追求数学本质的概念课教学策略探究

【摘 要】 数学课程标准要求课程内容要进行结构化整合，意味着数学的教学不仅要教知识，更要教结构.数学概念是思维的起点，在概念课教学中应当让学生通过理解概念是什么、为什么、做什么、怎么做，对概念有全面的认识，挖掘内容背后的数学本质，从而构建结构化的知识体系，发展核心素养.

【关键词】 结构化；概念课；数学本质；教学策略

《义务教育数学课程标准（2022年版）》（以下简称《课程标准（2022年版）》）强调课程内容在组织上要进行结构化整合［1］，意味着数学教学不仅要关注知识本身，更要注重知识结构.然而在实际教学中，学生虽了解知识间的关系，却没有领会其本质联系，不足以形成结构化的知识体系.这就使得数学的学习从思维走向记忆，失去了数学的灵魂.

由此可见，教学只关注局部，不关注整体，或者只获得粗浅关系，不分析内在逻辑，都不能实现结构化教学.因此，在数学教学时要挖掘知识发生、发展过程中蕴含的数学本质，揭示其内在逻辑，从而形成深层次的知识关联网络，实现知识的结构化.

1 关于数学本质的理解

对数学本质的理解，研究者们从不同的角度发表了看法.《课程标准（2022年版）》中定义数学是研究数量关系和空间形式的科学，是对现实世界的抽象、分析和表达［1］，指出了数学的研究对象和路径.徐德同［2］认为数学本质是在“知识形成”和“问题解决”过程中产生的数学思想和精神.石志群［3］总结数学本质就是数学内容及其本身所固有的属性，是能够区别于其它学科内容的基本特质.综上所述，所谓数学本质，就是对内容的进一步抽象，反映了其内在逻辑的数学原理、思想方法和研究路径.

基于上述分析，可以将数学内容到核心素养之间的发展路径划分为四个阶段，如图1所示.

第一个阶段为学习数学内容，这个阶段的学生知道研究对象及其之间的关系，但未领悟其内在逻辑，通过被动训练或接受来学习，迁移应用、创造能力较弱.

第二个阶段为抽象数学本质.这个阶段的学生能够分析具体内容，感悟其中的数学原理、思想方法和研究路径，理解数学本质，为建构结构化的知识体系做好准备.

第三个阶段为组织知识体系.学生通过对数学本质的理解，已将知识重构为结构化的内容和研究路径，发展了自主发现、探究、应用、创造的能力.

第四的阶段为发展核心素养.将已构建的知识体系在抽象、分析、表达现实世界过程中实例化应用和数学化表达，强化知识结构，达成“三会”目标.

根据以上分析，数学本质为数学内容到发展核心素养之间搭建了桥梁，要让学生构建结构化的知识体系，发展核心素养，教师就应该让学生透过内容表面，看到数学本质.

2 概念课教学中挖掘数学本质

数学上要研究一类对象就要先研究其概念.数学概念作为思维的起点，在教学中渗透数学本质，是形成结构化知识的重要一环.下面就谈一谈如何在概念教学中，通过分析研究对象及其联系，挖掘数学本质，建立结构化知识体系.

在企业管理或数据分析领域，从业者经常会用5W1H分析法（即What，Why，When，Where，Who，How），对问题进行剖析，从而理清其中逻辑，寻求解决途径.在概念教学中，教师也可以类比这样的策略，通过分析概念是什么（What）、为什么（Why）、做什么（Where）、怎么做（How），从而剖析概念的来龙去脉，在全面认识概念的过程中，理解其中的数学本质，如图2所示.

为了更好阐明以上策略，本文以浙教版“一元二次方程”教学为例，基于如图3所示的本质分析，探讨追求数学本质的概念课教学策略和实施过程.

3 追求数学本质的概念课教学策略

3.1 在理解概念内涵中获得数学本质

让学生理解概念的内涵是概念学习的第一步.概念的内涵反应了一类对象的本质属性，是学生数学抽象能力的体现.章飞［4］将概念内涵的教学呈现方式划分为8种，建议不同类型的概念应选择适切的教学方式呈现内涵.重要的概念应该采用概念形成或建构的方式，通过探究活动强化学生对概念形成过程的理解.

