基于数学多元表征下的高中数学问题解决

马建

摘要：本文基于数学多元表征下的主要三元表征数学图形表征、数学符号表征、数学文字表征来解决难度较高的不等式整数解题目，提供两大类别、五种解题方法，一题多解，拓宽学生的解题思路，提高学生的数学解题能力，并借助数学文字表征下的情景创新实例，总结此类问题的解决办法.

关键词：数形结合；文字表征；图形表征；符号表征；分离参数

中图分类号：G632文献标识码：A文章编号：1008-0333（2024）12-0030-05

本文以高三复习中出现的一道较难的考题作为例题，深入研究展示基于数学多元表征下的主要三元表征：数学图形表征、数学符号表征、数学文字表征.同时用五大方法进行了分离函数和分离参数，充分体现数学解题中数形结合的重要思想，达到数形完美统一，学生思维得到了迁移，数学思维和转化的能力得到提高.

1 数学多元表征

在数学教育领域中，虽然人们经常谈到数学多元表征，却并没有统一的概念界定，但基本含义一致.归纳相关研究，本研究认为数学多元表征，是指将同一个数学学习对象用叙述性（言语化表征）和描绘性（视觉化表征）两种本质不同的多种形式表征.这包括两层含义：其一，在数学学习中，数学学习对象的表征至少出现叙述性表征和描绘性表征两种本质不同的表征；其二，在数学学习中，数学学习对象的表征至少含有叙述性表征或描绘性表征的两种或两种以上的表征形式[1].

常见的数学多元表征有数学图形表征、数学符号表征、数学文字表征、数学表格表征等形式.

2 数学图形表征、符号表征、算法表征

2.1 选题概况

例1若不等式alnxx3+3x>2恰好有两个整数解，则实数a的取值范围是（）.

A.0，4ln2B.4ln2，40ln2

C.4ln2，27ln3D.27ln3，40ln2

（题目来源：广东省中山市中山纪念中学2023届高三年级上学期11月模拟考试）

试题分析：批阅完试卷后，阅卷系统统计出考试数据（如表1），发现本题的得分率比较低，有将近三分之一的同学作答错误.

本题主要考查利用导数研究函数，判断不等式的整数解，在数学的图形表征和符号表征下考查学生的分析问题、解决问题的能力，属于较难题.

2.2 第一大类四种解决办法（数学图形表征的运用，不同形式的数形结合）

解法一分离出典型函数y=lnxx3，数形结合

设F（x）=lnxx3，g（x）=2-3x，则原不等式可化为：aF（x）>g（x）

接下来研究一下F（x）、g（x）的图象和性质：

F′（x）=1x·x3-3x2·lnxx6=1-3lnxx4，F′（3e）=0

在（0，3e）上，F′（x）>0，F（x）单调递增；在（3e，+∞）上，F′（x）<0，F（x）单调递减；

所以，F（x）在x=3e时取得最大值，x→0时，F（x）→-∞；x→+∞时，F（x）→0.

F（x）、g（x）的图象如图1：

由图象易知：当a≤0时，显然不符合题意（含有无数个整数解），

所以，考虑a>0的情况：

不等式aF（x）>g（x）恰好有两个整数解，显然x=1，已经符合题意，且是第一个整数解，所以，x=2是第二个整数解，x=2之后的整数都不能符合题意，如图2，

即：aF（2）>g（2）

aF（3）≤g（3）aln28>12

aln327≤1，解得：4ln2

解法二分离出典型函数y=lnxx2，数形结合

设F（x）=lnxx2，g（x）=2x-3，则原不等式可化为：aF（x）>g（x）.

接下来研究一下F（x）、g（x）的图象和性质：

F′（x）=1x·x2-2x·lnxx4=1-2lnxx3，F′（e）=0，

在（0，e）上，F′（x）>0，F（x）单调递增；在（e，+∞）上，F′（x）<0，F（x）单调递减；

所以，F（x）在x=e时取得最大值，x→0时，F（x）→-∞；x→+∞时，F（x）→0.

F（x）、g（x）的圖象如图3：

由图象易知：当a≤0时，显然不符合题意（含有无数个整数解），

所以，考虑a>0的情况：

不等式aF（x）>g（x）恰好有两个整数解，显然x=1，已经符合题意，且是第一个整数解，所以，x=2是第二个整数解，x=2之后的整数都不能符合题意，如图4

即：aF（2）>g（2）

aF（3）≤g（3）aln24>1

aln39≤3，

解得：4ln2

解法三分离出典型函数y=lnxx，数形结合

设F（x）=lnxx，g（x）=2x2-3x，则原不等式可化为：aF（x）>g（x）.

