一道2022年高中数学联赛题的深入探究

摘 要：文章以一道2022年新疆赛区高中数学联赛题为例，阐述对它的解法探究和拓展推广，以期提升典型例题的效果和效益.

关键词：数学联赛题；解法探究；拓展推广；命题背景；高考溯源

中图分类号：G632   文献标识码：A   文章编号：1008-0333（2024）01-0063-04

收稿日期：2023-10-05

作者简介：王东海（1974.12-），男，从事高中数学教学研究.

在竞赛解题教学活动中，教师不应局限于对题目的具体解答和低水平重复训练，而应引导学生对问题进行深层次的探究及引申，充分挖掘题目的内涵和外延，使学生能够用更高的观点去看待问题.

1 试题呈现

题目 （2022年新疆赛区高中数学联赛10题）如图1，已知△ABC内接于抛物线E：x2=y，且边AB，AC所在的直线分别与抛物线M：y2=4x相切，F为抛物线M的焦点.

求证：边BC所在直线与抛物线M相切.

4 结束语

这道联赛题中，△ABC外接于抛物线x2=y，又内切于y2=4x，我们把这样的图形结构称为彭赛列闭合.彭赛列闭合定理是1822年法国数学家彭赛列在其出版的著作中给出的，并且给出了严谨的证明.他认为，平面上给定两条圆锥曲线，若存在一封闭多边形外切于其中一條圆锥曲线且内接于另一条圆锥曲线，则此封闭多边形内接的圆锥曲线上每一个点都是满足这样（切、内外接）性质的封闭多边形的顶点，且所有满足此性质的封闭多边形的边数相同.彭赛列闭合定理展示了基于圆锥曲线关系上的一种“群结构”关系——“彭赛列结构”，表示为：有一个满足一种结构的关系存在，则所有满足这种结构的关系都存在.如果从形象化的角度来理解，彭赛列闭合相当于一只跳蚤从外圆锥曲线某点出发，每次沿着向内圆锥曲线作出的一条切线跳到外圆锥曲线上的一个新起点，经过N次跳跃后回到了起点，形成了路径闭合，且跳蚤的路径是否闭合和它的起始位置无关.

另外，本道联赛题考查的内接于抛物线且外切于另一条抛物线的三角形问题，以及拓展中探讨的圆锥曲线的内接三角形的内切圆问题，都是属于“彭赛列闭合定理”的特殊情况.考试中如果提前了解了彭赛列闭合定理，则能为解题指明方向.

参考文献：

［1］ 林琳琳.变中不变 美在其中：以“圆锥曲线中动圆过定点”问题策略探析［J］.数理化解题研究，2022（22）：39-41.

［2］ G·波利亚.怎样解题：数学思维的新方法［M］.徐泓，减承天，译.上海：科技教育出版社，2011.

［责任编辑：李 璟］