融合深度学习的数学单元教学设计策略——以“圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积”为例

夏林林, 潘 超

(1.铜梁中学校, 重庆 402560,2.重庆第二师范学院 数学与大数据学院, 重庆 400065)

1 研究意义

《普通高中数学课程标准(2017年版2020年修订)》指出:“高中数学教学以发展学生数学学科核心素养为导向,创设合适的情境,启发学生思考,引导学生把握数学内容的本质.”[1]数学学科核心素养具备的创造性、整体性、关联性等特征决定了学生深度学习的结果[2],而学生的深度学习离不开教师的“深度教学设计”.融合深度学习的数学单元教学设计作为连接单元—课时教学设计的纽带,以“广”设计促“深”学习,落实数学核心素养.探索实施深度学习与数学单元教学的融合,对转变教师从表象到本质的教学设计、对引领学生深度学习具有至关重要的直接意义.它不仅促使教师从整体上把握课程结构和教学脉络,更加注重教学内容本质的教学和更深层次数学思想方法的渗透,还能促使学生更加主动地深入思考和学习,增强学习数学的自信,有助于学生系统的思维生成和核心素养的形成.

2 融合深度学习的数学单元教学设计

2.1 融合深度学习的数学单元教学设计本质

融合深度学习的数学单元教学设计本质是教师基于数学学科核心素养,依据学生的学习需求、认知水平,利用深度学习的原理和方法,设计出一种具有启发性、发展性、创造性的教学方案,从而帮助学生更好地理解学习内容,培养学生的深度思考能力,提高学生的学习效果,发展学生的四能.

2.2 融合深度学习的数学单元教学设计特点

国内学者认为单元教学设计主要有教学设计的整体性、教学模式的系统性、教学过程的最优性[3-8].结合众多文献和有关理论,笔者认为融合深度学习的数学单元教学设计体现了以下几个特征.

2.2.1 整体性

融合深度学习进行数学单元教学设计的整体性主要体现在两个方面:(1)教学内容的整体性.教师从“单元”的角度出发,整体上结合数学课程标准、学情、教材知识对教学内容整合和重组优化,用全局的眼光、系统的方法,将教材中零碎的、有关联的知识、方法和思想重组、凝练,形成一个相对完整的、动态的单元教学设计,即“单元—课时”模式.(2)学生活动的整体性.从学生的角度结合不同阶段的认知水平,整体上把握课堂教学活动环节,教师在课堂实施过程中结合多种教学策略和信息技术手段,提高学生对数学知识的整体认识以及搭建知识间的系统框架的能力,使学生在长期学习中完整地、更高层次地获取知识和高阶思维,达到“既见树木,又见森林”.

2.2.2 主动性

教师在融合深度学习时规划数学单元教学目标更加关注学生的认知规律,教学活动鼓励学生主动参与、深度参与,帮助学生梳理知识结构,搭建知识的生长点和框架.故而教师在数学单元教学设计时创设的情境能引导学生提出和分析问题,不断深入地思考,从而在课堂的伊始激发学习兴趣,调动学习探索的主动性,在课堂中让学生自己体会并用自己的思路和方法解决数学问题,从而学会自主学习.

2.2.3 挑战性

融合深度学习的数学单元教学设计的挑战性体现在学生和教师两个方面:(1)对于教师,教材内容的整合、重组,数学知识之间的横向联系,教学方法的灵活选用,教学活动的多样化,教学问题的设置等均带有挑战性.(2)对于学生,面对理性、未知知识,提出问题、解决问题也有难度.

2.2.4 思辨性

部分学者认为深度学习更关注学习者对知识体系的构建[9-10].在融合深度学习的单元教学设计中,教师尽可能地提出启发性、挑战性和批判性较强的问题(追问)或活动,组织学生在独立学习或合作探究学习中进行深入的思考,进而培养学生的思辨性思维.

2.2.5 创造性

融合深度学习的数学单元教学设计要体现创造性,教师在教学设计中需要把握四个重要环节:(1)创设引入现实情境;(2)设计体验探索活动;(3)提出启发性问题;(4)精选层次性例题.所以,在教学中高中数学教师需要利用创造性思维根据不同的教学内容和学情为参考,设计不同的单元教学计划,培养学生的发散性、创造性思维.

