这两个函数是对数函数吗？

张锦川

1 问题提出

在一次教学活动中，有8位老师采用同课异构的形式讲对数函数的概念，超过一半的老师为了强调对数函数的定义而在课堂上给学生选讲了以下两类题目：

例1 函数f（x）=2log4x是不是对数函数？

例2 已知函数g（x）=a2－a+1loga+1x是对数函数，求实数a的值.

针对这两道题目，老师们普遍给出的解答是：

由于对数函数是形如f（x）=logaxa>0，且a≠1的函数，这类函数须满足以下三点：①logax的系数是1；②底数a大于0且不等于1；③对数的真数仅有自变量x.

然而，这两道题的解答都是错的！

2 问题纠正

文［1］中，罗增儒老师指出，根据函数的定义，当定义域A、值域B、对应关系f都明确之后，对应关系f就唯一确定一个函数.不能是用列表法表示时为一个函数，用图象法表示时又为另一个函数，再用不同的解析式表示时又得出更多的函数.因此，他认为函数f（x）=2－x是指数函数.

类似地，对于例1而言，由于f（x）=2log4x=log4x=log2x，所以它是对数函数.

对于例2而言，当a=1时，g（x）=log2x是对数函数；当a=2时，g（x）=3log3x=log313x也是对数函数；当a=3时，g（x）=7log4x=log417x還是对数函数.

因此，当且仅当a∈－1，0∪0，+∞时，函数g（x）=a2－a+1loga+1x是对数函数.

参考文献

［1］罗增儒．f（x）=2－x是指数函数吗［J］．中学数学教学，2011，1．