数学分析视角下的高考数学试题解法探究

广东省佛山市高明区教师发展中心(528500) 张文玲

1 问题的提出与背景

《普通高中数学课程标准(2017 年版2020 年修订)》指出数学教师要努力提升数学专业素养,要能够理解与高中数学关系密切的高等数学的内容,能够从更高的观点理解高中数学知识的本质.同时,我国普通高中教育的任务是促进学生全面而有个性的发展,为学生适应社会生活、高等教育和职业发展作准备,为学生的终身发展奠定基础[1].由此可见,将高等数学的知识、观点和思维方法有机地和高中的初等数学相结合是必然的趋势.

《数学分析》是大学数学专业一门重要的基础课程,是数学系学生后续学习数学,进行理论研究,从事数学应用和数学教学的理论基础.数学分析中的一些重要结论,如果应用到高考试题当中,也能让高中教师站在更高的站位上来审视、理解和认识高中数学知识的思想和方法,从而提高自身的教育教学水平,促进学生核心素养的全面提升.

而高考作为一种重要的选拔人才的测量评价形式,其主要目的在于衡量考生是否具有接受高等教育的学习能力和发展潜力,高考试题值得每一位高中数学教师反复地去研究.本文将以《数学分析》中的七个重要定理或结论为例,结合八个高考试题,尝试探究高等数学视角下高考试题的解决,为教师和学生解题提供理论指导,期望能够增加其对于数学本质的理解.

2 数学分析视角下的高考试题

2.1 带有拉格朗日型余项的麦克劳林公式[2]若函数f(x)在x=0 处存在直至n阶导数,则

综上,c ＜a ＜b,故选C.

评析以泰勒公式为背景的试题在高考中并不少见,大多是含有超越函数y=ex、y=lnx或者三角函数y=sinx、y=cosx等.而在人民教育出版社2019 版普通高中教科书数学必修第一册第256 页第26 题已经提到英国数学家泰勒发现了如下公式:+···,其中n!=1×2×3×4×···×n.并用泰勒公式估算出cos 0.3≈0.9553375.受此启发,可以直接利用带有拉格朗日型余项的麦克劳林公式来估计出e0.1和ln 0.9 的值,并利用放缩法来比较a,b,c的大小.

2.2 极值充分条件

定理1(极值的第二充分条件[2])设f(x)在x0的某邻域U(x0;δ)內一阶可导,在x=x0处二阶可导,且f′(x0)=0,f′′(x0)=0.

(1)若f′′(x0)＜0,则f在x0取得极大值.

(2)若f′′(x0)＞0,则f在x0取得极小值.

定理2(极值的第三充分条件[2]) 设f(x) 在x0的某邻域内存在直到n-1 阶导函数,在x0处n阶可导,且f(k)(x0)=0(k=1,2,···,n-1),f(n)(x0)0,则

(1)当n为偶数时,f在x0处取得极值,且当f(n)(x0)＜0 时取极大值,f(n)(x0)＞0 时取极小值.

(2)当n为奇数时,f在x0处不取极值.

例2(2023 年新高考全国II 卷第22 题) (2) 已知函数f(x)=cosax-ln(1-x2),若x=0 是f(x)的极大值点,求a的取值范围.

例3(2021 年新高考全国I 卷理科笫10 题)设a0,若x=a为函数f(x)=a(x-a)2(x-b)的极大值点,则( ).

A.a ＜bB.a ＞bC.ab ＜a2D.ab ＞a2

解求导可得f′(x)=a(x-a)(3x-2b-a),f′′(x)=2a(3x-2a-b),则f′(a)=0,f′′(a)=2a(a-b).若f′′(a)=2a(a-b)＞0,由极值的第二充分条件可知:f(x) 在x=a处取得极小值,不符合题意,舍去;若f′′(a)=2a(a-b)＜0,由极值的第二充分条件可知:f(x)在x=a处取得极大值,符合题意,此时a2＜ab;若f′′(a)=2a(a-b)=0,此时a=b,f(x)=a(x-a)3为单调函数,不存在极值,不符合题意,舍去.

综上,a2＜ab,故选D.

评析利用极值的第二(三)充分条件可先得到满足条件的部分参数范围,再代入题目所给条件检验必要性,能够极有效地减少题目的计算量.

2.3 拉格朗日中值定理[2]

定理3若函数f满足如下条件:

(1)f在闭区间[a,b]上连续;

(2)若f(x)+sinx ＜0 恒成立,求a的取值范围.