例如一元二次方程概念的教学中，可以创设符合学生认知的情境，形成一元一次方程和一元二次方程的实例，然后引导学生进行分类，通过类比一元一次方程，得出一元二次方程实例的特征，進而归纳形成概念.在这个概念生成的过程中，学生不仅理解了概念的内涵，而且体会了分类、类比、归纳的数学思想，经历了概念研究的一般路径.具体教学策略设计如下：

策略一 分类与类比，概念生成.

问题1：请回答下列问题

（1）小聪有一笔记本，它的宽为x厘米，长为（x+5）厘米，周长为70厘米，则可列方程.

变式1：笔记本的面积怎么表示？若面积是300平方厘米，则可列方程.

（2）商店里，笔记本单价为m元，共卖出9m本，则销售额为元.

变式2：若销售额为900元，则可列方程.

设计意图 通过情境列出代数式、一元一次方程及一元二次方程，一方面引导学生区分代数式与方程的不同，体会方程表达的是未知数与已知数之间的等量关系，另一方面为概念得出提供分类、类比的实例.

问题2：现在黑板上有4个式子，如果老师让你进行分类，你会怎么分？

问题3：哪些式子我们研究过？一元一次方程具备哪些特征？

问题4：类比一元一次方程，另一类方程有什么特点？根据一元一次方程的的定义，如何给这类方程下定义？

辨析：判断下列方程是否是一元二次方程.

（1）10x2=9;

（2）2x2+x=1x-5;

（3）2（x-1）=3x;

（4）x2-3x+2;

（5）x22+2=3x;

（6）7x2+2y=0;

（7）（x-2）2=2.

设计意图 引导学生抓住数学符号的特征进行分类，渗透分类思想，从而进一步直观地类比分析，得出一元二次方程的特征，归纳形成概念.整个过程学生体会到了分类、类比、归纳的数学思想和一般化的概念研究路径.

3.2 在分析概念由来中获得数学本质

数学知识是自然发展、不断完善的，每一个新概念的出现都有其必然原因.只有分析清楚概念的来龙去脉，揭示其产生的必然性、合理性，才能让学生对概念有一个纵向的认识，加深理解的同时体会其中的数学本质.

例如一元二次方程的出现，意味着问题中的数量关系不仅有一元一次方程的关系，还存在一元二次方程的关系，其概念产生的根本原因是问题中数量关系的变化，导致了方程的形式变化，部分方程变化后具有统一的特征，数学上将这种特殊的数量关系称之为一元二次方程.所以一元二次方程就是描述数量关系的一种工具.教学中教师要从这个角度去解读一元二次方程，让学生理解一元二次方程的数学本质.

又如教材上直接给出了一元二次方程一般形式的概念，举了几个实例后，便直接开始让学生将一元二次方程转化为一般形式.但为什么要转化为一般形式却没有说清楚，学生只能机械地进行一般形式的转化，丧失了追求数学本质的探究精神.为此，在教一般形式这个概念时，可以设计以下教学过程：

策略二 追根溯源，理解意义.

问题5：如果将（x-2）2=2改写成（x-2）2=x2，它是不是一元二次方程？请小组讨论，将你的想法写下来.

问题6：回顾辨析中，一元二次方程的表现形式很多，不够统一，若想体现一元二次方程的本质特征.我们可以怎么转化？

总结1：如果将二次项、一次项、常数项都规定放在等号左边，使等号右边为0，并合并同类项，那么形式就比较统一了.

问题7：因此，判断方程是否为是一元二次方程时，先转化成ax2+bx+c=0形式，如果是一元二次方程，等式中的a，b，c分别要满足什么条件？b，c是否可以为0？

问题8：那么，你能判断（x-2）2=x2是不是一元二次方程了吗？

总结2：给出一般形式的概念，其反映了一元二次方程的本质特征.

