在数学解题中得法、明理、悟道、激趣

【摘 要】 数学解题除了内化数学知识、发展思维能力、积累活动经验外，其重要的价值在于通过解题研究，得数学之法、明数学之理、悟数学之道、激数学之趣，即掌握数学的策略与方法，认识数学的规律与原理，把握数学的思想与本质，增强对数学探究的兴趣．

【关键词】 数学解题;得法;明理;悟道;激趣

数学学习和研究，数学教育和教学，没有解题万万不能，但仅有解题远远不够［1］．数学解题的过程是思考方向从茫然到明朗、分析思路从模糊到清晰、解题方法从复杂到简捷的过程．这个过程除了内化数学知识、发展思维能力、积累活动经验外，更重要的是在解题中得数学之法、明数学之理、悟数学之道、激数学之趣，这正是数学解题的价值．本文以一道矩形翻折问题的思路探寻过程为例，谈谈如何引导学生在数学解题中得法、明理、悟道与激趣．

1 真题呈现及数据分析

真题呈现

如图1，BD是矩形ABCD的对角线，1＜BCAB＜3，点E，F分别在边AD，BC上，把△ABE和△CDF分别沿直线BE，DF折叠，使点A，C分别落在对角线BD上的点G，H处，连结FG．

（1）求证：BH=DG；

（2）若AB=6，AD=8，求线段FG的长；

（3）若FG∥CD，求BDAB的值．

数据分析

该题是九年级数学测试卷中的一道题，作为几何压轴题安排在试卷的第23题位置（全卷共24题）．笔者所教班级的37名学生中，第（1）（2）两小题基本能正确作答，但第（3）小题完全正确的仅有3人，占比为8%．那么，第（3）小题正确率为何如此之低？这引起了笔者的关注与思考．

2 思路探索的心路历程

笔者尝试对试题第（3）题的思路与方法进行了探寻与研究，经历了“拨得云开见日出，守得云开见月明”“山重水复疑无路，柳暗花明又一村”“问渠哪得清如许，为有源头活水来”“删繁就简三秋树，领异标新二月花”“不畏浮云遮望眼，自缘身在最高层”的5个过程．

2.1 拨得云开见日出，守得云开见月明

根据波利亚的解题策略，从条件与结论两个方面对问题进行分析．从条件看，一是作为图形基石的“矩形ABCD”有何作用？二是“图形翻折”的本质是轴对称，可得到对应线段相等、对应角相等，而连结对应点的线段被“折痕”垂直平分是“图形翻折”的常规思路，该问题中这样的线段要不要出现？三是条件“FG∥CD”在解题中的作用何在？四是图形中的几对直角三角形相似如何合理利用？从结论来看，求BDAB的值即寻找线段BD，AB间的关系．图中有直角三角形、相似三角形，是用勾股定理还是三角形相似得线段关系？五是由于没有给出某些线段的长度，必须要引进参数，那么哪些量可作为参数？引进几个参数？这一系列疑问有如蔽日云雾，需要解题者慢慢拨开．不失一般性，令AB=CD=1（以下均如此）．

方法一 设BD=x，问题转化为寻找相等关系建立关于x的方程．由折叠知：BG=AB=1．HG=BG+DH-BD=2-x．一方面，易证△BGF∽△BDC，得BGBD=GFDC，即1x=GF1，有GF=1x；另一方面，由△FGH∽△BGF有FGBG=HGFG，即GF2=HG·BG．故1x2=（2-x）·1．至此思路变得明朗起来，正所谓“拨得云开见日出”．

将所列方程整理得x3-2x2+1=0．系数和为0的方程必有一根为1，故凑含有（x-1）的因式，如x3-x2-（x2-1）=0，从而有（x-1）（x2-x-1）=0．因为x-1≠0，所以x2-x-1=0，解得x=1±52．因为x>0，所以x=5+12．故BDAB=x1=5+12．

显然，要正确解出方程，除了适当的策略与方法外，更需要毅力与坚守，否则会功亏一篑．这大概就是“守得云开见月明”吧．但方程系数和为0必有一根为1、凑项法等知识与方法超出初中生的认知范围，这显然不是命题者的意图．

2．2 山重水复疑无路，柳暗花明又一村

“方法一”所得的方程是一元三次方程，解法為初中学生力所难及．若改变参数，情况如何呢？

方法二 设DG=BH=x．由折叠知：BG=DH=1，所以BD=BH+DH=1+x．一方面，由△BGF∽△BDC有GFDC=BGBD，即GF1=11+x，所以FG=11+x；另一方面，由△FGH∽△BGF有FGBG=HGFG，即GF2=HG·BG，所以1（1+x）2=（1-x）·1．

