拟齐次核半离散Hilbert型逆向不等式的最佳搭配参数条件及算子表示

赵茜 洪勇

摘 要：利用权函数方法和实分析技巧，在lαp（N）和Lβp（0，+∞）中讨论拟齐次核的半离散Hilbert型不等式的逆向形式，得到逆向不等式具有最佳常数因子时的最佳搭配参数的充分必要条件，最后给出所得结果的等价算子表示和若干特例。

关键词：半离散Hilbert型逆向不等式；拟齐次核；最佳常数因子；最佳搭配参数；充分必要条件；算子表示

中图分类号：O178

文献标志码：A

1908年Hilbert不等式［1］诞生以来，已经取得了许多的研究成果并在算子理论中得到广泛应用［2-10］，文献［11］首次探讨了齐次核Hilbert型不等式的搭配参数问题，得到最佳搭配参数的等价条件，之后讨论最佳搭配参数的文献不断出现［12-18］，取得了丰硕成果，但针对逆向Hilbert型不等式，相关的研究还不多，本文将讨论拟齐次核的半离散Hilbert型逆向不等式最佳搭配参数的充分必要条件。

1 预备知识

设r≠0，α∈R，Ν={1，2，…}，记

是以K（n，x）为核的半离散Hilbert型逆向不等式，M称为常数因子，而M0=sup{M}称为式（1）的最佳常数因子。

为避免重复，本文中，记

型Hlder逆向不等式

当且仅当an=C1（常数）和f（x）=C2（常数）时，式（2）取等号。

当且仅当an=C1常数时，式（3）取等号。

又根据积分型Hlder逆向不等式和式（3），有

根据式（3）和式（4）取等号的条件，可知当且仅当an=C1和f（x）=C2时，式（2）取等号。

证明 根据拟齐次核K（n.x）的性质，有

又因为K（t，1）t－aq在（0，+∞）上递减，故有

2最佳搭配参数的充分必要条件

其中，W0=|λ2|W1（－bp）=|λ1|W2（－aq）。

证明 （i）根据引理1及引理2，并p>0，q<0，有

故式（6）成立。

于是可知式（5）化为式（6），从而只需证明式（6）的常数因子最佳。

若式（6）的常数因子不是最佳的，则存在M0>0使

则有

于是

从而

于是式（5）可等价地写为

因为式（5）的常数因子是最佳的，故式（8）的常数因子也是最佳的，即式（8）的最佳常数因子是

因为式（8）的常数因子是最佳的，对比式（8）与式（9），有

从而W1（－b′p）<+∞，W2（－a′q）<+∞。 再根据前面充分性的证明，可知式（8）的最佳常数因子应为

于是

根据逆向的Hlder不等式，有

3 不等式的算子表示

设K（n，x）≥0，定义级数算子T1与积分算子T2：

根据Hilbert型不等式的基本理论，式（1）等价于算子不等式

于是根据定理1，可得如下的等价定理：

级数算子T1和积分算子T2分别由式（12）和式（13）定义，W1（－bp）<+∞，W2（－aq）<+∞，存在常数σ>0使W2（－aq－σ）<+∞。

其中，W0=|λ2|W1（－bp）=|λ1|W2（－aq）。

则有

且

综上并根据定理2，知推论1的结论成立。

推论3 设算子T1与T2分别为：

则有

参考文献：

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Conditions for the Optimal Matching Parameters of

Quasi-Homogeneous Kernel Semi-Discrete Hilbert-Type

Inverse Inequalities and Operator Representations

Abstract：

Using the weight functions method and real analysis techniques ， the inverse form of the Hilbert-type inequality is discussed in the lαp（N） and Lβp（0，+∞）， sufficient necessary condition are obtained for the optimal matching parameters of the inverse inequality when it has optimal constant factors， and finally the equivalent operator representations and special cases are given.

Key words：

semi-discrete Hilbert-type inverse inequality; quasi-homogeneous kernel; the best constant factor; the optimal matching parameters; sufficient and necessary conditions; operator expression