源于教材 整体关联 动态感知

孙晓军 刘琰焱

【摘 要】 试题既是评价教师教学质量和学生学习效果的重要载体，也是调控教学活动、改进教学方式的有效杠杆．教师要充分挖掘试题的学科育人价值，引导学生在探究多种解题方法中感受图形的构造与重组，经历思维视角转换和思维方式变换的过程，进而建构数学知识逻辑体系，发展思维的开放性、动态性和结构性．

【关键词】 中考试题；解法探究；图形变换；动态观念

初中阶段图形与几何领域教学强调从运动变化的观点研究图形［1］．《义务教育数学课程标准（2022年版）》（以下简称《新课标》）提出：要理解轴对称、旋转、平移的基本图形运动，会用图形的运动认识、理解和表达现实世界中相应的现象；理解几何图形的对称性，感悟现实世界的对称美［2］．因此，教师要引导学生感悟图形变换中所展现出的图形对称美与数学理性美，并会用几何知识表达物体简单的运动规律．对于一些中考试题，在思考解题方法时，如果能从图形变换的角度进行动态分析，建立相关线段、角、三角形等几何图形间的数量关系，学生就会在“曲径通幽”中明晰思维方向、明辨探究路径、明确解题方法，积累运用动态观念和变通策略解决问题的数学活动经验．

笔者借助对一道中考试题的多解法探究与思考后形成此文，与各位同仁交流．

1 试题呈现

（2023山东威海中考第23题）已知：射线OP平分∠MON，A为OP上一点，⊙A交射线OM于点B，C，交射线ON于点D，E，连接AB，AC，AD．

（1）如图1，若AD∥OM，试判断四边形OBAD的形状，并说明理由；

（2）如图2，过点C作CF⊥OM，交OP于点F；过点D作DG⊥ON，交OP于点G．求证：AG=AF．

该试题思维策略开放，解题方法多样，图形结构优美，重点考查学生在几何直观、空间观念、推理能力、模型观念等方面的素养水平．

2 解法探究

笛卡尔说过：“要从错综复杂的事物中区别出最简单的事物，然后进行有序的研究．”对于这道涉及到诸多线段、角、三角形之间的位置关系与数量关系的试题，学生在进行解题分析初期很容易产生“山重水复疑无路”的思维困惑．如果能从图形变换的视角进行整体分析，补全缺失的图形关系，不仅会使题目中“潜伏”的数量关系浮出水面，而且可以使复杂问题简单化，进而从解题思维困惑走向“柳暗花明又一村”．

解 （1）利用△ADH与△ABK，以及△AHO与△AKO的轴对称变换关系．

四边形OBAD是菱形．如图3，过点A作AK⊥OM，AH⊥ON，垂足分别为点K，H．因为OP平分∠MON，所以∠1=∠2，AH=AK，又AD=AB，所以Rt△ADH≌Rt△ABK，故DH=BK．可求得Rt△AHO≌Rt△AKO，所以OH=OK，故OD=OB．因为AD∥OM，所以∠2=∠3，所以∠1=∠3，所以OD=DA，故OD=DA=AB=BO，所以四边形OBAD是菱形．

（2）方法1 利用△ACK与△ADH，以及△ADG与△ACL的旋转变换关系．

如图4，过点A作AK⊥OM，AH⊥ON，垂足分别为点K，H，在FC上取点L，使AL=AF，连接AL，则∠OFC=∠ALF．因为OP平分∠MON，所以AH=AK，又AC=AD，所以Rt△ACK≌Rt△ADH，故∠3=∠4，因为∠3+∠5=90°，∠4+∠6=90°，所以∠5=∠6．因为∠DGO+∠DGA=180°，∠ALF+∠ALC=180°，∠DGO=∠OFC=∠ALF，所以∠DGA=∠ALC，所以△ADG≌△ACL，故AG=AL，所以AG=AF．

方法2 利用△ODG关于OP轴对称后与△OCF的位似变换关系，以及△AGL与△AFC的轴对称变换关系．

如图5，过点A作AK⊥OM，AH⊥ON，垂足分别为点K，H，延长DG交⊙A于点L，连接AL．由“方法1”可得∠5=∠6，因为AD=AL，所以∠5=∠ALD，所以∠ALD=∠6．因为∠1=∠2，∠ODG=∠OCF，所以△ODG∽△OCF，故∠DGO=∠OFC．又∠DGO=∠AGL，所以∠AGL=∠OFC，又AL=AC，所以△AGL≌△AFC，所以AG=AF．

方法3 利用△ODG与△OBG的轴对称变换关系，以及△AGQ与△FAT沿OP方向的平移变换关系．

如图6，过点A作AK⊥OM，垂足为点K，所以BK=CK，连接BG，由图形的轴对称性和DG⊥ON，可得BG⊥OM．分别过点G，A作GQ⊥AK，AT⊥FC，垂足分别为点Q，T，可求得四边形BKQG和四边形AKCT均为矩形，所以BK=GQ=KC=AT．因为GQ∥BC，AT∥BC，所以GQ∥AT，故∠AGQ=∠FAT，所以△AGQ≌△FAT，所以AG=AF．

方法4 利用△ADH与△ABK，△AHO与△AKO，以及△ODG與△OBG的轴对称变换关系．

如图7，过点A作AK⊥OM，AH⊥ON，垂足分别为点K，H，连接BG．因为OP平分∠MON，所以∠1=∠2，AH=AK，又AD=AB，所以Rt△ADH≌Rt△ABK，故DH=BK．可求得Rt△AHO≌Rt△AKO，所以OH=OK，故OD=OB，可求得△ODG≌△OBG，所以∠ODG=∠OBG=90°，即GB⊥OM，又FC⊥OM，所以GB∥AK∥FC，故BKKC=GAAF．因为AK⊥BC，所以BK=CK，所以AG=AF．

