数学实验：让学生在亲历探究过程中学会学习

江苏省江阴市澄江中心小学教育集团 吴 静

随着课改的不断深入，一线教师已经认识到数学实验对变革教与学的方式有着十分重要的意义，主动采纳并使用数学实验进行教学，但还只是将数学实验视作单纯的操作活动，未能充分发挥数学实验的育人功能。

数学实验具有工具性、操作性、情境性、探究性等基本特征，可以解决学习资源缺乏、学习方式单一以及学习过程不完整等问题，促进学生学会认知、学会做事、学会共同生活、学会生存。新课标明确指出，引导学生在真实情境中发现问题和提出问题，利用观察、猜测、实验、计算、推理、验证、数据分析、直观想象等方法分析问题和解决问题。可见，实验是分析和解决数学问题的重要方法，教师要以核心素养为导向，让学生经历完整的探究过程，形成实验探究的能力，学会数学学习。

一、整体理解内容，定位实验

实验是以理解数学知识、验证数学猜想或发现数学结论为目的的数学学习方式。任何一个实验活动都有清晰的目标定向，没有目标指引的活动失去了其数学学习的价值，只能沦为低层次、无意识的动手操作。教师要正确看待实验，用结构化、系统化的视角思考学习内容，将实验与内容、实验与实验进行勾连，对实验进行精准定位，发挥实验应有的教育功能。

（一）活动与内容关联

实验是学生学习某个数学内容所采用的一种方式。教师要正确认识实验和教学内容的关系，防止出现“为活动而活动”的情况，将实验和内容有机对接，把实验嵌入适合的知识体系中，真正实现实验的价值。如教学“图形的分割”时，教师的教学没有止步于让学生学会“找中心分割图形”的方法，而是进一步引导学生用“绕中心旋转180°”的方法检验两边图形是否重合。教师将“图形的分割”与“中心对称图形”关联，把实验作为认识和理解中心对称图形的方法。这样处理，为实验找到了内容依附，赋予其新的意义。

（二）活动和活动之间关联

教学中，教师通常要通过几个实验活动才能解决某个问题。这几个实验活动不是孤立存在的，而是彼此关联的，共同引领和推进学生的数学探索。为提高实验活动的指向性，教师要从教与学两个方面入手，设计和开展实验活动。如教学“三角形的三边关系”时，教师设计了两个实验活动。实验1：用尺规作图法将三条等长的线段围成三角形。实验2：用尺规作图法将三条不等长的线段围成三角形。以上两个实验活动从“特殊”到“一般”，具有进阶性。实验1 得出的结论“等长的三条线段能围成三角形”从表面上看，似乎是多余的，实际上是为学生全面认识三角形的三边关系做孕伏。当学生通过实验2 得出“两短边之和大于最长边”后，教师再引导学生回到实验1，用实验2 得出的结论进行解释，因为等长的三边没有长短之分，迫使学生想到“任意两边长度和大于第三边”。至此，学生才真正理解了三角形的三边关系。

实验的目的是帮助学生更好地学习数学内容。因此，教师要在设计实验活动、设定实验目标之前，先对教学内容进行全局性的思考，不仅要考虑知识结构，还要考虑知识内在逻辑和学生认知逻辑之间的关系。

二、设计学习任务，驱动实验

学生是实验活动的主体，因此，教师只有唤醒学生内在的学习动机，才能帮助学生调用所有的经验和智慧，参与到探究过程中。教师要通过设计学习任务或问题将教学目标转化为学生的学习目标，引导和激励学生探究数学知识。设计指向学生高阶思维发展的学习任务或问题，是进入实验探究“轨道”的关键。教师要关注真实性、实践性和挑战性任务的设计，引发学生思考，激活学生实验的内需。

