一类耦合代数Riccati方程的解

2024-05-27关晋瑞宋儒瑛

宜春学院学报 2024年3期

关键词：上界迭代法不动点

张宇，关晋瑞，宋儒瑛

(太原师范学院数学与统计学院，山西晋中 030619)

耦合代数Riccati方程在控制论和线性微分系统中具有广泛的应用，本文考虑如下形式的一类耦合代数Riccati方程(CARE)

(1)

其中Ai∈Rm×m，Bi∈Rm×n，Ci∈Rn×m，Di∈Rn×n，eij是非负常数，Xi∈Rm×n是未知矩阵，i∈S，S={1，2，…，t}是有限集，且Ai，Di是M-矩阵，Bi，Ci是非负矩阵。

近年来，耦合代数Riccati方程得到国内外许多学者的关注，逐渐成为一个热点问题。[1-3]特别地，关于离散和连续耦合代数Riccati方程得到了很多的关注，并取得了较多成果。[4-6]Pessa等[1]证明了在最优控制中耦合代数Riccati方程解的唯一存在性。Bini等[7]提出了求解代数Riccati方程在流体队列模型中的新算法。Davies等[8]给出了离散耦合代数Riccati矩阵方程解的上界。随后，Zhang和Liu[9]给出了改进的连续耦合代数Riccati矩阵方程的解的上界。Xia等[10]给出了连续代数Riccati方程解的两个新的上界及其应用。Lu和Ma[11]建立了计算其最小非负解的线性化隐式迭代法(LI)。Liu等[12-13]给出了耦合代数Riccati方程的矩阵界和迭代算法。Benner等[14]提出了一种求解大规模代数Riccati方程的低秩ADI型算法。随后，Guan[15]针对该问题提出了改进的交替线性化隐式迭代方法。Liu 等[16]提出了连续代数Riccati方程的新的解的上界及其在冗余控制输入系统中的应用。Wu等[17]改进了Newton方法，得到对称耦合代数Riccati方程的两种迭代算法。Guo[18]证明了在M-矩阵K的正则性假设下，代数Riccati方程仍然具有最小非负解。

目前关于非对称耦合代数Riccati方程的研究是比较少的。罗芳芳[19]研究了方程最小正解的存在性条件，并提出了求解最小正解的两种数值方法：牛顿迭代法和不动点迭代法。张娟等[20]提出了求解方程的最小非负解的两种改进的数值方法：非精确牛顿法和交替线性隐式法，其数值效果优于牛顿迭代法和不动点迭代法。刘建洲等[21]在更一般的条件下讨论了方程最小正解的存在性及若干性质，并证明了牛顿迭代法收敛性的一些性质。张娟等[22]研究了求解方程的不动点迭代法的收敛性理论，并分析了不动点迭代法的收敛速度。

在现有的文献中虽然都研究了方程(1)最小非负解的存在性，但是假设条件一般都较强，而且证明比较复杂。本文将在较弱的假设条件下讨论方程(1)的最小非负解，基于一类简单的不动点迭代法，证明方程(1)最小非负解的存在唯一性。与现有的证明相比，本文的证明较为简单。

1 预备知识

下面介绍本文要用到的符号、术语以及一些预备知识。

本文中，Rm×n表示m×n实数矩阵的集合。A>(≥)0表示矩阵A是正的(非负的)。若A-B为正(非负)，则记为A>(≥)B。若A的所有非对角线元素均为非负，且行中所有元素的和均为非正，则称其为Q-矩阵。如果A的所有非对角线元素都是非正的，则称其为Z-矩阵。很明显，任意的Z-矩阵A都可以写成sI-B，其中s为正数且B≥0时。如果s>ρ(B)，则称Z-矩阵A为非奇异M-矩阵，其中r=ρ(·)为谱半径；当s=ρ(B)时称为奇异M-矩阵。

下面给出M-矩阵的一些性质。

引理1.1[23]对于Z-矩阵A∈Rn×n，下列条件是等价的：

(1)A是一个非奇异的M-矩阵；

(2)A-1≥0；

(3)存在正向量v>0，使得Av>0；

(4)A的所有特征值都有正实部。

引理1.2[24]设A=(aij)∈Rn×n是一个M-矩阵，B=(bij)∈Rn×n是一个Z-矩阵。若B的元素满足bii≥aii，1≤i≤n，并且aij≤bij，i≠j，1≤i，j≤n，则B是一个M-矩阵。