堂教学中，真正地启发学生思考，培养学生的数学思维品质，提升学生的数学核心素养。

［参考文献］

［1］中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）［M］.北京：人民教育出版社，2020.

［2］毛钰欣，李祎.注重内容前后衔接 促进知识逻辑生长：以“二项式定理”的教学为例［J］.数学通讯，2022（24）：6-8.

［3］何磊，冯津爽.“二项式定理”教学设计［J］.中国数学教育（高中版），2017（1）：98-101