例谈含轻弹簧类问题的求解策略

谭天爵

轻弹簧是指不计质量的弹簧模型，遇到含轻弹簧类问题时，需要在正确进行受力分析的前提下，灵活选用胡克定律、平衡条件、牛顿第二定律、动能定理、机械能守恒定律，以及功能关系等物理规律列式求解。下面通过不同类型含轻弹簧问题的分析，展示此类问题的求解策略，供同学们参考。

D.如果小球1和2间的轻弹簧从小球1连接处脱落，那么脱落瞬间小球1的加速度为0，小球2的加速度为2a，其余小球的加度依然为a

解析：选小球1为研究对象，根据牛顿第二定律得F1=ma;选由小球1和2组成的整体为研究对象，同理得F2 =2ma;选由小球1、2、3组成的整体为研究对象，同理得F3=3ma;……;选由小球1、2、3、…、2 023组成的整体为研究对象，同理得F2 023=2 023ma。因此F1∶F2∶F3∶…∶F2 023=1∶2∶3∶…∶2 023，选项A正确。根据胡克定律可知，弹簧形变量与弹簧弹力成正比，即从左到右每根轻弹簧的形变量之比Δx1 ∶Δx2 ∶Δx3∶…∶Δx2 023=F1 ∶F2 ∶F3 ∶ … ∶F2 023 =1∶2∶3∶…∶2 023，选项B 正确。突然撤去拉力F 的瞬间，小球间轻弹簧的弹力保持不变，即F2 023=2 023ma，设小球2 024 的加速度为a'，则F2 023 =ma'，又有F =2 024ma，解得a'=2 023F/2 024m ，选项C错误。小球1和2间的轻弹簧从小球1连接处脱落瞬间，小球1和2间的轻弹簧的弹力突变为零，小球1所受合力为零，其加速度为零，小球2仅受小球2和3间轻弹簧的弹力，且小球2和3间的轻弹簧的弹力不发生突变，根据牛顿第二定律得F2=ma2，又有F2=2ma，解得小球2的加速度a2=2a，其余小球的受力情况不变，加速度依然为a，选项D正确。

答案：C

3.由轻弹簧连接的两个物体做速度不同的运动。

当由轻弹簧连接的两个物体做速度不同的运动时，合理选用整体法和隔离法进行受力分析，根据物体的受力情况判断物体的运动情况，利用牛顿第二定律、机械能守恒定律或动量守恒定律列式可以求解相关的动力学问题。

例3 如图3所示，由轻弹簧连接的物块A 和B放置在光滑水平地面上，轻弹簧的原长为l，物块A 的质量为3m ，物块B 的质量为m ，轻弹簧始终处于弹性限度内。现使物块A 瞬间获得向右的初速度v0，在轻弹簧再次恢复至原长的过程中，以下判断正确的是（ ）。

A.物块A 的速度先减小后增大

B.物块B 的加速度先增大后减小

C.任意时刻，物块A 和B 的速度大小之比均为1∶3

D.任意时刻，物块A 和B 的加速度大小之比均为1∶3

解析：物块A 瞬间获得向右的初速度v0，轻弹簧被压缩，在轻弹簧再次恢复至原长的过程中，物块A 始终受到向左的弹力，做初速度为v0 的减速运动，物块B 始终受到向右的弹力，做初速度为零的加速运动，轻弹簧的弹力先增大后减小，物块B 的加速度先增大后减小，选项A 错误，B正确。水平地面光滑，由物块A 和B、轻弹簧组成的系统在水平方向上的动量守恒，任意时刻均有3mv0 =3mv1+mv2，则v1 ∶v2 =v1 ∶3（v0 -v1）≠1∶3，选项C错误。任意时刻，轻弹簧对物块A、B 的弹力大小相等，方向相反，根据牛顿第二定律F=ma 可知，物块A 和B 的加速度大小之比为a1∶a2=1∶3，选项D正确。

答案：BD

二、竖直面内含轻弹簧问题的求解

1.由轻弹簧连接的物体静止。

当由轻弹簧连接的物体在竖直面內静止时，物体处于平衡状态，合理选择研究对象，正确进行受力分析，根据平衡条件列方程式依然是求解相关动力学问题的必要过程。若物体由轻绳和轻弹簧共同连接，突然剪断轻绳或轻弹簧瞬间，则需要根据轻绳和轻弹簧的力学特性，确定物体的受力情况，推断物体的运动情况。

例4 如图4 所示，一物块P 静置在粗糙水平桌面上，一根水平轻绳将其连接在竖直放置的轻弹簧上端，连接点为O。另外一根轻绳的一端也与O 点相连，另一端固定在竖直墙壁上的Q 点。轻绳OQ 与竖直墙壁间的夹角α=53°，物块P 处于静止状态，弹簧的劲度系数k=200 N/m，形变量x=3 cm，已知sin 53°=0.8，cos 53°=0.6。下列说法中正确的是（ ）

A.弹簧的弹力为6 N

B.桌面对物块P 的摩擦力为10 N

C.水平轻绳的拉力为10 N

D.倾斜轻绳的拉力为8 N

解析：根据胡克定律得F=kx=6 N，即弹簧的弹力为6 N，选项A 正确。选结点O为研究对象，进行受力分析，如图5甲所示，根据平衡条件得T2sin α=T1，T2cos α=F，解得水平轻绳的拉力T1=8 N，倾斜轻绳的拉力T2=10 N，选项C、D 错误。选物块P为研究对象，进行受力分析，如图5乙所示，根据平衡条件得T1=f，解得桌面对物块P的摩擦力f=8 N，选项B错误。

答案：A

2.由轻弹簧连接的物体绕轴转动。

当由轻弹簧连接的物体绕轴转动时，根据物体的运动情况，确定物体的受力情况，利用圆周运动规律可以求解相关的动力学问题。若物体由轻杆和轻弹簧共同连接，则需要注意轻杆和轻弹簧的力学特性，确定物体的受力情况，推断物体的运动情况。

例5 如图6 所示，一根光滑竖直杆固定在一足够大水平光滑圆台的中央，一根轻弹簧套在竖直杆上，A、B、C 三个小球用两根轻杆通过光滑铰链连接，小球A 套在竖直杆上，并与轻弹簧的上端拴接。已知轻弹簧的原长与两根轻杆的长度均为L，三个小球的质量均为m 。当系统处于静止状态时，两根轻杆与竖直方向间的夹角θ=37°。当小球B、C 以相同的角速度ω0 绕竖直杆匀速转动时，小球B、C 恰好要脱离圆台，此时两根轻杆与竖直方向间的夹角为θ0。弹簧始终在弹性限度内，重力加速度为g，sin 37°=3/5，cos 37°=4/5。下列判断正确的是（ ）。

答案：CD

总结：求解含轻弹簧的动力学问题时，需要先确定轻弹簧是处于拉伸、压缩还是原长状态，明确弹簧弹力的方向;再对研究对象进行分析受力，研究对象可以是单个物体，也可以是由多个物体组成的系统，需要具体情况具体分析;然后根据物体的受力情况或运动情况，选用合适的物理规律列式求解，若物体处于共点力平衡状态，则可以利用平衡条件列式求解，若物体处于变速运动状态，则可以利用牛顿第二定律分析与讨论。

（责任编辑 张 巧）