方程整理得x3+x2-x=0．由于x≠0，原方程转化为一元二次方程x2+x-1=0，解得x=-1±52．因为x>0，所以x=5-12，此时BD=1+x=5+12．故BDAB=5+12．

如果说“方法一”是“山重水复疑无路”，那么“方法二”的方程容易转化为熟悉的一元二次方程，达到了“柳暗花明又一村”的效果．但需要两次三角形相似得到方程，而且所列方程仍为三次方程，还是有超标之嫌．

2.3 问渠哪得清如许，为有源头活水来

俗话说，无“源”则无“流”，“源”正方能“流”清．数学解题同样需要追本溯源，只有这样才能让问题解决从或然走向必然、数学思维从已来走向未来．这里的“源”就是数学的本质，“流”就是解决问题的技能、方法与策略．那么，该问题的数学本质是什么呢？注意到试题的核心条件是“翻折”和“GF∥CD”．“翻折”的本质是轴对称，可得FD平分∠BDC，结合GF∥CD得到GF=DG．这里的“角平分线+平行=等腰三角形”是常见的基本图形，抓住这个数学本质，问题迎刃而解．

方法三 设BD=x，则HG=2-x，DG=x-1．由GF∥CD及FD平分∠BDC可得∠GDF=∠GFD，故GF=DG=x-1．易证△FGH∽△BGF，所以FGBG=HGFG，即x-11=2-xx-1，整理得x2-x-1=0（以下同方法一）．

“方法一”和“方法三”都是将BD设为参数，但“方法三”抓住了问题本质，充分利用“平行+角分线”的基本图形，只要一对相似三角形，还避免了三次方程，属于初中学生应该掌握的基本方法．由此可见：方法的难易并不取决于参数的选择，而在于是否抓住了数学的本质．这正应验了南宋诗人、哲学家朱熹所言：问渠哪得清如许，为有源头活水来．这里的基本图形就是源头活水．

2.4 删繁就简三秋树，领异标新二月花

上述方法都运用了直角三角形相似．进一步思考：能否另辟蹊径，让思维更加简洁明快呢？经过探索与尝试，发现还有其他思路．

方法四 设BD=x．由“方法三”有GF=DG=x-1．在Rt△BFG中，sin∠GBF=FGBG，在Rt△BCD中，sin∠CBD=CDBD，所以FGBG=CDBD，即x-11=1x．整理得x2-x-1=0（以下同方法一）．

方法五 设BH=DG=x．则BD=x+1．由“方法三”有GF=DG=x．S△BFG=12BG·FH=12BF·FG，即12×1·FH=12BF·x，所以FH=BF·x①；S△BFD=12BF·CD=12BD·FH，即12BF·1=12（x+1）·FH，所以BF=（x+1）·FH②．将①代入②有：BF=（x+1）·BF·x，所以x（x+1）=1，整理得x2+x-1=0（以下同方法二）．

“方法四”“方法五”分别从锐角三角函数和三角形面积两个角度寻找线段关系．“方法四”所列方程简约明了，并能迅速转化为一元二次方程，让人有痛快淋漓之感．“方法五”从三角形的面积角度出发，分别在两个三角形中，用不同方式表示同一个三角形面积从而得到两个等式．看似未知量较多，但通过等量代换、代数约简，最后只剩下一个未知量．其独特的构思、新颖的形式给人带来心理的愉悦，正所谓“删繁就简三秋树，领异标新二月花”．当然，这些方法的获得并非一蹴而就，而是经历多次尝试后，“吹尽狂沙”“洗尽铅华”后的“满满干货”．

2.5 不畏浮云遮望眼，自缘身在最高层

解题的最高层次是从“解数学题目”到“问题研究”．如对问题进行质疑与反思，让问题理解更加透彻；跳出具体问题，基于高观点审视试题，寻找问题的共性特征与一般规律；充分挖掘试题的潜在研究价值，从而达到“不畏浮云遮望眼，自缘身在最高层”的最高境界．

一是对问题的条件与结论进行质疑．条件为何添加“1＜BCAB＜3”的限制？事实上，若BCAB=3，则∠ABD=60°，此时点G，H重合；若BCAB>3，则点G在线段BH上（与点H不重合），GF不可能与CD平行．同样，若BCAB=1，直观发现GF也不能与CD平行．

二是基于高观点研究共性特征与一般规律．如将条件弱化，将“矩形ABCD”改为“ABCD”后结论如何呢？此时原题变为：

如图2，BD是ABCD（∠ABC＜90°）的对角线，点E，F

分别在边AD，BC上，把△ABE和△CDF分别沿直线BE，DF折叠，使点A，C分别落在对角线BD上的点G，H处，连结FG．若FG∥CD，能否求BDAB的值呢？

同样，不失一般性，令AB=CD=1，设BD=x．由折叠知：BG=AB=1，则DG=BD-BG=x-1．由GF∥CD及FD平分∠BDC可得∠GDF=∠GFD，故GF=DG=x-1．易证△BGF∽△BDC，所以BGBD=GFDC，即1x=x-11，整理得x2-x-1=0，解得x=1±52．因为x>0，所以x=5+12，即BD=5+12，故BDAB=5+12．这说明，试题第（3）题中的四边形ABCD只要是平行四边形即可，不需要“矩形”的强条件．

