给定度序列的连通图类的k阶Sombor指数

2024-05-13王星雨耿显亚

洛阳师范学院学报 2024年2期

王星雨,耿显亚

(安徽理工大学数学与大数据学院,安徽淮南 232001)

0 引言

G是具有顶点集合V(G)和边集合E(G)的图.令d(u)=dG(u),N(u)=NG(u)〔顶点u∈V(G)的邻域集〕.如果V(G)=(v1,v2,…,vn),di=d(vi),1≤i≤n,则π=(d1,d2,…,dn)被称为G的度序列.通常假设d1≥d2≥…≥dn,定义Γ(π)为度序列π的连通图类.有n个顶点和(n+c-1)个边的连通图被称为c圈图.

近期,Gutman提出了一个几何方法来解释基于度的图不变量[1],通过这种方法,介绍了Sombor指数,定义为:

后期,这种图不变性引起了广泛注意,在一系列研究中确定了它的数学性质.

对原始Sombor指数进行修改,使其变为更一般的Sombor指数[2-10],定义为:

其中α≠0是实数.显然SO0.5(G)=SO(G).

确定Γ(π)的元素和图不变量是很重要的.一些这样的研究已经发表在相关文献上[11-15].这些结果表明,在许多情况下,极值图是BFS型的.

1 定理的证明

定义1[10]G是一个连通图.G被称为BFS图,若V(G)中存在顶点v1v2…vn满足:

(1)d(v1)≥d(v2)≥…≥d(vn)和h(v1)≤d(v2)≤…≤d(vn),h(vi)是vi到v1的距离.

(2) 令v∈N(u)N(w),z∈N(w)N(u)满足h(v)=h(u)+1,h(z)=h(w)+1.如果uw,则vz.

定义2[14]对于一个给定的c圈度序列π=(d1,d2,…,dn),dn=1,n≥3,如果G是一个BFS图满足{v1,v2,v3}构成一个三角形,当c≥1时,则G被称为特殊极图.

定义3[10]给定度序列π=(d1,d2,…,dn),dn=1,G被称为连通图类的k阶精确极图,如果G

定理2任意圈度序列,有:

(1)TM(π)是c=0时的精确极图;

(2)UM(π)是c=1时的精确极图;

(3)BM(π)是c=2时的精确极图.

下面证明定理1、定理2.首先引入一个定义在正实数范围内的对称二元函数f(x,y),称f(x,y)是递增的(或递减的),如果满足

f(x1,x2)+f(y1,y2)≥(≤)f(y1,x2)+f(x1,y2),任意x1≥y1>0,x2≥y2>0,当x1>y1,x2>y2时,上式严格不等.

Wang[15]给出了将连通图和对称二元函数f(x,y)联系在一起的连接函数

定理1和定理2的证明还需要引入两个引理.

引理1[14]任意给定度序列π=(d1,d2,…,dn),dn=1,在连通图类Γ(π)中,存在一个特殊极BFS图G,使得当f(x,y)递增时,Mf(G)是最大的,当f(x,y)递减时,Mf(G)是最小的.

引理2[14]给定c圈度序列π=(d1,d2,…,dn),dn=1.在连通图类Γ(π)中

(1) 若c=0,当f(x,y)递增时,TM(π)有最大Mf(G),当f(x,y)递减时,TM(π)有最小Mf(G);

(2) 若c=1,当f(x,y)递增时,UM(π)有最大Mf(G),当f(x,y)递减时,UM(π)有最小Mf(G);

(3) 若c=2,当f(x,y)递增时,BM(π)有最大Mf(G),当f(x,y)递减时,BM(π)有最小Mf(G);

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证明假设x1>y1,x2>y2,易得