由“量”到“算”，发展量感和推理意识

吕志新　吴晓超　何磊　刘延革

【摘 要】文章依据北京小学数学研究团队研发的“单元教学路径”（第二版本）对“面积”单元进行了研究与实践，按照“单元学习主题及具体概念→单元学习目标→学生学习结果表现→关键问题→学习任务序列→课时学习目标及学习任务”的路径进行了分析和阐述。相比于“单元教学路径”（第一版本），文章以“面积”单元为例，在研究中增加了对“学生学习结果表现”和“持续性反馈”内容的实践，体现了新课标“教—学—评”一致性的理念。

【关键词】核心素养 单元设计 面积度量 教学评估

一、研究背景及问题提出

《义务教育数学课程标准（2022年版）》确立了以发展学生核心素养为导向的课程目标，明确提出要强化“设计体现结构化特征的课程内容”。教师要改变过于注重以课时为单位的教学设计，实施单元整体教学设计，注重知识间的内在关系，以及学习内容与核心素养表现的关联；要设计有逻辑、有进阶的学习任务序列，实现结构化学习，从而逐步发展学生的核心素养。可见，单元整体设计是形成核心素养的有效途径。实施过程中，教师还要对学习进程进行持续性反馈，确保课时目标、单元目标的达成，从而有效促进学生核心素养的发展。

为更好地实施单元整体设计，北京小学数学研究团队基于一维“长度”单元整体设计框架（简称“第一版”），提出了第二版的单元整体设计框架（如图1）：

由图1可以看出，单元整体设计过程是一个逻辑思考的过程。首先，要提炼这个单元的学习主题和具体概念，可以从核心内容的数学本质、思想方法、學习价值等维度来思考，找到了单元学习主题和具体概念，也就找到了单元学习的“魂”；其次，依据单元具体概念和学生先期经验确定单元学习目标，并落实到学生学习结果表现上；最后，为了达成预期学生学习结果表现，还要确定学生需要思考的关键问题，据此设计有逻辑、有进阶的学习任务序列，并根据任务特点和学情划分课时，完成学习任务。

与一维“长度”单元设计框架（第一版）相比，本框架增加了“学生学习结果表现”和“持续性反馈”。“学生学习结果表现”是单元学习目标的具体化，是学生学习某主题相关知识后应达成的学习效果，通过学生可视化的外在表现来评估。说到底是根据“学业要求”关注学生的实际获得，包括知识、技能、思想方法、素养等。“持续性反馈”是教师依据学生学习结果表现有效调控学习过程的策略，是一个动态过程。教师依据评估结果或数据，即时分析、调整单元学习过程，形成持续性的反馈，保证学习目标的达成。这与新课标新增的“学业要求”相契合，就是要关注学生学习结果评估与调控，保障课程内容的实施与学业质量的监控。

基于第二版单元整体设计的开发路径，研究团队设计了“面积”单元的学习任务序列。

（一）走进新课标，寻找学习内容链接的素养表现

关于图形测量的学习，新课标的课程内容部分明确指出“图形测量的重点是确定图形的大小。学生经历统一度量单位的过程，感受统一度量单位的意义，基于度量单位理解图形长度、角度、周长、面积、体积。在推导一些常见图形周长、面积、体积计算方法的过程中，感悟数学度量方法，逐步形成量感和推理意识”。由此可见，图形测量的基本方法是统一度量单位的不断累积，素养表现是量感和推理意识。

（二）走进教材，寻找发展量感的路径

分析各个版本数学教材的相关内容，研究团队发现：“图形的测量”主要包含了从一维到三维度量的学习内容，每个维度的度量都经历了认识“度量属性”、创建“度量单位”、探索“度量方法”、描述“度量值”的过程，其本质都是相应度量单位的累积，具有一致性。因此，“面积”单元要引导学生经历面积度量全过程，即了解面积概念—了解面积单位—了解面积公式—解决问题；体会平面图形面积的度量是统一面积单位的不断累积；根据长方形、正方形面积与图形要素（长、宽或边长）的关系推导出面积计算公式，由“量”到“算”，优化度量的方法。在运用度量单位度量事物的实践体验活动中，拉开公式度量的序幕，在选择合适的度量单位与方法进行灵活度量、解决实际问题的过程中，逐步积累经验，形成量感和推理意识，发展学生核心素养。

基于以上分析，研究团队认为，“面积”单元在图形度量系列学习中占有重要地位，拉开了由“量”到“算”的序幕。因此也确定了本单元的学习主题和具体概念。

1.单元学习主题

学习主题：由“量”到“算”，进一步发展量感和推理意识。

2.单元具体概念

具体概念1：面积是对现实生活中事物二维属性大小的刻画。

具体概念2：度量面积的基本方法是面积单位的累积。

具体概念3：寻找长方形、正方形面积与图形要素之间的关系，得到长方形、正方形的面积公式。

具体概念4：根据实际需要，可以选择合适的单位和方法进行测量。

具体概念5：以上过程发展了学生的量感、推理意识、直观想象和解决问题的能力。

以上单元具体概念是单元学习的“魂”。明确了度量对象、度量方法和素养目标，也明确了度量过程的层次性：一是基于度量单位累积的基本方法；二是根据图形面积与要素间的关系，得到优化的公式计算方法；三是结合实际需要选择合适的度量单位与方法进行灵活度量。在度量过程中，不断积累度量经验，逐步形成量感和推理意识。