接下来研究一下F（x）、g（x）的图象和性质：

F′（x）=1x·x-lnxx2=1-lnxx2，F′（e）=0，

在（0，e）上，F′（x）>0，F（x）单调递增；在（e，+∞）上，F′（x）<0，F（x）单调递减；

所以，F（x）在x=e时取得最大值，x→0时，F（x）→-∞；x→+∞时，F（x）→0.

F（x）、g（x）的图象如图5：

由图象易知：当a≤0时，显然不符合题意（含有无数个整数解），

所以，考虑a>0的情况：

不等式aF（x）>g（x）恰好有两个整数解，显然x=1，已经符合题意，且是第一个整数解，所以，x=2是第二个整数解，x=2之后的整数都不能符合题意，如图6.

即：aF（2）>g（2）

aF（3）≤g（3）aln22>2

aln33≤9，

解得：4ln2

解法四分离出基本函数y=lnx，数形结合

设F（x）=lnx，g（x）=2x3-3x2，则原不等式可化为：aF（x）>g（x）.

接下來研究一下F（x）、g（x）的图象和性质：

F′（x）=1x，在（0，+∞）上，F′（x）>0，F（x）单调递增；

g′（x）=6x（x-1），在（0，1）上，g′（x）<0，g（x）单调递减，在（1，+∞）上，g′（x）>0，g（x）单调递增，当x=1时g（x）取得最小值-1.

F（x）、g（x）的图象如图7：

由图象易知：当a≤0时，显然不符合题意（只有一个整数解）（如图8），所以，考虑a>0的情况：

不等式aF（x）>g（x）恰好有两个整数解，显然x=1，已经符合题意，且是第一个整数解，所以，x=2是第二个整数解，x=2之后的整数都不能符合题意，如图9.

即：aF（2）>g（2）

aF（3）≤g（3）aln2>4

aln3≤27，

解得：4ln2

这个问题的处理主要运用了数形结合思想方法.

数形结合思想，主要指的是数与形之间的一一对应关系，是数学符号表征和图形表征相结合的具体体现.数形结合是将数学的抽象语言、数量关系和直观图形、位置关系结合在一起，通过抽象思维与形象思维的结合，让复杂问题简单化、抽象问题具体化，从而实现优化解题途径的目的[2].

所以，以形助数、以数辅形的数形结合思想，可以让问题更直观地呈现，加深学生对知识的理解和应用，把复杂的代数问题赋予灵活的变通形式.在解答数学问题时，数形结合可以快速分析题中数量之间的关系，启迪了思维，拓宽了思路，能让学生迅速找到解决问题的方法，从而提高分析问题与解决问题的能力和思维迁移能力.

2.3 第二大类解决办法（数学图形符号表征的运用，分离参数构造函数）

解法五分离参数，构造函数

原不等式alnxx3+3x>2，x>0可化为：alnx>2x3-3x2.

因为题目中不等式alnxx3+3x>2恰好有两个整数解，而x∈（0，+∞），

所以，x∈（0，1）不存在整数解，当x=1时得3>2显然成立，符合题意，

所以第一个整数解为x=1，第二个整数解在（1，+∞）中产生.

当x>1时，lnx>0，所以，原不等式可化为a>2x3-3x2lnx，

设F（x）=2x3-3x2lnx，x>1，则：

F′（x）=6x（x-1）lnx-（2x2-3x）（lnx）2=6x（x-1）［lnx-2x-36（x-1）］（lnx）2，

记g（x）=lnx-2x-36（x-1），则

g   ′（x）=1x-16（x-1）2=（3x-2）（2x-3）6x（x-1）2，

g   ′（32）=0，在（1，32）上，g′（x）<0，g（x）单调递减，在（32，+∞）上，g′（x）>0，g（x）单调递增，当x=32时g（x）取得最小值，g（x）≥g（x）min=g（32）=ln32>0.

所以，F′（x）>0在（1，+∞）上恒成立，F（x）在（1，+∞）上单调递增，

x→1时，F（x）→-∞；x=32时，F（x）=0；x=2时，F（x）=4ln2；x=3时，F（x）=27ln3.

因为第二个整数解在（1，+∞）中产生，所以，这个整数解只能是x=2，

所以4ln2

这个问题的处理主要是运用了分离参数的方法.

分离参数法：即将最值、值域、取值范围、恒成立和存在性等问题的参数与未知量分离于表达式的两端，整理成类似k=f（x）或k

例2古希腊哲学家毕达哥拉斯曾说过：“美的线型和其他一切美的形体都必须有对称形式.”在中华传统文化里，建筑、器物、书法、诗歌、对联、绘画几乎无不讲究对称之美，如清代诗人黄柏权的《茶壶回文诗》（如图10）以连环诗的形式展现，20个字绕着茶壶成一圆环，不论顺着读还是逆着读，皆成佳作.数学与生活也有许多奇妙的联系，如2020年02月02日20200202被称为世界完全对称日（公历纪年日期中数字左右完全对称的日期）.数学上把20200202这样的对称数叫回文数，两位数的回文数共有9个（11，22，…，99），则共有多少个这样的三位回文数（）.