设计意图 通过判断（x-2）2=x2属不属于一元二次方程这个问题入手，产生认知冲突，引发学生思考一元二次方程的一般化表达，从而得出一元二次方程的一般形式，让学生对一般形式的意义有深刻的理解，也为后续因式分解法、公式法的学习作必须准备.探究一般形式的过程，学生经历转化思维，体会了特殊到一般的思想，感受符号化表达中蕴含的数学之美.

对于（x-2）2=x2属不属于一元二次方程这个问题，很多老师避而远之，与学生闭口不谈，而这样恰恰背离了追求数学本质的初衷.从数学学科体系的视角下，探究可以发现一元二次方程的形式有很多，那么能不能用一种方法将他们统一表示出来？基于这个问题，发现可以将方程转化成一般形式，这体现了数学符号语言用有限刻画无限的思想，可以说这种思想是数学不断发展的动力源泉.

3.3 在认识概念作用中获得数学本质

虽然纯数学的研究不依赖现实中的对象，但数学的起源和发展离不开现实中的实际应用问题，数学教育的目标也指向提高学生在现实情境中解决问题的能力.因此，概念的教学要深度挖掘概念的作用，思考概念的现实和理论意义，从中提炼出共性思维，理解其中蕴含的数学本质.

教学仅仅停留在理解一元二次方程概念的层面，没有将一元二次方程的魅力完全展现出来，学生就很难体会到学习一元二次方程的意义所在.结合数学史，就可以解释清楚一元二次方程的产生背景和作用.例如人们发现某些问题采用算术方法，利用逆向思维去解决比较困难，直到代数的出现，人们开始利用未知数，直观的表示出问题中的等量关系，那么接下来只需要求出未知数的值就能解决问题，而这种解决问题的方法具有通用性.因此一元二次方程的作用就是为了能够找到复杂问题的一般性解法，简化求解过程.从这个角度认识一元二次方程，便能不断体会一元二次方程中体现的正、逆向思维的转化思想.

此外，当学生认识到一元二次方程的作用，自然而然就会想到求出方程未知数的值，通过类比一元一次方程的解的概念，获得一元二次方程解的概念，那么不同概念之间联系紧密，衔接自然，構成的知识网络更加完善.此处教学策略可以设计如下：

策略三 深度比较，概念派生.

问题9：回顾节始“问题1”的笔记本问题，根据情境列出一元一次方程，可以解决什么问题？如何得到未知数的值？用算术方法可以解决吗？哪种方法直观？

问题10：根据情境列出一元二次方程，可以解决什么问题？用算术的方法可以解决吗？

总结3：提出方程思想.

问题11：我们知道能使方程左右两边都相等的未知数的值就是方程的解（或根），那么对于式子9m2=900，有没有能使方程成立的未知数的值？

问题12：判断未知数的值x=-1，x=0，x=2是不是方程x2-2=x的根.

变式3：已知一元二次方程2x2+bx+c=0的两个根分别为x1=1和x2=-3，求这个方程.

设计意图 透过对几个真实问题的比较分析，让学生发现随着问题情境的复杂化，相比于算术方法，列方程更直观，解题过程更具一般化.透过类比一元一次方程的解（或根）得出一元二次方程的解（或根）的概念，自然衔接待定系数法求一元二次方程的教学过程.

3.4 在掌握概念运用中获得数学本质

理解概念的内涵是学习的起点，而利用概念解决纯数学或实际问题则是学习的落点.如图4所示，在应用概念的过程中，学生会不断回顾概念内涵、由来、作用中抽象的数学本质，并把解决的问题当作具体案例作为支撑，在“具体—抽象—具体”的过程中理解抽象的数学本质.

教材中对概念的应用一般通过例题加变式练习的形式出现.除了必要的巩固，教学中还应该强调一元二次方程一般形式的转化原理，实际上这个过程就是利用等式的性质进行移项的过程，与等式的性质建立联系.进一步可以引导学生发现，一元二次方程虽然形式变化，但解是一样的，感受其中变与不变的数学思想.一元二次方程一般形式应用过程的教学策略设计如下：

策略四 实践应用，概念深化.

问题13：把下列一元二次方程转化为一般形式，并指出它的二次项系数、一次项系数和常数项.

（1）9x2=5-4x;

（2）（2-x）（3x+4）=3.

