提高习题训练实效 提升学生数学素养

江春梅

摘要：谈起数学教学就不得不谈数学练习，它是巩固学生基础知识，提升学生思维能力的必经之路.在具体练习中，教师要紧抓专题练习，通过变式训练、梯度练习、纵横拓展等方式将相同或相似的知识进行反复的练习，以此巩固“双基”，落实数学素养，提高学生数学综合应用能力.

关键词：数学练习；思维能力；数学素养

在教学中，为了帮助学生巩固“双基”，深化思维，教师可以在一定的时间内引导学生对相同或相似的内容进行反复练习，以此通过滚动性的训练让学生获得更深层次的理解，深化学生的数学素养.当然，反复练习并不是将相同的题目反复做，而是借助一些典型性的、梯度的问题让学生的思维逐层深入，以此提升训练的实效性，让学生更好地认识知识，理解知识，提高教学有效性.笔者结合教学实践，例谈开展滚动性的训练注意的几个方面，以期通过有效的训练，提升学生的数学素养.

1 专题训练，夯实重点

高中数学教材知识内容繁多，不同的知识内容有着不同的教学要求.如有的知识要求不高，不需要理解和记忆，只要做到了解即可，这类知识就不需要专题训练；有的知识较为浅显易懂，学生不必专题训练就能理解并掌握；而有的知识比较复杂，关联性较强，学生虽然听得懂，但是难以认清问题的本质，难以形成解决此类问题的方法，那么对于此类问题就有必要借助滚动性练习帮助学生进一步扎实基础、深化理解，从而让学生将知识学懂学透.可见，在教学中，若想开展有意义的教学，教师要把握好教材，深暗教学的重难点，以此通过有针对性和目的性的專题训练帮助学生夯实重点，提高学习品质.

例如，对于“导数在函数中的应用”一课，其教学的重难点之一是引导学生灵活运用导数方法解决相关的问题.为了突破这一重难点，在基础知识教学完成后，教师针对函数单调性问题组织学生进行专题练习，以此借助具体应用深化对该教学重难点的理解，提高学生数学应用能力.

例1 已知f（x）=13x3－（4m－1）x2+（15m2－2m－7）x+2在[WTHZ]R[WTBX]上是增函数，求m的取值范围.

本题是一道研究函数单调性的问题，难度不大.若f（x）在[WTHZ]R[WTBX]上是增函数，则f′（x）=x2－2（4m－1）x+15m2－2m－7≥0对任意的x∈[WTHZ]R[WTBX]恒成立.根据二次函数的性质，若x2－2（4m－1）x+15m2－2m－7≥0恒成立，则Δ=4（4m－1）2－4（15m2－2m－7）≤0，整理得m2－6m+8≤0，解得2≤m≤4，故m的取值范围为［2，4］.

这样从教学重点出发，通过专题练习进一步夯实重点，让学生获得了成功的喜悦，有利于提高学生的解题信心.这样既促进了知识的深化，又激发了学生的学习兴趣.

2 逐层深入，深化理解

在高中教学中，部分教师认为高考题目新、题目难，为了让学生更好地适应高考，教师在教学中喜欢追求一些难题、新题，而这些难题、新题因不适合学生的实际学情而让学生出现了畏难情绪，从而影响了学生的解题信心，可见过难的问题不利于学生的发展.当然，题目也不是越简单越好，过于简单的问题往往难以激发学生探究的热情，同样会让学生产生厌烦心理，影响训练效果.因此，教师在设计练习时，应从学生的实际学情出发，把握好问题的难度，让题目的难度呈渐进式加大，以此顺应学生发展，激发学生潜能，让学生的思维能力螺旋式上升，深化学生的思维.

例2 不等式－6x2－x≤0的解集是[CD#3].

例3 设函数f（x）=2|x－1|+x－1，g（x）=16x2－8x+1，记f（x）≤1的解集为M，g（x）≤4的解集为N.

（1）求M；

（2）[JP4]当x∈M∩N时，证明x2f（x）+x［f（x）］2≤14.

以上是教师在复习不等式的相关内容时设计的几道梯度问题.例2是一道基础题，考查学生的基础知识的掌握情况，涉及的知识点比较单一，问题难度不大.例3是一道综合性的习题，具有一定难度，对学生的思维水平要求较高，通过问题的解决有利于提高学生的分析和解决问题的能力.

