核心素养视角下高考函数试题的统计与分析——以2018-2020 年全国I 卷和2021-2023 年新高考I 卷为例

湖南省株洲市湖南工业大学(412007) 张茜茜 王建云 冯梓涵

1 问题提出

《普通高中数学课程标准(2017 年版2020 年修订)》指出数学学科核心素养是数学课程目标的集中体现,是具有数学基本特征的思维品质、关键能力以及情感、态度与价值观的综合体现,是在数学学习和应用的过程中逐步形成和发展的[1].如何处理好数学学科核心素养与知识技能之间的关系,完成高中阶段数学课程以学生发展为本、落实立德树人的根本任务,培育学生的科学精神和创新精神是教育工作者普遍关注的问题.函数板块作为贯穿高中数学必修课程、选修课程的重要组成部分[2],是高考的重要命题对象,也是大学学习高等数学、线性代数、常微分方程等课程的知识基础.通过对高考试卷中函数板块试题的深入探究,采用定性与定量相结合的方式,依据函数对应的知识和技能要求以及其在高考试卷中的出题情况,分析函数板块对数学核心素养的考察情况、试题难度以及区分度三者之间的关系,可以启发教材中函数相关内容的设计、为函数板块的教学与复习提供新方向、为高考命题者命制出更具选拔效果和高考特点的题目提供新思路.

2 研究方法

2.1 研究对象的确定

2021 年教育部考试中心开始使用新高考卷,所以新高考卷对于当前高考命题趋势的研究极具价值.而新高考I 卷使用地区广于新高考II 卷[3],所以,选取2021-2023 年的新高考I 卷作为2021-2023 年高考试卷的代表.其次,由于使用全国I 卷的省份大多位于东部地区,教育资源较为丰富,竞争也相对激烈,所以试卷选拔性质相对较强,故选用2018-2020 年全国I 卷的理科卷和文科卷作为2018-2020 年高考试卷的代表,具体如表1 所示.

表1 2018-2020 全国I 卷与2021-2023 新高考I 卷函数板块试题

2.2 研究方法的确定

为探究六大核心素养考察力度和函数板块相关知识技能考察强度之间的关系,明确近年来高考在函数板块的命题趋势、高考选才对学生不同数学核心素养的要求层次,本文采用定性与定量相结合的方式,对函数板块试题难度、区分度、数学核心素养考察水平三方面分别建模与分析,并进一步挖掘这三者之间的潜在联系,模型架构如图1 所示.

图1 模型架构

在试题难度方面,国内外众多学者进行了大量研究,其中鲍建生从探究、背景、运算、推理和知识含量五个维度来衡量试题难度具有很强的借鉴价值.虽然武小鹏等人在此基础上设计的改进模型包含了探究、背景、运算、推理、有无参数、认知水平、思维方向这七个因素,对试题分析更加具体化,但更加适用于综合类试题的分析.由于本文主要统计的是函数板块试题的特征,在这类试题中含参是比较普遍的,用鲍建生的五因素模型反而更具有说服力.且一份试卷中各知识点对应试题的分值也反映了该知识点的考察力度.因此,本文以鲍建生综合难度模型[4]为基础,将试题分值因素也考虑进去,来确定试题难度指标.在试题区分度方面,参照试题难度指标模型建立的思路,先计算单个试题难度,再用方差来衡量难度梯度.在核心素养考察水平方面,针对各数学核心素养建模计算其在各年份中的考察水平,以此来比较六大核心素养近年来的考察趋势,及在函数板块该核心素养考察水平和题目难度、区分度间的关系.根据喻平提出的六个数学核心素养三级水平理论框架[5],该模型的建立需满足某组题目分值越高,涉及到的某数学核心素养要求的知识掌握水平越高,该核心素养在对应题组中的考察水平越高这一特点.下面将对计算模型进行具体说明.

(1)试题难度指标计算模型

对一份高考试卷中函数板块涉及的n道题目进行编号.si(i=1,2,···,n)表示第i道题的分值.按照鲍建生的综合难度模型中对“探究”、“背景”、“运算”、“推理”和“知识含量”这五个因素的水平划分(如表2 所示).将每道题的五个难度因素分别按照等级由低到高的自然数进行赋值[4].用dj(j=1,2,···,5)分别依次表示这份试卷函数板块试题在五个因素上的难度值;dij(i=1,2,···,n;j=1,2,3,···,5)表示第i道题目在第j个因素上的难度水平赋值(例如:d23=3 表示这份试卷函数板块第2 题的运算要求是简单符号运算)(i=1,2,···,n;j=1,2,···,5),其中为这份试卷中函数板块试题总分值.

表2 综合难度因素的水平划分

假设一份试卷(下面称其为样卷) 经过上述计算后得到d1,d2,d3,d4,d5的值分别为15,25,28,42,19,如图2 所示,则样卷函数板块的综合难度指标为图2 中阴影部分的面积,其计算表达式为[6](d1d2+d2d3+d3d4+d4d5+d5d1)≈1583.65.本文中取sin 72° ≈0.95.

