循序渐进的教学方式是提升数学思维的有效路径

［ 关键词 ］ 数学思维；循序渐进；教学策略

《义务教育数学课程标准（2022年版）》在“四基与四能”的基础上提出了“三会”要求，即会观察、会思考、会表达.毫无疑问，思维能力的发展是形成“三会”的关键，亦是核心素养的具体体现.根据数学思维的抽象性、长期性与社会性特征，教师应有规划地做好长期准备，循序渐进地实施“长度”与“深度”教学，让学生的思维经历一个拾级而上的发展过程.

由浅入深，搭建思维脚手架

从学生的认知发展特征出发，思维发展需经历一个由浅入深的过程.新知教学时，教师若直接将教材结论呈现给学生，只会增加学生的困扰，形成机械性的记忆，根本谈不上数学思想方法的提炼或思维的发展等.因此，新知教学应从学生的认知经验出发，结合教学内容的特点逐层递进地启发学生的思维，让学生做到知其然且知其所以然，获得知识本质.

案例1 “ 一次函数的图象”的教学

1. 揭示概念本质

为了有效启发学生的思维，让学生从本质上掌握一次函数的图象，笔者在教学前曾思考过这样一个问题：一次函数的图象究竟是从哪里来的，它对学生的思维发展具有怎样的帮助？

经实践与探索，笔者发现要解决这个问题需从三个“时间窗口节点”循序渐进地去剖析.

第一个节点——数轴

在这个节点上，教师首先要带领学生深刻理解数轴上任意点与实数建立“一一对应”的关系. 简言之，就是学生的思维所处的层面为：只要看到数轴上的某一点，就能立即明白它所对应的实数，同样地，看到一个实数就能在大脑中立即闪现出它在数轴上所对应的点.也就是点与数之间互相依存，不离不弃.

第二个节点—— 平面直角坐标系

该节点，教师的主要任务是带领学生理解平面直角坐标系内的“任意点对应一个有序实数对”，即同样建立“一一对应”的关系，进一步深化对数形结合思想的认识.从学生思维的角度来看，就是要达到这样一个水平：当看到平面上的某一点，立即能意识到该点对应着一个有序实数对，同样地，看到一个有序实数对，立即想到它在平面直角坐标系中所对应的某一点.也就是一对数与一个点之间为形影不离的关系.

第 三个节点—— 一次函数的图象

本节课的主要任务是帮助学生突破原有认知结构，揭示函数的本质，在继续渗透数形结合思想的基础上对函数图象形成深刻理解. 那么，函数的本质究竟是什么？该如何让学生更好地理解函数的本质？

首先来分析函数的概念：概念中提到“对于x 的每一个值，都有唯一的一个y 值与它对应”，简言之就是“一个x 对应一个y”，结合之前对“数轴”与“平面直角坐标系”的认识，不难理解函数的本质就是“某种对应关系下所获得的一对又一对的有序实数对”.

综上可知，一次函数图象的教学并非是孤立的一个知识点的教学，而是一个有“长度”，基于“三个时间窗口节点”的教学，教学内容由浅入深、逐层递进.从这个层面上来看，教师在教学设计时应保持宏观意识，需从知识的整体体系出发，带领学生感知知识的发生发展需要经历一个循序渐进的历程，只有找出新知的发生地，并关注到中间发生了怎样的演变，才能从真正意义上揭示知识的本质.

2. 提炼数学思想方法

三个节点的教学，凸显了新知教学的“长度”.想要促进思维的成长，光有“长度”还不够，还要有“深度”，尤其是数学思想方法的提炼能让学生达到“ 以一通百” 的能力.

一次函数图象的教学，可以用一张结构图（图1） 说明以上三个节点知识间的关系，为提炼数学思想方法奠定基础.数形结合思想是联系“数”与“形”的纽带，若缺失了这个纽带，不论做多大的努力，都无法将“数”与“形”连接到一起， 即使强行应用也只能是隔靴搔痒.

本节课教学，若教师一味地强调列表、描点、连线的方法，而不带领学生去追根溯源，学生也仅是掌握了一种画函数图象的基本技能，思想意识层面则处于停滞状态，更谈不上促进数学思维的发展与数形结合思想的提炼了.