总结4：在进行一般形式转化的过程中，你运用哪些知识？对比一般形式和原形式，你有什么体会？（引导体会变中不变的数学思想）

变式4：填写表1.

设计意图 通过例题和练习，将一般形式的转化过程具体化，通过“具体—抽象—具体”的过程不断强化概念及其中蕴含数学本质的理解.提供较多的一元二次方程的初始形式，丰富学生将一元二次方程转化为一般形式的经验，体会变中不变的数学思想.

4 总结与反思

4.1 以概念学习为载体的本质挖掘

概念是数学思维的起点，在概念教学中教师要从数学学科的整体视角，全面分析与概念有关的知识及其内在逻辑，让学生理解概念是什么、为什么、做什么、怎么做.从四个方面让学生通过探究对概念形成全面认识，充分挖掘概念发生、发展过程中所蕴含的数学原理、思想方法和研究路径，获得数学本质，为进一步形成结构的知识体系搭建“骨架”.如一元二次方程的一般形式，在概念之上更是体现了符号语言用有限刻画无限、一般化的数学思想，可以联系到“用字母表示数”中的数学本质.通过“死”的内容，变成“活”的思维，让概念教学不仅仅是教概念，而是教给学生数学的本质.

4.2 以一般路径为导向的概念学习

李邦河院士曾表示数学玩的是概念，而不是技巧.由此可见，数学是一门以概念为基础的学科，对数学概念的理解深度，较大程度上影响着对数学的理解.事实上，数学的概念很多，联系也很紧密，但仍还有很多未知的概念等待人类去发现和创造.因此，概念的学习结果不应该仅仅是掌握概念本身，而是要学会概念的学习.概念的学习往往是可以通过旧概念来理解新概念的，如一元二次方程的概念学习可以类比一元一次方程，形成概念研究的一般路径，即分类→类比→归纳→定义，这个一般化的研究路径还可以应用到新概念的学习或发现中.

4.3 以数学本质为核心的知识结构

以大概念、核心概念为核心构建的知识框架或许比较宏观，大多数学生仅认识到知识间的浅显关系，却不知其内在逻辑，未必能夠关注到知识之间的“细枝末节”，而这些“细枝末节”可能就是发展核心素养的关键.因此，可以尝试以数学本质为核心，通过抽象研究对象之间的关系获得数学原理、思想方法和研究路径，搭建起知识体系的“骨架”，并以线带面地在具体数学内容学习中强化和发展数学本质，形成结构化的知识体系.

4.4 以理解学生为根本的适切处理

虽然对概念进行四个方面的分析，能够获得全面的认识，挖掘得到数学本质，但从一元二次方程这节课中可以发现，每个概念的每个方面所蕴含的数学本质是不同的，从整体上看是相对庞杂的.让学生在一节课中掌握这么庞杂的数学本质是不现实的.例如一元二次方程一般形式的概念，本节课中重点讨论的是为什么和怎么做.而对于一元二次方程的作用则采用了类比一元一次方程，比较算术与方程的本质区别，从而便于学生接受.此外，部分概念的作用、运用等往往需要在后续课程中进行体现和理解，比如一元二次方程的应用，一元二次方程的解法等，与概念课是分离的.甚至有些概念的由来是教给学生也暂时不能理解的，有些概念的内涵是暂时难以解释的.

基于此，要让学生形成结构化知识体系，既要从四个方面分析内容中的数学本质，也要对教学内容进行适切处理，精心设计基于学生已有经验的教学过程.

参考文献

［1］中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准：2022年版［M］.北京：北京师范大学出版社，2022：1.

［2］徐德同，黄金松.关于“理解数学把握本质”的几点思考［J］.数学通报，2022，61（03）：37-40.

［3］石志群.数学教学如何突出数学本质［J］.数学通报，2019，58（06）：23-26.

［4］章飞，俞梦飞，顾继玲.初中数学教科书中概念的呈现方式及一致性研究［J］.数学教育学报，2021，30（05）：21-27.

作者简介 谢耀聪（1994—），男，浙江杭州人，中学一级教师，硕士;主要从事数学教育研究.