图2 样卷综合难度雷达图

(2)试题区分度指标计算模型

(3)数学核心素养考察水平计算模型

用f1,f2,f3,f4,f5,f6分别表示函数板块试题的数学抽象、逻辑推理、数学运算、直观想象、数学建模、数据分析这六大数学核心素养的考察水平.通过对调查对象中涉及的试题进行分析,为试题涉及的每个素养对应的知识理解、知识迁移、知识创新这三个水平分别赋值为1、3、7.则数学核心素养考察水平计算公式为(i=1,2,···,n;j=1,2,···,6),fij表示函数板块第i道题对应的第j个数学核心素养的知识考察水平,其值为该素养对应水平的赋值,即为0,1,3,7 中的一个.

3 研究结果

3.1 近六年高考函数试题难度与区分度分析

对2018-2020 年全国I 卷与2021-2023 年新高考I 卷共九套试卷对应的函数试题分别利用难度指标模型和区分度指标模型计算其难度和区分度,然后对数据计算结果进行归一化处理,结果如表3 所示,为便于观察数据特点,采用堆积柱状图呈现(如图3).

图3 近六年高考函数试题难度与区分度

表3 近六年高考函数试题难度与区分度归一化结果

在难度因素方面,首先,2023 年之前的高考函数试题的难度主要体现在探究程度,运算量,推理难度,知识含量四个部分,2023 年新高考I 卷中开始出现了有一定实际背景的函数试题.这可能是未来函数试题命题方向的一个重要信号,即更加注重数学和其他科学以及现实价值的融合.其次,函数试题对探究性要求最高的是2019 年全国I 卷文科卷,最低的是2018 年全国I 卷文科卷.其他年份对于探究能力的要求相差不大,因为2019 年相较其它年份而言,函数试题具有一定的非结构化特征.例如,2019 年全国I 卷文科卷第20 题第(2)问求参数范围,相比于其他年份证明某个确定结论,就更具有开放性和思想性.再次,函数试题对运算和推理的要求在多数年份都较高,在2022 年和2023 年新高考I 卷上表现得尤为明显,这说明函数试题在学生运算和推理能力方面具有很强的测试效果.而在知识含量上,每年考察情况各有差异,说明高考不是仅仅注重知识量的积累,而是更加注重综合考察和对学生的综合素养的培养.最后,对比试题综合难度和区分度,可以发现并非试题综合难度越大,区分度就越高.

3.2 近六年高考函数试题核心素养考察水平分析

利用2.5 节中的模型对2018-2020 全国I 卷与2021-2023新高考I 卷在六大核心素养方面的考察水平进行计算,并采用堆积条形图呈现(如图4).

图4 近六年高考函数试题六大核心素养考察水平

从六大数学核心素养整体考察水平来看,自2020 年开始,高考函数试题对数学核心素养的整体考察水平有明显的逐年上升趋势.从单个数学核心素养考察水平来看,高考函数试题对数学核心素养的考察集中体现在对学生逻辑推理、数学运算和直观想象三种素养的考察上,并且均有考察力度加大的趋势.在对学生数学抽象和数学建模素养的考察方面要求相对较低,但这并不意味着函数试题无法考察学生这两方面的素养,因为2023 年的第22 题第(2)问考察的知识点比较多,其中也不乏对函数相关知识的考察,这道试题的综合性比较强,对学生数学抽象和数学建模素养的要求也能够很好地体现出来,当然,这也需要考生将试题前半部分要求的逻辑推理内容完成后,实现抽象数学问题的具体化,才能进行最后函数模型的构建和求最值的过程.而在数据分析素养的考察方面,函数试题体现的较少,主要体现在选择题中函数值大小的比较上.这类试题需要考生首先直观分析数据特征,再结合相应函数图像特点,甚至构造函数来比较大小,需要和其他素养结合考察.此外,高中知识的四大主线分别是函数、几何与代数、统计与概率、数学建模活动与数学探究活动,数据分析主要在统计与概率这一知识板块进行考察,这和知识本身的特点密切相关.

3.3 近六年高考函数试题核心素养考察水平、难度与区分度的比较

在对高考函数试题区分度、难度、六大核心素养考查水平分别分析后,利用SPSS 对这三者进行相关性分析,得到的相关系数矩阵如表4 所示.

表4 综合难度、区分度与数学核心素养考察水平相关系数矩阵

由表4 可知,函数试题难度与逻辑推理、数学建模素养考察水平呈现显著正相关,相关系数分别为0.648,0.667.函数试题区分度和直观想象、数据分析考察水平呈现显著负相关,相关系数分别为-0.611,-0.767.逻辑推理考察水平和数学建模、数据分析考察水平呈现显著正相关,相关系数分别为0.618,0.71.数学运算考察水平和数学建模考察水平呈现显著正相关,相关系数为0.697.其中,逻辑推理、数学运算、直观现象、数学建模常常在函数试题中组合考察,所以他们之间存在两两间的显著相关和对题目进行定性分析时的预期是非常相符的.但是,数据分析考察水平在定性数据定量化阶段实际赋值水平并不高,在函数板块考察力度也不大,所以逻辑推理和数据分析的相关性是由少数题目引起的,在统计学上这类样本数据常被称为异常值,不具备足够说服力.