笔者曾访谈过部分学生对一次函数图象的理解，不少学生认为一次函数图象的本质就是通过两点连接而成的直线，也有学生认为直线上存在很多个点，但没有学生认为每个点对应一个有序实数对.出现这种认识的关键在于教师只带领学生经历了画图过程，却没有带领学生去了解知识的背景与发生源头.

草蛇灰线，伏脉千里.想要让学生掌握一次函数的本质与蕴含的数学思想方法，教师首先要熟悉整体的知识结构，做好打“持久战”的准备，在遇到相应知识点时能带领学生进行融会贯通；其次教学实践应循序渐进地推进，不断深化学生对知识本质的认识，让思维在时间的长河中不断积累、沉淀、提升.

由易到难，以生活启发思维

新课改背景下，素质教育是改革的方向.陶行知先生的“生活教育理论”对数学教学的实施具有重要的指导意义.该理论强调：教育源自生活，又反过来促进生活的发展，因此教育教学应从学生的生活实际出发，让学生结合生活提炼知识.

案例2 “二次函数”的教学

例1：如图2，此为一座拱桥，桥洞呈抛物线形状.当抛物线的顶端与水面的距离正好2 米时，水面的宽度是4米，若水面下降了1米，那么水面的宽度会增加多少米？

学生首次看到问题，一个个抓耳挠腮，无从下手.面对学生无奈的表情，笔者觉得又好气又好笑.为了让学生能自主解题，笔者研究了学生的认知水平，结合学生的“最近发展区”设计了一系列问题串，以低起点、小步子的方式启发学生的思维，逐渐将学生的思维从“未知”推向“已知”，实现解题.

问题串：①通过审题，你们得到了哪些已知条件？②本题需要解决什么问题？③题中哪里是代表水面宽度线段的端点？④想要求水下降后水面增加的宽度， 需要知道哪些条件？⑤如何获得这些条件？⑥先求什么数据？⑦如何求？

由浅入深的七个问题，将学生的思维从已知逐渐带入未知.交流发现，学生能顺利地回答前四个问题，到问题⑤出现了卡壳.为了帮助学生突破思维阻碍，笔者在此处再次降低教学起点，结合教学内容与学生的认知，用新的问题为学生搭建思维的“脚手架”.

例2：如图3，若一个涵洞的截面形状为抛物线形，经测量，水面的宽度AB 为4米，抛物线的顶点O与水面之间有1米的距离.根据这些条件是否能推导出点A 与点B 的坐标？结合图中的直角坐标系，是否能获得抛物线的函数解析式？若水面再下降1 米，水面的宽度会增加多少？

例2 对学生而言，比较容易理解.随着此题的解决，学生终于明确了解例１的关键点：既然二次函数的图象为抛物线，就可以从建立直角坐标系的角度去分析问题，本题将抛物线的顶点定为直角坐标系的原点，将该抛物线的对称轴作为直角坐标系的y 轴即可.

为了巩固学生对这种解题技巧的理解与应用，教师可结合以上问题设计出变式拓展题，让学生的思维随着问题的难度加深拾级而上.

变式：已知一座拱桥桥洞为抛物线形状，一般情况下，桥洞中水面宽度是20米，水面与洞顶的距离为4米，桥下的水深为2米，为了保证来往船只的通行，桥下的水面宽度必须大于或等于16米.为了不影响船只的正常通行，桥下的水深不得超过多少米？

有了以上探究基础，大部分学生能顺利完成解题.

此案例以“低起点、小步子”的问题串启发学生的思维，让学生将二次函数知识与生活中的实例联系起来进行思考，意在帮助学生从具体情境中学会建立二次函数模型，并应用模型解决实际问题.当学生的思维出现卡壳时，教师并没有急于呈现答案，而是通过另一个实际问题来点拨学生的思维，从真正意义上凸显了学生在课堂中的主体地位与教师的引导作用.随着变式拓展的应用，学生的思维从真正意义上实现了从低到高的跨越.