三是充分挖掘试题的潜在价值．如再特殊化，将“ABCD”改为“菱形ABCD”．由于菱形具有平行四边形的一切性质，所以BDAB的值仍为5+12．此外，还有何新发现呢？

如图3，BD是菱形ABCD（∠ABC＜90°）的对角线，点E，F分别在边AD，BC上，把△ABE和△CDF分别沿直線BE，DF折叠，使点A，C分别落在对角线BD上的点G，H处，连结FG．若FG∥CD，求∠ABC的大小．

为了更清楚地说明问题，将△BDC从原图中分离出来．如图4，连结CH．若AB=1，则BD=5+12，所以BH=BD-DH=5+12-1=5-12，在△BHC与△BCD中，BHBC=5-121=5-12，BCBD=15+12=5-12，所以BHBC=BCBD．又因为∠B为公共角，所以△BHC∽△BCD．所以∠BCH=∠D=∠B．设∠BCH=∠D=α，则∠DCH=∠DHC=2α，所以∠BCD=3α．在△BCD中，α+3α+α=180°，所以α=36°．所以∠ABC=2α=72°．

把“ABCD”改为“菱形ABCD”后，满足GF∥CD的图形出现了顶角分别为108°和36°的两种等腰三角形，即“黄金三角形”．该图形的美妙之处在于：延长FH必经过点A，延长EG必经过点C，连结并延长CH与AB相交于点M，连结并延长AG与CD相交于点N（如图5（1）所示），将△BHM，△DEG剪下，分别拼到△PFC与△QCN位置（如图5（2）所示）可得到“五角星”．显然，变化后的试题比原题具有更浓的数学味，还具有让人陶醉的美学价值．至此，试题在原题基础上有了跳跃式的发展，发挥了应有的学科育人价值．

3 数学解题的价值探析

解题的目的之一是“建构以概念为基石，以思想方法为纽带，以揭示对象蕴涵的不变性、规律性为中心，探索组成对象的诸要素之间内在的、必然的联系，由此帮助学生积累经验、拓展思维和学会学习”［2］．从上述思路探索的心路历程发现，问题的解决经历了方向逐渐明朗、思路逐步清晰、方法渐次优化的过程．在这个过程中，解题者除了内化数学知识、发展思维能力、积累活动经验外，还实现了“得数学之法、明数学之理、悟数学之道、激数学之趣”的价值．

3.1 在解题中得数学之法

“数学之法”即数学的策略与方法．解题关键在于“得法”，“得法”则心明．如本题中的条件、结论如何思考？一是抓住“翻折图形的轴对称性”本质，得到对应线段相等、对应角相等、对应点的连線被对称轴垂直平分．二是将“线段平行”与“角平分线”结合得到等腰三角形．三是将“求两线段的比值”转化为寻找线段之间的数量关系，由于直接求比值困难，故运用设未知数、列方程的间接方法．这里的“不失一般性，令AB为1”不影响结果．四是初中几何中的线段关系来源主要有勾股定理、三角形相似、锐角三角函数、三角形的面积表示等．

“方法一”与“方法二”都用了两次三角形相似，且所列方程均为三次方程，不仅过程复杂，而且明显超出初中生的认知能力，这是学生得分之低的原因之一．而“方法三”到“方法五”不仅容易理解，而且简明、快捷，关键是抓住了“线段平行+角平分线=等腰三角形”这个基本图形．因此，解题是否成功、方法是否简捷取决于是否“得法”．另外，数学活动经验也是解题成功的关键．问题解决时要激活已有的策略与方法经验，问题解决后要反思与归纳，积累新的策略与方法经验．从更高层次上说，数学学习要从“解数学题”到“数学研究”，掌握数学研究的一般方法，如研究试题的前世、今生与未来：试题有什么、要得到什么、如何分析、问题从哪里来、往哪里去．

3.2 在解题中明数学之理

“数学之理”即数学的规律与原理．数学是讲理的学科．数学学习不仅要知其然，还要知其所以然，更要知其何以所以然，数学解题的一个重要功能就是明数学之理．如本题除了几何直观与代数运算之外，还需要写出必要的推理过程，每一步都要有依据．以“方法三”为例．为什么当BD=x时，HG=2-x？是因为由翻折得BG=AB=1，DH=CD．而四边形ABCD为矩形，所以CD=AB=1=DH．所以HG=BG+DH-BD=1+1-x=2-x．这些看似简单的过程，都必须基于数学概念与定理的逻辑推理．经历这样的过程，不仅能够得出正确结论，内化数学知识，更重要的是明晰数学原理，这是数学解题的价值之一．