方法5 利用△ADH与△ABK的轴对称变换关系，以及△ADG与△ALF的旋转变换关系．

如图8，过点A作AK⊥OM，AH⊥ON，垂足分别为点K，H．因为OP平分∠MON，所以AH=AK，又AD=AB，所以Rt△ADH≌Rt△ABK，所以∠3=∠4．延长CF交⊙A于点L，连接AL，因为∠BCL=90°，所以BL是⊙A的直径，故点B，A，L三点共线．因为∠3+∠5=90°，∠4+∠6=90°，所以∠5=∠6，由于∠7=∠1+∠ODG，∠8=∠2+∠OCF，且∠1=∠2，∠OCF=∠ODG=90°，所以∠7=∠8，又AD=AL，所以△ADG≌△ALF，所以AG=AF．

方法6 利用△ACK与△ADH的旋转变换关系，以及△ADL与△AQC先沿OP方向平移、再旋转的变换关系．

如图9，过点A作AK⊥OM，AH⊥ON，垂足分别为点K，H，分别取OG，OF中点L，Q，连接DL，CQ．因为OP平分∠MON，所以AK=AH，又AC=AD，所以Rt△ACK≌Rt△ADH，故∠3=∠ACK．因为DG⊥OH，L是OG中点，所以DL=OL=LG，所以∠1=∠4，故∠5=2∠1．同理可得OQ=CQ=QF，则∠6=2∠2，因为∠1=∠2，所以∠5=∠6，∠2=∠4．因为∠4+∠LDA+∠3=180°，∠2+∠OAC+∠ACK=180°，所以∠LDA=∠OAC，所以△ADL≌△AQC，故AL=CQ，AQ=DL．因为DL=LG，所以AQ=LG，又CQ=QF，所以AL=QF，即AG+LG=AF+AQ，所以AG=AF．

3 教学启示

3．1 重视教材，凸显教学导向

教材是教学活动的根本．源于教材的命题方式，能体现试题评价与选拔的基础性、科学性和公平性，有效提升教学评价的生命力．将教材资源作为试题命制的本源，可以引导教师重视对教材资源的合理使用，改变学生对教辅资料的依赖性、纠偏题海战术．教师要挖掘教材例题和习题的示范引领作用，充分发挥教材的教育教学价值和评价功能［3］．本道试题以角平分线和圆为背景，“联姻”了角平分线的性质、全等三角形、相似三角形、菱形的判定、平行线分线段成比例、圆的性质等知识，以及轴对称、平移、旋转等图形变换方式．纵观各地的中考试题，无论题目的特点如何创新、命题的风向标如何变化，都要重视教材内容，要紧扣数学主干知识与核心考点，将教材内容作为教学活动的根本．

3．2 整体生长，培育思维结构

数学知识之间具有很强的关联性和整体性．《新课标》也提出：要加强知识间的内在关联，促进知识结构化．素养导向下的教学活动，要求教师能从“登高远望，一览众山小”的视角，对教学内容进行模块化架构，揭示知识间的逻辑关联，系统建构数学知识的结构体系．本道试题命制素材所涉及到的教材内容信息如表1所示．

教师在对该试题进行解题分析时，可以从角平分线这一基本图形入手，按照一定的逻辑结构逐步添加条件，还原试题的“生长”过程，要揭示相关图形与数学知识点、思维方法、解题策略间的整体关联．同时还要引导学生对图形进行结构重组、关系建构，理清图形结构和逻辑关联，以便能清晰、快速、准确获取解题线索，孕育思维品质的结构化与生长性．

3．3 注重变换，发展动态观念

解决几何问题的突破口往往需要通过添加合理的辅助线进行构圖．尽管该试题源自教材中的基本图形和简单问题，但学生在添加辅助线时依旧会存在“在哪里添加”“如何添加”“为什么要这样添加”“添加后的价值是什么”等思维障碍．因此在教学中要引导学生运用轴对称、平移、旋转、位似等图形变换方式分析图形间的关系，从运动的角度进行图形构造，以破解思维障碍、搭建思维连接点、畅通思维通道．只有这样，数学解题教学才能突破“只见树木，不见森林”的困境，学生才能学会用动态思维和整体策略分析问题，体会各种方法间的关联性和一致性，从而逐步建立起解决问题的思维方式和方法体系．

参考文献

［1］李卓．挖掘试题育人价值，发展学生几何直观素养［J］．中学教研（数学），2024（01）：36．

［2］中华人民共和国教育部．义务教育数学课程标准：2022年版［M］．北京：北京师范大学出版社，2022：71．

［3］吴立宝，洪梦，王富英．数学教科书例、习题的关系研究［J］．中学数学教学参考，2021（03）：78．

作者简介 孙晓军（1976—），男，山东乳山人，中学一级教师，山东省乳山市教学研究中心教研员;主要从事初中数学教学研究工作;曾获得威海市数学名师、学科带头人、教学能手、教育科研先进个人等称号;主持20余项省、市级课题研究，有多项研究成果获省、市级教学成果奖，执教的十余节课例获得威海市数学优质课一等奖、山东省优课及国家教育部基础教育精品课．刘琰焱（1980—）女，山东乳山人，中学一级教师;曾获得教坛明星等称号，执教过威海市数学优质课.