这样有梯度、有层次、难易兼顾的问题设计，符合学生的认知规律，有利于推动学生思维能力的发展.在以上教学过程中，对于例2，可以让学生独立完成；对于例3，教师可以鼓励学生进行小组合作，通过沟通交流帮助学生找到解决问题的突破口，让学生享受合作的乐趣，培养学生合作意识，让学生在享受成功喜悦的同时，获得不同层次的成长.

3 变式探究，发散思维

变式训练是提高学生解题能力、发散学生思维的重要手段.通过有效的变式可以巩固学生的基础知识，帮助学生抽象问题的本质属性，有利于学生理解数学的本质，也有利于学生理解问题的通性通法，进而实现知识的融会贯通，提高学生举一反三的能力.

例4 已知等比数列{an}：12，14，18，116，…….求它的前8项和.

例4主要考查的就是等比数列求和公式，学生应用公式可以快速地解决问题.为了提高学生解决等比数列求解问题的熟练度，教师设计了如下变式问题：

变式1 已知等比数列{an}：12，14，18，116，…….若它的前n项和为6364，求n.

变式2 已知等比数列{an}：12，14，18，116，…….求它的第5项到第10项的和.

变式3 已知等比数列{an}：12，14，18，116，…….若数列{bn}满足bn=a2n，求数列{bn}前2n项中所有偶数项的和.

以上变式问题的难度不大，旨通过变式探究深化对等比数列通项公式和求和公式的理解.对于变式1，学生直接利用公式顺利地解决了问题.对于变式2，学生给出了多种解题方案.有的学生先是求出通项公式，即an=12n，然后利用等比数列的求和公式分别求出了前4项和S4和前10项和S10，二者作差即求得了数列第5项到第10项的和；还有的学生在求出通项公式为an=12n后，求得a5=125，然后以a5为首项，利用等比数列求和公式求和.对于以上两种解法，教师给予了充分肯定，并鼓励学生探寻其他的解题方法，以此不断地优化解题过程，探寻最优解题方法.这样，从学生的最近发展区出发，通过有效的变式成功地打开了学生的思路，发展了学生的思维，调动了学生解题的积极性.有了变式2的探究经验，学生在解变式3时首先就想到了用等比数列的偶数项构造新数列，应用公式顺利解决了问题.

这样通过以上变式练习，不仅提高了学生参与学习的积极性，还有效地打破了单一训练的枯燥感，更帮助学生深化了对等比数列相关公式的理解，而且提高了学生举一反三的能力，提升了学生的数学素养.

4 横纵拓展，建构体系

数学知识是相互联系的，有些联系学生一眼能够看得到，而有些联系是需要在日常的练习中不断积累和提炼的.在教学中，教师要认真研读教材，打破单一知识、单一课时的束缚，带领学生站在更高的角度审视问题，理解数学.在开展滚动性训练的过程中，教师要重视相关联知识的横纵联系，引导学生自主建构知识网络，形成知识框架，以此提高学生的综合应用能力.

函数与方程、函数与不等式具有一定的关联性.在学习三角函数相关内容后，可以引导学生将三角函数知识与函数知识对接，从而将新知纳入到原有的认知体系中去，帮助学生建构完善的认知网络.

例5 已知函数f（x）=2asin xcos x+2bcos2x，且f（0）=8，fπ6=12.

（1）求实数a，b的值；

（2）求函数f（x）的最大值及取最大值时的x值.

本题具有一定的综合性，但是难度不大，主要考查学生对倍角公式和降幂公式的掌握情况.利用待定系数法，易得a=43，b=4.将第（1）问的结果代入后得f（x）=83sin xcos x+8cos2x=43sin 2x+4（1+cos 2x）=8sin2x+π6+4，所以f（x）的最大值為12，此时2x+π6=2kπ+π2（k∈[WTHZ]Z[WTBX]），即x=kπ+π6（k∈[WTHZ]Z[WTBX]）时，f（x）的最大值为12.

这样借助具体练习，引导学生将三角函数知识与函数知识相融合，让学生理解二者的关联性，有利于促进学生自主地进行知识网络的建构.对于知识的关联性，若单从“教”的角度让学生理解和记忆，则学生自然会认为知识间的联系是抽象的、空洞的，而借助“练”使知识变得更加具体，有利于学生理解和消化，促进了学生个体认知体系的建构，有助于学生数学应用能力的提升.

总之，有效的练习在教学教学中是必不可少的，它是巩固知识、发展思维、提升学习能力的重要手段.在教学中，教师要认真研究教材、研究教学、研究学生，通过梯度的、层次的、变化的练习来提升学生的数学思维能力，帮助学生自主建构完善的认知体系，以此促进教学质量和学生学习品质的全面提升.