二、学生先期学习经验分析

为了了解学生学习本单元内容之前的知识基础、方法经验以及可能遇到的学习困难，学习前，研究团队对北京市某小学60名三年级学生进行了学情调研。

（一）调研设计

本次调研重点关注学生比较面积大小的经验以及对面积单位的认知，设计了以下调研题目。

（1）比一比图2两张纸片的大小，并用自己的方式描述。

①我的比较方法：________。

②我的描述：________。

（2）你认为可以怎么测量课桌桌面的大小？尝试描述课桌桌面的大小。可以写一写、画一画表示出你的思考过程。

（二）调研结果

1.学生缺少用间接方法定量刻画面积的意识

基于已有的生活经验和学习经验，大多数学生可以通过观察和操作直接比较面积的大小，如重叠法、剪拼法等，有2人通过画小方格的方式来间接比较面积的大小。可见，学生比较面积时多采用直接比较的方法，很少学生能够有意识地采用“小面个数”（即数值）描述面积大小或大多少，只知道乙比甲大，缺乏对面的大小进行定量刻画的意识。

2.绝大部分学生缺少对面积单位的认知

调研显示：3%的学生知道可以用面积单位铺满课桌桌面的方法测量桌面面积，并用面积单位的个数进行描述；10%的学生知道测量课桌桌面的长、宽，借助长方形面积公式计算课桌桌面面积。在后续的访谈中得知，这部分学生无法说明为什么“长×宽”能得到桌面面积；87%的学生用周长替代面积。可见，绝大部分学生大脑中没有“面积单位”的认知，缺乏“线量线”“面量面”“体量体”的意识。

基于单元具体概念和学生先期经验，整体把握图形度量系列学习的进阶，我们确定了本单元的学习目标和学生学习结果表现，旨在突出定量刻画图形大小的本质。

三、TUKE学习目标及结果表现

（一）TUKE学习目标

T（迁移）目标：在测量事物不同属性的大小时，能想到选用同属性的统一标准单位进行累积得到测量结果并愿意尝试。

U（理解）目标：结合实例，经历选择面积单位进行测量的过程，理解面积的意义，以及统一面积单位的必要性，经历长方形、正方形面积公式的推导过程，理解长方形、正方形面积和要素之间的关系；初步形成推理意识，感悟定量方法的应用；能说明长度度量和面积度量之间的联系。

K（知能）目标：认识面积单位，建立面积单位表象，会进行简单的单位换算。掌握长方形、正方形的面积公式，会应用长方形、正方形面积公式计算长方形、正方形面积，能选择合适的单位估测一些物体的面积，发展量感。

E（情感）目标：在探究活动中积累经验，感受知识之间的联系，能够灵活解决生活中的实际问题，体会数学的价值。

（二）学生学习结果表现

（1）知道面是有大小的，可以借助一个小面描述面的大小；知道面里包含着小面的个数叫作它的面积。

（2）认识面積单位，能在大脑中建立表象，理解统一面积单位的必要性；知道相邻面积单位之间的进率，能正确进行面积单位的换算。

（3）能够选择合适的面积单位估计生活中物体面的大小，并能实际测量，描述结果。

（4）能说明长方形面积公式中长和宽的含义；知道长方形、正方形的面积公式，并能应用公式解决问题。

（5）能说明长度度量和面积度量之间的联系。

（6）意识到物体有不同的可测量属性，测量物体不同属性大小时，要选择同属性的标准进行测量。

把握知识结构是为了能够类比迁移式学习，有助于学生解决新问题，所以迁移目标是更高层次的目标。

四、学生思考的关键问题

关键问题是学生在达成单元学习目标过程中应该思考的重要问题，能引领学生深度思考，是达成单元学习目标的重要支架。它是由单元具体概念引发得出的。我们基于“面积”单元具体概念，紧紧围绕“发展学生量感和推理意识”的素养目标，提出了本单元学生思考的5个关键问题（如图3）。

关键问题1指向单元具体概念1。让学生理解度量对象，能结合实例理解面积的含义，体会面积是一个面大小的数值刻画。

关键问题2指向单元具体概念2和4。对于怎么测量面积，这里体现两个层次：一是学会用单位量，能用基本方法测量面积；二是自选单位灵活地量，根据实际需要选择合适的单位测量面积，解决真实情景中的真实问题，自然地发展量感和推理意识。

关键问题3指向单元具体概念3。启发学生探究长方形、正方形面积与图形要素间的关系，得到长方形、正方形的面积公式，找到获得长方形、正方形面积的优化方法，发展推理意识。