评析本题是函数与不等式的有机融合,常规解法是对参数a进行分类讨论,对函数y=f(x)+sinx求导,也可利用sinx ＜x对不等式进行适当的放缩.但是利用微分中值定理能够对目标不等式进行适当的拆分,找准要研究的函数,思路清晰、计算量小,容易理解.

2.4 琴生(Jensen)不等式[2]

例5(2018 年高考全国I 卷理科第16 题) 已知函数f(x)=2 sinx+sin 2x,则f(x)的最小值为____.

解由于y=f(x) 为奇函数且其周期T=2π,故其最值一定在[0,π]上取得.令g(x)=sinx,x ∈[0,π],则g′(x)=-cosx,g′′(x)=sinx≥0,故g(x)为[0,π]上的下凸函数,由琴生(Jensen)不等式可得

京津冀地区实施的水土流失治理工程主要为京津风沙源治理工程水利水保项目，该项目涉及39个县（区），截至2013年年初完成投资23.19亿元，小流域综合治理7 578km2，水利配套工程40706处；同时，区内实施的水土流失治理工程还有坡耕地水土流失综合整治工程、太行山国家水土保持重点建设工程、21世纪首都水资源可持续利用规划水土保持项目等。累计治理水土流失面积4万余km2。

评析琴生不等式实质上是利用函数的凹凸性推导出的一般形式的不等式,本题利用g(x)=sinx为下凸函数,结合延森不等式,巧妙地消去未知数x,顺利求出y=f(x)在给定区间上的最小值.

2.5 平面曲线的切线与法线[4]

设平面曲线由方程F(x,y)=0 给出,它在点P0(x0,y0)的某领域上满足隐函数定理条件,于是在点P0的切线与法线方程分则为Fx(x0,y0)(x-x0)+Fy(x0,y0)(y-y0)=0,Fy(x0,y0)(x-x0)-Fx(x0,y0)(y-y0)=0.

例6(2022 年新高考全国甲卷文科第20 题) 已知函数f(x)=x3-x,g(x)=x2+a,曲线y=f(x) 在点(x1,f(x1))处的切线也是曲线y=g(x)的切线.

(1)若x1=-1,求a;

(2)求a的取值范围.

解(1) 略;(2) 设F(x,y)=x3-x-y,G(x,y)=x2+a-y,于是Fx=3x2-1,Fy=-1,Gx=2x,Gy=-1在全平面连续.记y1=f(x1),设切线在曲线y=g(x)处的切点为(x2,y2),则切线的斜率为

评析高中阶段接触的函数大多是自变量的某个算式,也就是显函数,而数学分析中介绍了隐函数,包括其定义、存在性条件的分析、隐函数定理和隐函数求导等.本题尝试从F(x,y)=0 和G(x,y)=0 为隐函数来考虑问题,直接利用平面曲线的切线方程来得到关于a,x1,x2的两个方程,最后转化为a关于x1的函数进行求解.

2.6.拉格朗日乘数法[4]

欲求函数z=f(x,y)的极值,其中(x,y)受约束条件C:ϕ(x,y)=0 的限制,可引入辅助变量λ和辅助函数L(x,y,λ)=f(x,y)+λϕ(x,y),对L求偏导,并令它们都等于0.

解此方程组得到点P0(x0,y0),则点P0(x0,y0)为f(x,y)在条件C下的可能极值点,这种把条件极值问题转化为求辅助函数的无条件极值问题的方法称为拉格朗日乘数法.

例7(2022 年新高考II 卷第12 题)若x,y满足x2+y2-xy=1,则( ).

A.x+y≤1 B.x+y≥-2

C.x2+y2≤2 D.x2+y2≥1

评析本题属于附有约束条件(x2+y2-xy=1)的极值问题,也称为条件极值问题.高中阶段遇到此类问题,一般是结合不等式的相关性质或用消元法化为无条件极值问题求解.但是利用拉格朗日乘数法能够有效地不直接依赖消元而求解条件极值问题,大大地降低了思维的难度.

3 总结语

高考数学试卷命题设计充分体现数学学科特点,注重数学的通用性、严谨性及应用性;注重解题思路的多元性和解题方法的灵活性[5].中学一线教师了解一些高等数学的知识和方法,有助于其登高望远,以更高的观点去看待高考题目,找到更灵活的解题方法.学生了解一些高等数学的相关知识,能在解题的过程中快速找到题目的切入点,再利用高中数学的知识和方法完善自己的解答过程,缩短思考时间,提高解题效率.