提升学生认知能力的数学教学探索

王琳 陈锋 夏马成

摘  要：针对2022年无锡市中考试题中一道常规代数推理题得分率偏低的情况，文章深入剖析了学生失分的原因，并进行了典型认知错误的分析，提出了一系列针对性的教学策略，包括研读课程标准与教材，夯实基础教学;参考教材力求规范，注重规范教学;注重学生能力培养，彰显核心素养。这些策略的实施将有助于提高学生的代数推理题得分率，进一步提升学生的整体学业水平。

关键词：试题剖析;认知分析;代数推理;数学教学

数学作为中考的重要科目之一，是考查学生逻辑思维、分析能力和问题解决能力的重要工具。其中，代数推理题是数学中考中常见的一类题型，它要求学生灵活运用所学的代数知识，通过推理、分析、计算等多种手段，找出问题的解决方案。

2022年无锡市中考试卷中第26题是一道比较常规的代数推理题，而且在平时教学中，教师都作为典型例题强调过，但实际得分情况却出乎意料，满分10分的题，平均得分只有4.09分。针对这一情况，文章深入剖析了学生失分的原因，并提出一系列针对性的教学策略，以期提高学生的代数推理题得分率。

一、中考试题剖析

（一）试题呈现

某农场计划建造一个矩形养殖场，为充分利用现有资源，该矩形养殖场一面靠墙（墙的长度为10m），另外三面用栅栏围成，中间再用栅栏把它分成两个面积为1∶2的矩形，已知栅栏的总长度为24m，设较小矩形的宽为xm，如图1所示。1. 若矩形养殖场的总面积为36m2，求此时x的值;2. 当x为多少时，矩形养殖场的总面积最大？最大值为多少？

（二）命题立意

纵观无锡市近几年中考数学试题的命题特点，最后三道压轴题中必有一道方程、不等式、函数相结合的应用题。今年在“双减”背景下，为了稳中求变，变中求新，命题组在该试题的命制过程中，始终围绕体现数学本质、凸显学生数学核心素养的宗旨，以便更好地体现本题所承载的选拔功能。《义务教育数学课程标准（2022版）》中的学段目标提到：第四学段（7-9年级）会用代数式、方程、不等式、函数等描述现实问题中的数量关系和变化规律，形成合适的运算思路解决问题;形成抽象能力、模型观念，进一步发展运算能力。在新课标的目标和理念的引领下，命题组遵循“源于教材，又高于教材”的原则，同时突出考查学生的阅读理解能力、自主探究能力，考查学生从数学的角度发现和提出问题、分析和解决问题的能力，从而落实学生的学科核心素养。

（三）素材选取

根据双向细目表和数学学科素养的要求，命题组选取了苏科版教材九年级上册第34页的习题10和11进行了改编。具体素材内容如第10题：学校打算用长16m的篱笆围成一个长方形的生物园饲养小兔，生物园的一面靠墙（如图2），面积是30m2，求这个生物园的长和宽。第11题：如图3，用长6m的铝合金条制成“日”字形窗框，窗框的宽和高各是多少时，窗户的透光面积为1.5m2（铝合金条的宽度不计）？

（四）试题评析

素材上的两道题解题思路一样，都是设宽为xm，然后用x表示另一条边，根据面积列方程求解。但是，从学生的解答过程来看，第11题的错误率会明显高于第10题，因为第11题中的“日”字形，多了一条宽，这也是学生思维上所遇到的一个障碍。因此，此次中考第26题就将这一“障碍”融入进去，导致接近10%的学生在这道题上失误了。另外，素材中的第10题，没有给出墙的长度。而在中考第26题中，墙的长度决定了最后解的取舍问题。有部分学生忽略了这个条件，也导致了失分。对比原题，“高于教材”就体现在了两个方面：第一，中间多了一道分隔栅栏;第二，墙的长度限定了x的取值范围。面对这样的问题，学生会有似曾相识的感觉，可以有效激发学生的探究欲望，促进学生的数学思考，提高思维的效率。该命题意在引领教师更加注重教材，创造性地运用教材;引领教师反思教学，树立以发展学生学科核心素养为导向的教学意识;引领教师改变教学方式，引导学生走上热爱数学，开发智慧的学科育人之路。