（一）真实性任务设计

任务中的情境应该是真实的，真实情境不仅指在现实生活中真实存在的情境，还可以指模拟真实情境的卡通情境。只要事件、问题是合理的，能引发学生真实思考的情境，都具有真实性。教师要设计基于真实情境的任务，加深学生的情绪体验，让学生感受到数学学习的价值，引发“共情”，从而主动投入问题的解决过程。如教学“认识长方体和正方体”时，“求出教师制作的一个长方体纸盒（指定），至少需要铁丝多少厘米？需要硬纸板多少平方厘米”这个任务对学生来说就是真实、可信的。

（二）实践性任务设计

数学实验教学中的任务解决要有利于学生开展实践活动。设计时，教师要考虑任务具有实践性，也就是能让学生借助实验活动探索问题。如“图形的分割”一课，课始，教师布置分割图形的任务，即“画一条直线，将给定的图形分成两个完全相同的部分”，分两次出示图形，先出示一组轴对称图形，再出示一组平行四边形。这样安排的目的是让学生从轴对称图形转向对非轴对称图形的关注，启发学生从全新的视角思考平行四边形的多种分割方法。但是，无论怎么画分割线，学生都要根据图形之间的关系，通过动手操作验证自己的猜想。

（三）挑战性任务设计

挑战性任务是指有一定的思维难度，需要学生通过自身的努力或同伴合作，运用已有的知识和方法，借助外在的工具，凭借意志和耐力等才能完成的任务。挑战性任务的解决路径、答案等都可以是开放的，通常采用主题学习和项目学习的方式解决问题。如教学“升和毫升”时，教师可以让学生“了解自己家庭一周的用水情况”。这一任务的完成至少需要一周的时间，学生要和家庭成员一起协作，通过观察、记录、计算和推算等完成任务。

三、展开数学猜想，引领实验

学生的实验需求一旦被激活，他们就会遵循原有的思维习惯，自觉运用自己熟悉的方式进行实验。这是未经加工和雕琢的原生态的操作，是学生现有思维状态的外在体现，可能包含着一些错误和偏差。教师要在学生产生实验动机后，帮助学生进一步明确问题，并基于直观或借用已有经验，对结论进行数学猜想，在发展学生的直觉思维的同时，明确行动的方向。教学时，教师要引导学生通过观察、分析和推想，形成实验假设。

（一）在“观察”中形成猜想

观察是智慧的重要能源。与动手操作相比，数学实验的开展需要基于对结论的猜想。教师要引导学生通过对研究对象全面、细致的观察和分析，发现和感悟现象之间的共同之处以及各要素之间的关联，从而形成数学猜想。在教学“图形的分割”时，教师将学生个性化的分割图作为观察对象，引导学生通过观察多条分割线的位置，发现所有的分割线都相交于中心一点，进而引导学生反向思考，得出“只要是经过中心点的直线就能将平行四边形分割成两个完全相同的部分”的猜想。

（二）针对“变化”提出假设

教师通过改变研究对象的某个要素，引发学生对关键点的关注，并基于“变”与“不变”的思考，产生对新研究对象特征和对象之间关系的猜测。如教学“平行四边形”时，教师可先出示长方形框架，复习面积计算方法，再拉动长方形框架将其变为平行四边形，组织学生观察并思考“图形变化过程中，什么不变，什么变了”。学生通过对前后图形的观察，发现图形的周长、边长不变，面积和高发生了变化，自然产生“平行四边形的面积和底、高有关系”“平行四边形面积=底×高”等一系列连续性的猜想。

（三）在“类比”中进行推想

通过类比推理形成猜想是数学教学中常用的一种方式。在研究某个数学对象时，教师会引导学生关联与其具有相似属性的研究对象，借助已有的学习经验猜想、推断新研究对象的特征或要素关系。类比推理形成的猜想具有一定的合理性，教学时，教师要相机运用。如在教学“圆锥的体积”时，教师可以先让学生明确圆锥的体积与底面积和高有关，再进一步提问“是不是底面积乘高算出的就是圆锥的体积？为什么”，引导学生将圆锥和圆柱进行关联，并通过直接观察，猜想“圆锥的体积可能是与它等底等高圆柱体积的或”，为后续的实验探究指明方向。