由特殊到一般，让思维自然过渡

华罗庚认为：解题遇障碍时，可先往后退，一直退到能看清楚的位置，当看透了，钻深了，而后再往前解题，会有意想不到的效果.这句话告诉我们，当遇到一些棘手的问题时，可以从“特殊化”的角度来分析，即应用特例法先“退”，当有了一定眉目后，再将问题进行一般化的分析，并在此过程中积累经验， 为探寻一般的解题方法奠定基础.

案 例3 “多边形对角线的条数”的教学

参考两位教师不同的教学手法，体会教学方法对学生思维自然过渡的重要性.

方法一

教师一上来就提出：众所周知，三角形不存在对角线，四边形对角线的数量为两条，那么五边形的对角线有几条呢？

问题一出，反应灵敏的学生立即在草稿纸上画图研究，但还是有相当多的学生没进入状态.反应快的学生立即给出“5 条”的结论，教师顺势就提出问题：“你们能猜想出n 边形对角线的数量吗？”（学生沉默）

师：现在请大家想象一下，如果从一个多边形的其中一个顶点开始画对角线，是不是除了它本身与相邻的两个顶点无法连接外，其他各个顶点都能连接？

学生云里雾里、似懂非懂. 但教师自认为讲得很清楚，因此继续往下说：n 边形存在n 个顶点，若从n 个顶点出发画对角线，就可以连“n（n-3） ”次，对吧？但是，每条对角线都重复了一次，对不对？由此我们可以得出一个结论，那就是n 边形的对角线数量一共是n（n -3）/2 条.

方法二

依然从三角形的对角线出发，教师分别提问三角形、四边形、五边形分别有几条对角线.对于五边形的对角线数量，在学生给出答案后，教师要求学生说一说5 条对角线的由来.学生一致表示是画图后数出来的结论.

师：非常好！大家觉得老师接下来会提出什么问题呢？

生（众）：六边形的对角线有几条？

生1：探索完六边形，估计就要问n 边形的对角线有几条了.

师：太棒了！你们都能当教师啦.（学生笑） 看来大家都很清楚接下来要探索什么问题.请大家尝试解决以上两个问题.

此时课堂氛围非常愉悦，学生主动进入画图、独立思考与小组合作学习的状态，最后各组分别派了一名代表呈现讨论结果.

组1：我们组经过交流，一致认为六边形的对角线为9条，n 边形的对角线为n（n -3）/2 条.

各组纷纷表示同意，教师让其中一个小组代表跟大家展示一下结论得来的过程.

生2：第一步，在草稿纸上随意画一个六边形， 并连接出它的对角线， 通过数一数的方式， 获得9 条的结论；第二步，画出七边形的对角线， 数出14 条对角线；第三步， 将四、五、六、七边形的对角线数量写在草稿纸上， 分别是2，5，9，14，分析这几个数字的规律后发现5=2+3，9=2+3+4，14=2+3+4+5；第四步，猜想八边形的对角线为2+3+4+5+6=20条，经画图验证，发现是正确的；第五步，根据以上规律获得结论n 边形的对角线为n（n -3）/2 条.

生3：如图4，若以多边形的顶点A1为出发点，与A1相连的对角线有“n-3”条，那么以n 个顶点为出发点，就可以连出n （n-3） 条对角线，此时每条对角线都连了两次，由此可确定n 边形的对角线为n（n -3）/2 条.

对比这两位教师的教学方式不难发现， 第一种教学方法， 学生一直处于懵懂的状态， 根本谈不上思维的发展. 而第二种教学方法， 教师的说教并不多， 以学生的独立思考、合作探究为主. 此过程学生不仅深化了对知识的理解，还亲历了从特殊到一般的数学思想方法的应用， 体会了猜想、验证、归纳的过程. 这不仅仅是一个简短的教学片段， 更凸显了一般性的研究过程， 对学生来说是一种能力的提升.

总之，“一口吃不成个胖子”，思维发展亦如此，踏踏实实地迈好每一步才是实现思维发展的关键.教师在思想上应充分认识到循序渐进的教学方式是提升学生数学思维的有效路径，在行动上应通过适当的教学方式启发学生的思维，提升学生的数学核心素养.