A.64B.72C.80D.90

题目分析本题给出的题目内容特别多，有230个字左右，是数学文化知识和数学排列组合相结合的一道例题，学生拿到这题时第一感觉就是估计这道题是一道难题，光文字解释就是这么多.这就需要同学们冷静面对，把对解题有利的信息要加以筛选，重新用数学的文字表征来重塑这道题：把数字左右完全对称（例如：20200202）的对称数叫回文数，两位数的回文数共有9个（11，22，…，99），则共有多少个这样的三位回文数？

这样学生就能够明白：本题主要考查分类加法计数原理的应用.

解题的关键信息：三位回文数首尾要相同.

解析由题意，三位数的回文数以1为开头和结尾的有10个（中间为0～9这10个数字）；此外有以2，3，…，9分别开头和结尾的也都各有10个（中间为0～9这10个数字）；

由分类加法计数原理：综上共有10+8×10=90个，故答案选D.

在作这样的题目的时候，就要把外在文字表征转换成内在的数学表征，清晰地用数学的知识做题.

例3埃拉托斯特尼是古希腊亚历山大时期著名的地理学家，他最出名的工作是计算了地球（大圆）的周长.如图11，在赛伊尼，夏至那天中午的太阳几乎正在天顶方向（这是从日光直射进该处一井内而得到证明的）.同时在亚历山大城（该处与赛伊尼几乎在同一子午线上），其天顶方向与太阳光线的夹角测得为7.2°.因太阳距离地球很远，故可把太阳光线看成是平行的.埃拉托斯特尼从商队那里知道两个城市间的实际距离大概是5 000斯塔蒂亚，按埃及的长度算，1斯塔蒂亚等于157.5米，则埃拉托斯特尼所测得地球的周长约为（）.

A.38 680千米B.39 375千米

C.41 200千米D.42 192千米

题目分析本题选自2022年的高三数学训练题.对于地理学得比较好的同学来说，理解这道题是没有问题的，但是对于地理不太好的学生来说，看到了地球的各种线，脑子里面就会乱成一团麻，再加上各种复杂的人名和地名，简直没法做.

阅读题目后，需要从繁杂的题设中抽取有用信息，再进行加工：由平行光线的作用，得到圆心角也为7.2°，在地球的大圆上，两个城市之间的距离实际为大圆上的一段弧长，接下来，求地球的周长几乎就用不到高中的数学知识，利用比例关系就可以直接求出地球的周长了.实则考查比例的性质、圆的周长公式，主要考查学生的运算能力，属于基础题.

解析由题意知，太阳光线互为平行线，则亚历山大城、赛伊尼与地球中心所成角和天顶方向与太阳光线的夹角为同位角，则亚历山大城、赛伊尼与地球中心所成角为7.2°，且亚历山大城、赛伊尼间距离为5 000×157.5=787 500（米）=787.5千米，即亚历山大城、赛伊尼与地球中心所成角的7.2°角所对的地球的大圆的弧长为787.5千米.所以根据比例关系，地球周长为787.57.2°×360°=39 375（千米），故答案选B.

近年来，文字阅读型情境创新题在高考试卷中频频出现，这类根据材料提供的信息现场快速阅读、理解和运用的新题型，知识背景较为宽广，知识跨度大，包含的信息也较多，它综合考查了考生的阅读理解、数据处理、分析推理、文字概括和书面表达及知识迁移等诸多方面的能力.这就要求学生要有良好的阅读习惯，从阅读中发现信息，找到有用信息后进行归纳、抽象、概括并大胆地猜测、假设构建数学模型[4].

4 结束语

除了以上出现的几个常见函数外，不妨看看下面这些函数的图象，下面给出函数供研究和参考（图12-图17）：

4 结束语

本文主要基于数学图形和符号表征，解决高三月考试卷中一道有难度的不等式整数解问题的题目，用了数形结合与分离参数这两大类别的五种方法解决了问题，体现出数学学习的通性通法，也帮助学生拓广了解题思路，提高学生的数学运算和解题能力.对于学生害怕的文字型情景创新题，要对它进行抛繁去杂，留下枝叶，转化为课堂所学的知识和问题，再解决问题.

参考文献：

[1]唐剑岚.数学多元表征学习及教学[M].南京：南京师大出版社，2009.

[2] 吴有昌，郑锦松.数形结合思想[J].中学数学教学参考，2018（22）：112-115.

[3] 王琳茹.分离参数法在解决与函数有关问题中的应用[J].科教导刊，2019（33）：202.

[4] 晏華东.高中数学“文字题”难得分原因分析及对策[J].中学数学，2022（15）：36-37，86.

［责任编辑：李璟］