四、聚焦关键要素，策划实验

学生得出的数学结论的猜想不是事实，仅仅是一种数学假设，可能正确，也可能错误。为了得到正确的结论，学生需要进一步通过实验活动加以验证，如果证实则猜想正确，如果证伪则猜想错误，需要重新猜想，开始新一轮的实验探究。从猜想到验证是培养学生推理能力的重要路径，教师要指导学生自主策划实验方案，验证自己的猜想。

（一）思路构想

实验活动的策划要经历从整体到局部这一不断细化的过程。教师要先带领学生构想实验路径，明确研究的思路。如在教学“三角形的内角和”时，教师通过提问“怎么知道任意一个多边形的内角和呢”，启发学生想到“先找几个图形研究，找到规律，再运用规律求内角和”。当学生对实验思路有了大致的规划后，教师再引导学生细化方案，使各个实验环节清晰化、明朗化。教师可以进一步追问“要选几个图形研究才能找到规律，从哪个图形开始研究”，帮助学生明确“找规律”要遵循以下三点：一是由易到难，从简单的入手；二是研究对象要满足一定的数量，至少有3 个及以上；三是及时验证规律。随着实验方案的不断完善，实验的可行性也在不断增强。

（二）工具选择

与其他学科实验相比，数学实验对材料、工具的要求比较低，只要具备操作性、可重复操作的图形或模具等都可以作为实验的素材。在教学中，教师除了要为学生准备充足的实验材料或工具，还要帮助学生学会选择合适的实验材料或工具。如教学“圆锥的体积”时，教师可以出示圆锥、长方体、正方体和圆柱等一些底、高不一的容器，让学生自主选择实验工具并说明理由，呼应猜想。另外，教师可以利用多媒体技术，让学生借助几何画板等工具完成实验，提高实验结果的精确度。

（三）数据收集

实验数据是产生实验结论的参考和依据。实验数据的数量和质量直接关系到结论的得出。实验前，教师要组织学生讨论收集实验数据的方法，以提高实验结果的可信度。如教学“可能性”时，教师可以通过教师示范摸球和提问等方式，让学生明确为了得到正确的实验结果需要多次摸球。另外，为了解决课堂时间和摸球次数之间的矛盾，教师需要对各个小组的摸球数据进行汇总。在进行“怎样滚得远”实验时，教师还需要让学生计算出平均数，使实验数据具有代表性。

五、关注数学本质，优化实验

实验方案涉及活动选择的材料、工具和大致的实验流程，对学生开展实验具有一定的指导作用，但不是万能的。在实际操作过程中，学生可能因对知识本质的理解不到位，并未使用正确、高效的实验方法，从而影响实验的结果。为此，教师要根据实际教学情况，引导学生关注数学知识的本质，改进和优化实验方法，从而提高实验品质，提升学生的思维能力。

（一）发现本质，调整活动

教师要关注实验活动与知识本质的契合度，及时引导学生在原有活动经验的基础上，聚焦知识本质，调整实验活动。教学“图形的分割”时，为了让学生认识到中心对称图形的特征，教师在学生用原始的测量方法分割图形后，引导学生从图形名称入手，聚焦“中心”对实验方法进行再思考，进而掌握“绕中心旋转180°，观察图形两边是否重合”这一方法。学生在用新方法进行实验时，不断感悟中心对称图形的本质。

（二）确认本质，修正活动

实验能使学生内隐的思维过程外显化，反过来，外在的操作活动能够反映出学生的思维动态。教师应该根据学生的实验情况分析和判断学生的思维状态，及时调整教学策略。特别是在学生出现错误操作时，教师要相机引导，帮助学生回归数学本质，修正数学实验。如学生在利用分三角形的方法求多边形内角和的过程中，出现了随意分成三角形的情况，其根本原因是对三角形内角和的本质没有正确的认知。此时，教师要引导学生再次回归概念本身，重新理解“内角和”的本质，进而选择适切的方法。