4 结论与启示

4.1 教材编写应知情合一

根据对试题难度和区分度的统计与分析,可以发现高考对数学文化和数学背景的考察越来越重视.在2023 年新高考I 卷中,对函数板块试题的考察就出现了科学情境.由此引发了情境对数学教学作用的思考: 在不同的教学阶段,情境起到的作用、设置情境的主要目的是不同的;在初学阶段,情境一方面是为吸引学生阅读兴趣,另一方面促进学生对函数概念的理解和建构;在练习阶段,情境主要检验学生对知识的理解,锻炼学生阅读能力,以及初步的数学模型感知力;在复习深化阶段,情境的主要意义在于让学生感知数学知识的实际应用并学习用数学知识解决实际问题,培养学生创造能力和创新意识.因此,情境需要具备一定的探究性,而教材作为教师教学的重要参考,教材函数相关章节的编写中增加一些函数应用性和探究性情境是非常有必要的,让数学知识、数学文化和科学背景形成深度结合,真正实现知情合一,培养学生在情境中挖掘信息的能力,这也是目前数学抽象和数学建模素养考察的重点.

4.2 函数教学需灵活多变

通过3.1 和3.2 节的统计分析,发现采用非结构化试题可以增加函数试题的探究性;而且,高考作为高中数学教学的重要指导,不仅仅是对知识量的考察,也越来越注重综合素养的考察,这对函数教学提出了更高的要求.由此引发以下关于函数教学的思考: 首先,函数概念具有一定抽象性,在函数教学中需要重视学生对函数概念的建构,促进学生数学抽象素养的培养.那么,在引导学生理解对应法则这一抽象概念时,教师的教学切入点则可以尽可能多维化,从集合对应角度,从函数图像角度,从初高中函数概念对比角度,不断深化学生对这个抽象感念的感知.其次,在高考函数试题的考察中,试题呈现方式和需要的解题思路越来越具有探究性和综合性,尤其是在多选题和解答题的考查上.所以,教学过程需要教师重视选择具有足够探究性、应用性的问题,培养学生思维的灵活性.善于采用探究性教学和问题式教学,结合更具有开放性的问题,带动学生挖掘函数的代数性质和几何性质,重视知识的生成过程,帮助学生认识函数知识及其应用的灵活多变性.

4.3 函数复习要融合贯通

通过对高考函数试题的统计分析,还发现高考函数试题对学生逻辑推理、数学运算和直观想象三种素养具有很强的考察作用,对数学抽象和数学建模素养的考查常常会在综合性试题中进行.这就要求教师在引导学生进行函数复习时,既要注重函数知识基础,也要融合贯通.例如,在函数复习过程中,教师可以采用具有层次递进性的系列题目,促进学生对函数相关概念、性质和图形本质的理解,多归纳思想方法,注重学生对函数问题本质和共性的总结.此外,为培养学生的数学运算、逻辑推理、直观想象素养,在复习过程中,教师需要关注学生对于技巧的积累和推理方向灵活性的掌握.最后,当学生对于函数知识体系本身已经有比较好的掌握后,则需要教师多借助综合性问题,帮助学生在多个知识模块之间搭建起知识网络,促进学生在已有图式上建构新图式,因为高考命题逐渐开始进行多模块知识的结合,让学生学会将函数作为工具来解决问题,而不仅仅停留在解决函数问题的层面,比较明显的例如2021 年新高考I 卷第10 题,2023 年新高考I 卷第23 题.

4.4 高考命题当常变常新

高考指引教学方向,教学也为高考命题提供新思路.结合函数知识本身特点,以及前文对近六年高考函数试题难度、区分度和综合素养考察情况的统计和分析,对高考函数试题的命题有以下几点建议: (1)继续增强函数试题情境性和现实性,融入数学文化和数学背景;(2)坚持打破知识壁垒这一命题指导思想,尤其压轴题的考察,可以将几何、函数、代数知识点有机结合,重视对学生数学抽象和数学建模能力的考察,如此来增强教学过程教师对这方面素养的重视;(3)进一步增强试题探究性,深化学生对于数学应用性的理解,增强高考选才和高校人才培养的联结;(4)函数考察重点目前虽然仍在数学运算和逻辑推理素养上,但在命题角度上,高考函数的命题不再仅仅是陈述性知识的记忆和程序性知识的机械操作,而是更加注重思想方法和性质的灵活运用上,未来高考命题延续这一思路对高考更好地服务于选才育才都是很有必要的.