二、典型认知错误分析

（一）审题不够仔细，忽略重要条件

认知失误一：“中间再用栅栏把它分成两个面积为1∶2的矩形”这个条件没有注意，由面积1∶2的关系得到平行于墙的一边长为3xm，而垂直于墙的栅栏误以为2根，中间分隔的没有计算在内，错误地将垂直于墙的一边长表示为m。有这种失误的学生很多，大概要占10%。

认知失误二：“该矩形养殖场一面靠墙（墙的长度为10m）”这句话中括号里的一个隐藏条件没注意，学生忘记检验所求得的解是否符合题意。通过列方程可求得x有两个解2和6，而当x=6时，平行于墙的一边长为18m，大于了墙长，不符合题意，应舍去。

认知失误三：学生未注意“x为较小矩形的宽”这个条件，答题时根据面积1∶2进行了分类讨论。若左边与右边的面积比为1∶2，则平行于墙的一边表示为3xm;若左边与右边的面积比为2∶1，则平行于墙的一边表示为1.5xm。学生思考了两种情况，花了大量时间求解，却还被扣分。

（二）基本技能不足，计算频频出错

认知失误一：将所列方程去分母，化简为9x（24-3x）。此类学生想利用等式的性质，去掉左边式子上的分母3，两边同乘以3时，左式反而多乘了3。其实，没必要两边同乘以3，代数式化简掌握得好的学生，直接可以利用左边式子的因数3，直接进行约分化简。

认知失误二：一元二次方程求解不熟练。对方程x2-8x+12=0不会用十字相乘法求解。有的学生用公式法求解，在代公式时，计算出错。有的学生用配方法求解，配方出错，或是直接开方时出错。

认知失误三：有学生设垂直于墙的一边长为ym，从而列出了方程组x+y=8

xy=12，不会消元求解，只会用整数去凑解。

（三）函數思想欠缺，性质理解不透

第2题“当x为多少时，矩形养殖场的总面积最大？最大值为多少？”这道题是借助函数思想，建立面积S与x的函数关系式，由函数的性质来求得面积的最大值。

认知失误一：部分学生不考虑自变量x的取值范围，直接根据函数表达式S=-3（x-4）2+48得当x=4时，S最大=48。

认知失误二：二次函数的增减性不会描述。如“∵-3<0，∴S随x的增大而减小”，这与一次函数的增减性混淆。“∵-3<0，∴S随（x-4）2增大而减小”“S随x-4增大而减小”“x越接近4，S的值越大……”虽说有一定的道理，但是并不规范。

认知失误三：不理解函数的连续性，或者说自变量的范围。例如，“∵0

三、改进课堂教学的策略

（一）研读课程标准与教材，夯实基础教学

《义务教育数学课程标准（2022版）》的修订原则是坚持目标导向、坚持问题导向、坚持创新导向，对教学增强了指导性。各课程标准针对内容要求提出学业要求、教学提示，细化了评价与考试命题建议，注重实现“教—学—评”一致性，增加了教学、评价案例，不仅明确了“为什么教”“教什么”“教到什么程度”，而且强化了“怎么教”的具体指导。所以每位教师都需要仔细研读新课标和教材，紧扣课程标准和教材来制订教学目标，夯实基础是重中之重。尤其是在面对中考的初三复习课时，教师往往把题目的难度拔得很高，而忽视了最根本的基础教学。此外，很多教师在实际教学中固守传统的教学模式、教学理念。有些教师虽然能够学习、了解课程标准，但对课程标准的理解仅停留在基础层面，并未对其实际的内涵进行深入挖掘。

