HPM视域下的初中数学教学研究

［ 关键词 ］ HPM；教学设计；正切

当前，数学教材中出现了不少与教学内容相关的数学史材料，但有些教师认为这与教学测评没有太大关系，因而在教学时就一句话带过.殊不知，数学史与数学教育有着密不可分的联系，基于HPM视角的数学教学不仅能启发学生的思维，还能促进学生更好地理解学科体系，提升探究能力［1］ .

HPM 的形成与发展

19世纪，法国的泰尔凯、英国的德摩根等人关注到数学史在数学教学中的价值；20世纪上半叶，法国的庞加莱、美国的史密斯与卡约黎等人，都倡导在数学教学中渗透数学史；1972年的国际数学教育大会，首次创建了数学史与数学教育联合国际研究小组（简称HPM） .时至今日，乃至今后的很长一段时间，HPM的价值都是国际数学教育研究的重要方向［2］ .

教学设计与实施

（一） 教学分析

“正切”是初中阶段重要的教学内容之一.对学生而言，从线段长转化到线段比的认识，属于一次“质”的飞跃.学生理解正切的概念时，确实存在一定的困难.实践发现，学生在接触“正切”之前，已经感知到三角形角角间、边边间的关系，也就是说，“边角关系”是研究三角形不可或缺的部分.

结合教情、学情与考情，本节课的教学目标主要有如下两点：①掌握正切的概念，能自主求出直角三角形中锐角的正切值，并能用正切来解决一些简单的问题；②带领学生亲历正切概念的历史进程，让学生从中感知知识背后的人文精神，树立学习信心.

（二） 教学简录

1. 史料导入，激发兴趣

教师借助信息技术手段，展示我们日常用的手表、手机等能够计时的物品，根据这些物品引入我国古代的计时工具——日晷.要求学生观察视频中晷影长度（见图1） 的变化情况，说一说在晷影变化的过程中，哪些属于常量，哪些属于变量.

结合问题与生活现实，学生一致认为图1中的常量为晷针BC 的长与∠ BCA 的大小；变量有AB，AC 的长，以及∠ A 与∠ ABC 的大小.

设计意图 此环节主要彰显相似三角形在正切概念研究中的重要作用，能让学生明确正切的形成过程，理解正切的本质与内涵. 若教师只告诉学生正切就是锐角所对直角边比邻边，学生很难从真正意义上理解其内涵.

“线段比—函数观点—符号表达”经历了数十载，将此作为课堂教学内容，不仅能促进学生认知的飞跃，还能让学生自主鉴别正切与一次函数、二次函数模型的区别，体验正切的重要性与必要性.课程至此，学生亲历了正切概念“线段—线段比—角定比定—函数观”的研究过程.

3. 借助史料，应用提升

如图5，在公元前3世纪，天文学家阿里斯坦克斯（古希腊） 在月亮处于半圆的时候，测出“日、地、月”三者的中心“S，E，M”恰好可组成一个直角三角形，且∠ MSE=3°.根据这些条件，是否能获得月亮与太阳的距离约是月亮与地球距离的多少倍？要求写出方案.

设计意图 此问是根据“阿里斯坦克斯问题”改编而来，旨在激发学生的探究兴趣，深化学生对正切概念的理解与认知，让学生进一步掌握“正切值仅和角的大小有关，和距离并没有关系”的本质，帮助学生获得“化大为小”的解题策略.

4. 课堂总结，感悟提升

教师带领学生回顾整节课的教学，并让学生从如下几方面进行总结：①研究锐角三角函数的意义是什么？②正切是怎么研究的？③怎样应用正切知识来解决实际问题？④关于正切，你还有什么想知道的？

设计意图 本节课的教学，主要是为了让学生充分感知正切的概念形成经历了艰辛的探索历程，正切概念的形成与发展与数学史的发展是同步的，学生从这几个问题中发现了“正切并不是简单的两直角边相比的问题，更是源于生活且高于生活，蕴含丰富内涵的数学学科知识”.

（三） 教学思考

1. 创设合适的教学情境

本节课是基于数学史料，顺应知识的发展所设计的，教学情境的选择是笔者经过深思熟虑的， 以“日晷”作为情境素材，源自对史料的复制、重构与顺应，每个情境都将数学史、图形、数学思考融于一体，这对促进学生数学抽象素养、逻辑推理能力、直观想象素养的发展均有重要意义.

2. 注重“过程化”教学

如图6， 正切的概念经历了“启蒙—发展—深化”三个阶段，其概念的三次抽象分别是从几何观到代数观，再到函数观的发展过程，并抽象为符号tanA 的发展历程.学生在此过程中，不仅经历了正切概念的形成与发展过程，还积累了活动经验，为进一步掌握概念属性奠定了基础.

3. 根据学情择取史料

教师在数学史料的选择上应从“通俗易懂、便于理解、具有典型代表性”等方面着手，过于抽象、复杂，学生难以理解的史料反而会增加学生的学习负担，久而久之，会消减学生学习的积极性，让学生对数学学科望而生畏［3］ .因此，对于“双减”政策背景下的数学教学，我们应充分认识到数学史的应用是为了减轻学生的学习负担，而非增负.