（三）强化本质，优化活动

学生在判断直角三角形是否按2 ∶1 的比例放大时，很容易受制于概念本质，在验证对应斜边的比中出现困难。教师要及时介入，基于学生的活动经验，帮助学生进行方法的优化。教师可以先组织学生思考“两条对应直角边的比相同，能否判断对应斜边也具有相同的比”，再组织学生通过测量或重叠的方法研究斜边比，证明猜想，从而得出用对应直角边的比判断图形放大或缩小的简单方法。接着，教师让学生放大任意的三角形来检验新方法，进一步明确新方法的局限性。学生在经历判断方法的“繁”到“简”再到有选择使用的过程中，加深了对图形放大本质的理解。

六、回顾学习过程，反思实验

波利亚在《怎样解题》中指出，数学问题的解决仅仅只是一半，而更重要的是解题之后的回顾与反思。对探究过程的回顾和反思，可以深化对问题的理解，增进对数学知识本质的理解，优化思维过程，促进知识和方法的迁移与运用。教学中，教师要引导学生回顾借助实验探究数学知识的历程，聚焦探究的关键进行反思，帮助学生将学习经历转化为学习经验，让学生学会实验，学会借助实验进行数学学习。

（一）反思实验数据

受实验工具、条件和方法等制约，由实验获得的数据往往会有误差。实验误差会让学生陷入思维困境，阻碍和影响数学结论的得出。为此，教师要引导学生直面实验误差，反思实验误差的成因，帮助学生走出思维的“迷障”。如学习“三角形的内角和”时，学生通过量角器测量计算得到180°、179°、174°等不同的内角和。显然，这些不同的误差不利于验证“三角形内角和为180°”的猜想。为此，教师要引导学生对“174°”和“179°”这两个与“180°”不同的数据进行成因分析和数据再测，从而认识到得出174°是实验错误导致，得出179°是由量角器、手测和所画三角形边线的粗细等所导致的实验误差，实验错误可以避免，但实验误差是客观存在的。

（二）反思实验结论

基于观察、操作和推理等活动得出的实验结论是归纳、推理的结果，不是严格意义上的数学结论。为了增强实验结论的可靠性，教师要尽可能地通过追溯原理，帮助学生从本质上理解和解释结论。如学生通过实验得到多边形内角和“（n-2）×180°”后，教师要通过提问算式意义并追问“为什么要计算（n-2）个180°”，让学生进一步根据将多边形分成三角形的经验，用“顶角与对边‘一一对应’”或“分割线和三角形‘一一间隔’”等个性化、朴素的语言进行解释。这样从不同的角度认识规律，不仅能加深学生对数学结论的理解，还能丰富其实验的经验，提升其数学推理能力。

（三）反思实验方案

学生按预定的实验方案进行数学探究时，并不总是顺利的，常常会根据实际需要调整方案。教师要通过引导学生反思探究过程，帮助学生认识到实验方案并不是一成不变的，只是一种暂时性的研究思路，需要不断地调整和优化。如探究“钉子板上的多边形”时，原定的实验方案是同时研究“边点数”“内点数”这两个变量，找到钉子板上多边形的面积公式。事实上，绝大多数学生没有能力通过对几个例子的观察和研究，发现“边点数”“内点数”与多边形面积之间的关系。此时，教师让学生反思“边点数和内点数都在变化，同时研究不容易看出它们与面积之间的关系，怎么办”，帮助学生想到通过控制变量探索面积公式。

回顾实验探究数学知识的过程时，除了引导学生反思数据、结论和方案，教师还可以引导学生反思工具、方法等。能帮助学生获得数学学习思想和方法的活动环节，都可以经由反思帮助学生将活动经验转化为数学学习能力。

综上所述，教师要引导学生在具体的学习情境下，将数学实验作为解决问题的重要方法，贯穿于数学探究的全过程。教师要将“做”和“思”有机融合，让学生亲历数学学习的全过程，形成和发展自主设计和优化实验方案、搜集和选用实验工具、回顾和反思实验过程等能力，积累借助实验探究数学问题的经验，发展数学核心素养。