3.3 在解题中悟数学之道

“数学之道”即数学的思想与本质，包括数学的“通性通法”与内在联系．“数学之法”是外显的，“数学之道”是内隐的，数学解题要以外显的“法”悟内隐的“道”，“当诸多解题方法纷至沓来之时，一定要梳理、反思、归纳其背后的共性与共融”［1］．一方面解决问题要抓住数学本质，另一方面要在解题中感悟数学本质．以该题方法为例．几种方法分别运用了“直角三角形相似”“锐角三角函数”和“面积法”，事实上，这三种方法是相通的：锐角三角函数源于直角三角形边的比，本质上就是直角三角形相似，凡可用直角三角形相似解决的问题一般都可用锐角三角函数解决；初中要得到三角形面积一般需要有高，同一三角形面积的几种不同表示方式得到的“线段积相等”也都可以通过直角三角形相似得到．由此可见，三种方法在本质上具有一致性．由这种本质一致性可得到一系列解题策略与方法．“数学的发展就是在一步步提高通性通法的层次，拓展通性通法的适用范围和领域，直至发明新的通法，因此数学教学不要片面追求‘特技特法”［3］而要引导学生掌握“通性通法”，把握数学的内在联系，真正达到“入宝山而不空返”的效果．

3.4 在解题中激数学之趣

什么是学科育人？一方面，弘扬主旋律、传播正能量毫无疑问属于学科育人．另一方面，营造出意蕴悠然的磁场，散发出引人入胜的气息，令孩子们流连忘返、兴趣盎然、欲罢不能，此乃数学教师的责任担当．《义务教育数学课程标准（2022年版）》提出了要让学生“对数学具有好奇心和求知欲，了解数学的价值，欣赏数学美，提高学习数学的兴趣”［4］的数学教学目标．“数学之趣”即让学生感受“数学好玩”，从而激发数学探究兴趣．如引导学生通过探究与思考找到问题解决的思路，发现独特、简捷的方法，哪怕这个过程是艰难的、曲折的，但学生从中享受到成功的快乐，获得了愉悦的心理体验，从而对数学产生更加浓厚的兴趣，形成了刻苦钻研的意志品质．这也是学科育人的重要方面．

本题呈现的五种方法依次从两对三角形相似到一对三角形相似，从“三角形相似法”到“锐角三角函数法”再到“三角形面积法”得到线段间的数量关系，思路与方法不断优化；所列方程从“难解”的一元三次方程到容易转化为一元二次方程的三次方程，再到直接列出一元二次方程，让解题者体验到数学解题的过程也是不断追求简约美的过程．同时还发现，“直角三角形相似”“锐角三角函数”和“面积法”等方法在本质上是一致的，让人们感受到数学内在的统一美．“方法五”中的“面积法”看上去过程比较复杂，但结论一眼洞穿．将“平行四边形”改为菱形后得到美丽的黄金三角形，从而通过剪拼还能得到漂亮的“五角星”，让人们领略到了数学结构的和谐美．通过对问题进行质疑与反思，发现原结论在条件弱化后仍成立，运用了从特殊到一般与变中不变的思想，体现了数学思想的本质美……这些数学的美让解题者获得心理上的愉悦感，从而反过来激发解题者对数学探究的兴趣，这正是学科育人的具体体现．

4 结束语

解题是数学教与学的一种重要手段．得乎其上，取乎其中．数学解题的“得法”“明理”“悟道”“激趣”四者中，“法”其下，“趣”其上．巩固数学知识、掌握解题方法是数学解题的基本功能．但数学解题重在明理、贵在悟道，只有理解其中的数学原理，感悟问题的数学本质，才能真正发挥数学解题的应有作用．更为重要的是，如果能像玩游戏一样玩解题，并体验其中的乐趣而乐此不疲，那就达到了数学解题的最高境界．

参考文献

［1］郑瑄，沈吉儿．也谈“好的例题教学是照亮学生解题的灯塔”［J］．数学通报，2020，59（08）：40-45．

［2］王红权．思维教学：发挥数学解题教学的过程价值［J］．中学教研（数学），2023（07）：18-22．

［3］陆正海．从教到考 再谈通性通法的教学［J］．数学通报，2013，52（04）：49-56．

［4］中华人民共和国教育部．义务教育数学课程标准：2022年版［M］．北京：北京师范大学出版社，2022：11．

作者简介 裘秀琴（1981—）女，浙江宁波人，中小学高级教师；主要从事中学数学教学、解题与命题研究．