关键问题4指向单元具体概念4。想办法应用面积测量的有关知识解决实际问题，体会数学的价值，发现面积单位间的进率。

关键问题5指向单元具体概念5。启发学生进行回顾与反思，建立一维与二维度量的联系，感悟度量单位的重要作用，渗透度量一致性，发展量感。

依据5个关键问题的思考和解决，实现单元核心素养目标的逐步形成，即发展学生的量感、推理意识、直观想象和解决问题的能力。

基于以上分析，研究团队设计了如下单元结构及学习任务序列。

1.单元结构说明

本单元共计20个学习任务，6个课时（如图4）。各学习任务均以“度量活动”为主线，体现了度量的全过程。

2.学习任务序列

每个学习任务都有明确的设计意图，构成了一个有逻辑、有进阶的学习任务序列（如图5）。

学习任务1～3，突出度量属性，学生在度量活动中，感受图形的二维属性特点，认识到面有大有小，可以用“小面”个数来刻画，获得“度量值”。学习任务4～9，关注度量单位，学生经历从“非标准”到“标准”，从“多元”到“统一”，以及根据实际需求引进新的度量单位的过程，用度量单位的个数来描述度量属性。学习任务10～17，强调优化度量方法，学生在度量活动中，发现图形面积与图形要素之间的关系，得到公式度量的方法。这个过程也体现了图形的认识与测量的关联，图形的认识是测量的基础，测量是从度量的角度加深对图形的认识。学习任务18～20，启发学生主动回顾反思，认识到一维和二维度量的联系与区别，感悟度量的一致性。这样有逻辑的学习任务序列，进一步发展了学生的量感和推理意识。

五、评估设计及实施

依据学生学习结果表现设计相应的评估任务和评价标准，以此来实现持续性的反馈，保证学业要求的达成。

评估任务既可以在课堂中利用课堂观察、对话交流、学习单等形式进行即时评估，也可以在学习后通过纸笔测试、实践活动、行为观察、访谈等形式进行评估。

评价标准是依据评估任务的达成情况及学生的思维水平制定的，本设计的评估任务评价标准分为三层：A层，学生能够完成评估任务，达到预期学习目标，数学思维得到有效发展；B层，学生基本完成评估任务，但是思维受阻，需要教师或同伴提供一定的帮助；C层，在教师或同伴的帮助下，学生依然难以完成评估任务，未能达到预期学习目标。

本设计为每一个学习结果表现设计了有针对性的评估任务，以下仅以“学生学习结果表现3”为例，阐明评估任务、评价标准的设计。

学生学习结果表现3：“能够选择合适的面积单位估计生活中物体面的大小，并能实际测量，描述结果。”考查学生对“面积单位”的认识，以及用“先估后算”的方法解决问题的能力。

评估任务3和评价标准：结合学生的学习兴趣与实践意义，研究团队设计了“围棋棋盘的盘面有多大”的评估任务，学生在“学习活动记录单”（如图6）的引导下，借助学具进行实践操作，并做出相应记录。为实现对学生学习行为表现的有效评估，研究团队制定了评价标准。教师依据评价标准分析学生的作品，观察学生的操作过程，并进行有针对性的访谈，最终形成对学生学习结果的评估。

在本单元学习任务设计与实施的过程中，研究团队始终关注学生的实际收获，因此设计框架中增加了“学生学习结果表现”“持续性反馈”；在实施环节增加了对应的学习任务评估，适时监控单元教学的实施过程，保障单元学习目标的达成。同时，研究团队还始终关注结构化学习，关注度量的一致性，重视迁移，如增加了复习整理课，沟通了一维和二维度量的联系，帮助学生积累了图形度量的学习经验，为三维度量奠定了基础；关注度量的阶段性，由“量”到“算”，体现了优化。本单元的学习真正起到了承上启下的作用，促进了量感和推理意识的可持续性发展，让学生的核心素养真正落地生根。

【参考文献】

[1]王永春.小学数学单元整体设计的理论建构[J].小学数学教育，2021（7）.

[2]刘延革，冯林.大观念统领下单元学习任务的开发[J].中小学管理，2021（5）.

[3]楊雪，张春莉，刘冠男.教、学、评一致性：贯穿单元整体教学的设计与实施——对《义务教育数学课程标准（2022年版）》的一些思考[J].小学教学研究，2022（25）.

[4]刘延革，冯林.图形与几何领域的内容结构化分析——以“图形的认识与测量”主题为例[J].小学数学教育，2023（Z1）.

[5]刘延革，冯林.整体视角下有关度量内容的研究与实践[J].小学教学（数学版），2022（1）.

注：本文系北京市教育科学“十三五”规划一般课题“运用大观念发展儿童数学关键能力的实践探索”（课题编号：CDDB2020140）、北京市教育科学“十三五”规划一般课题“指向儿童数学核心素养的单元学习任务设计与实践研究”（课题编号：CDDB2020288）的研究成果之一。