例如，部分学生在解题过程中，因解方程计算出错的频率很高，但试题中的计算量并不大。一元二次方程的解法、方程组的消元法等都是课标中要求必须掌握的。作为一线教师，在课堂教学过程中，必须重视“四基”，在基础教育时需要舍得花时间，让学生慢慢去理解，去悟透，而不要急于求成。比如，教师在教授解方程中的去分母时，不是看到有分母就机械性地立即去，而是先引导学生观察式子能否先化简，化简后如果有分母再考虑去分母。无论是解方程还是计算，教师都得让学生放慢速度，先观察思考，再用最优的方案去解决问题。

（二）参考教材力求规范，注重规范教学

数学课程要培养学生的核心素养，主要包括三个方面：第一，会用数学的眼光观察现实世界;第二，会用数学的思维思考现实世界;第三，会用数学的语言表达现实世界。数学的眼光是抽象敏锐的，数学的思维是逻辑严谨的，数学的语言是精准简洁的。因此，数学教师在数学课堂上除了强调解题方法外，还需关注学生数学语言的表达是否有逻辑、是否严谨、是否规范。从阅卷工作中可以发现，由于书写不规范导致失分的情况也很普遍。作为教师得反思，平时的教学是否规范，日常的课堂语言、板书示范、学生作业的修改，教师都要参考教材，力求规范。数学是一门非常讲究严谨的学科，教师应在平时的教學中渗透这种思想，注重培养学生的规范意识，让学生在学习过程中逐步养成良好的学习习惯。

（三）注重学生能力培养，彰显核心素养

学生核心素养的养成，不是靠教师课堂上“教”出来的，而是要学生主动参与课堂上的数学活动来获取的;不是让学生成为“解题模仿机器”就能培养出来的，而是需要学生自己去感悟与思维的;不是通过强化训练突击出来的，而是学生经过思考后日积月累攒下来的。教师在教学时往往存在“轻过程、重结果”的错误做法：一是新授内容无限制地被压缩，相关概念、原理等新知内容，课上一带而过，甚至和盘托出;二是进行大规模机械重复的强化训练，并加大训练难度，导致学生在数学学习过程中出现了这样一种奇怪的现象：虽然不知道问题是如何产生的，却知道如何去解答，“知其然而不知其所以然”几乎成了许多学生数学学习的真实写照。

例如，从这次中考的第26题答题情况来看，学生在审题不仔细上失分的情况严重。因此，教师在教学过程中不仅要教授解题方法，还应该引导学生如何去读题、如何去分析题目，让学生自己思考，最终获得最优化的解题方案。本次中考的第26题也是旨在引导教师要关注学生自主学习、主动探究的学习方式，试题“模仿式”的教学是无法提升学生探究能力和发展学生思维的。因此，教师要执果索因，不断反思、优化课堂，做到从传授知识到传授思维，由“授人以鱼”转变为“授人以渔”。数学学习离不开解题，掌握数学思想方法，才能站在解题的制高点。在教学中，教师应把数学思想方法渗透每一堂课中，通过“一题多解”或“一题多变”，让学生在多元思维碰撞中，感悟与形成思想方法。

综上所述，深入剖析学生在考试中的失分情况，有助于教师明确课堂教学中的薄弱环节，并为今后的教学工作提供改进方向。中考答卷不仅考察了学生对知识的掌握程度，还展现了学生的综合素质和学科能力。因此，教师在教育教学过程中，应当聚焦于理解、思维、思想方法和数学精神的培养，应潜移默化地在课堂上实现知识与能力的融合、方法与实践的结合、教书与育人的统一，从而实现学生全面发展。

参考文献：

[1]秦奋. 由一道题的解答失误谈中考几何复习[J]. 中学数学教学参考，2020（14）：46-48.

[2]林崇德. 学生发展核心素养：面向未来应该培养怎样的人？[J]. 中国教育学刊，2016（06）：1-2.

[3]张月媚. 提升学生数学能力的一种教学模式探索[J]. 福建教育学院学报，2008（06）：123-125.

（责任编辑：淳  洁）