由一道解析几何题引发的一题多解与多题归一

王丽萍

摘要：解析几何是高考数学考查的重点内容，其中定点、定值问题也是高考的常考问题.解决此类问题常用的方法主要有两类.一类是直接从已知条件出发，利用韦达定理求解；还有一类是先猜后证，通过特殊情况确定定点或定值，再用常规方法解决.本文中以一道解析几何题为例，通过一题多解再到多题归一，培养学生的发散思维能力与归纳总结能力，进一步提升学生的数学学科素养.

关键词：定点；定值；韦达定理

近几年高考中经常考查的解析几何的定点、定值问题，大部分学生会觉得入手比较困难，究其原因：（1）解题方向不明确；（2）解题方法不清晰.《普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）》中指出：“教师要加强学习方法的指导，帮助学生养成良好的数学学习习惯，敢于质疑、善于思考，理解概念、把握本质，数形结合、明晰算理，厘清知识的来龙去脉，建立知识之间的关联.教师还可以根据自身教学经验和学生学习的个性特点，引导学生总结出一些具有针对性的学习方式，因材施教.”[1]因此，笔者以一道解析几何题为例，将“解析几何中的定点、定值问题”作为微专题的复习内容，重点研究其解题方法，并进行变式思考，指导学生如何解决这类问题.

5 多题归一

由上述例题笔者认为，有关定点、定值的问题基本上可以从两个方向入手.

（1）从已知条件出发，直接求解

在聯立方程组利用韦达定理求解的时候会遇到如下两种情况：

（ⅰ）“对称的韦达定理”型，即x1，x2的系数相同，x1，x2交换之后结构不变的对称结构.如利用韦达定理处理|x1－x2|，x21+x22，1x1+1x2之类的对称结构.

（ⅱ）“非对称韦达定理”型，即x1，x2的系数不对等，x1与x2交换后结构发生改变的非对称结构.比如x1x2－x1－2x2+2x1x2－2x1－x2+2，my1y2+y1my1y2+y2之类的式子，解决此类问题先要进行消元转化.

无论是上述哪种情况，都可以借助韦达定理来解决.

（2）先猜后证

通过寻找特殊位置或者特殊点先把定点或者定值确定之后，再用常规方法解决，这种方法通常计算简洁，运算步骤较少.

一题多解，是从不同角度求解同一个问题；多题归一，是不同题目采用的做法类似.一题多解能培养学生的发散思维，而多题归一能培养学生的总结与归纳能力.在平时的解析几何复习中，除了要培养学生的运算能力，还要培养学生的思维能力.因为只有多思考才能在解题中少走“弯路”，才能让解析几何的运算“如虎添翼”.

参考文献：

［1］中华人民共和国教育部.

普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）[S].北京：人民教育出版社，2020.