2.3 融合深度学习的数学单元教学设计策略

以普通高中教科书数学必修第二册人教A版[11]为参考,基于吕世虎等[5]提出的“单元教学设计的基本操作步骤”为教学模型,融合深度学习.在数学单元教学分析下,教师先对教材中的知识点进行系统的规划,梳理出各单元的主要内容和教学目标,将课时中某些重要的关键环节按照如图1所示的五个步骤进行深度开展,从而设计合理的符合学情的教学计划.并以《圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积》这一课时的关键节点教学片段为案例设计.

图1 融合深度学习的数学单元教学设计五项策略

2.3.1 聚焦教材,深度分析

教材是教师在数学单元教学设计时的第一手资料,是教学立足知识的本源.教师在教学前要深入研读教材,分析各单元中章节划分与先后顺序和主要内容,挖掘教材内容的隐性内涵和思想方法,明确知识点之间的联系,恰当地整理重组教材中的单元内容,然后再设计教学需要突出的重要知识点,明确单元教学目标.最后教师基于各单元的教学内容按照课时安排和课标的要求,结合学生的具体情况制定教学目标,做好教学的引导工作,在统一的标准下开展高质量的数学教学活动.深度解读教材还能为教学中不同知识选择不同的问题情境或教学方法做准备,在课堂上更大程度地吸引学生,提高课堂效率.如:“立体几何初步”共有6个单元(见图2),以“简单几何体的表面积与体积”这一单元为例,结合课标的要求以及具体内容和学情构建学习框架,确定单元教学目标(见表1).而这一单元中蕴含了特殊到一般、空间问题转化为平面问题的转化思想、类比思想、极限思想.在开展具体教学活动时,将这些思想渗透到各个教学环节中,提升学生的逻辑思考,培养学生的直观感知、数学运算、数学抽象等数学核心素养.

表1 “立体几何初步”单元教学目标

图2 单元教学知识框架

2.3.2 直观体验,深度参与

波利亚曾说:“学习任何知识的最佳途径,都是由自己去发现、探究,因为这种理解最深刻,也最容易掌握其中的内在规律、性质和联系.”引导学生在自身直观体验中将学习知识向发展思维过渡,进而培养发现问题、解决问题的能力.在单元教学设计中,教师要关注学生对知识的产生、发展的形成过程,最直接有效的方式就是让学生直观体验参与,这里有3个关键环节可以让学生深度加工和思考.

(1)情境创设,身临其境.

创设情境是一节课教学的起点,也是直接关系着学生能否主动融入课堂的因素.一个好的教学情境不仅可以集中学生的注意力,充分调动学生的学习自主性,还可以激发思维的积极性.当一个好的教学情境与学生的现有认知和生活经历一致时,就能让学生身临其境地体会,并与之发生共情,从而快速地引起学生的关注,在求知欲的促使下主动地参与到课堂教学中来,激发学生对数学学习的乐趣.如“圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积”这节课引入时,教师可以向学生提问:“水是我们的生命之源,如果用我手中的纸杯(圆台)装,你能喝几杯,请问大家每天喝多少升水呢?”通过问题引导学生用数学的眼光观察生活.然后教师向学生追问“如果要知道自己具体的喝水量,就要知道圆台的体积,那需要涉及哪些量呢?”使学生进一步思考圆台的体积如何表示.最后教师让学生类比分析棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积公式中用到了哪些量刻画,引起学生更深层次的思考,帮助学生根据自己已有的知识经验搭建未知知识学习的思路,从而发散学生思维,提升学生的综合素养.

(2)活动体验,深刻感悟.

《普通高中数学课程标准(2017年版2020年修订)》指出:“要让学生参与特定的数学活动,在具体情境中初步认识对象的特征,获得一些体验.”这与陶行知先生提出的“教学合一”完全符合.在“做”中体验数学、感悟数学,帮助学生对知识产生、发展的形成过程更深刻,提高学生提出问题、发现问题和解决问题的能力.可见融合深度学习的单元教学设计注重学生活动体验,能将学生的感性认知上升到理性学习,深化了学习体验,提升了学习效果.如本节课在类比分析了棱柱、棱锥表面积和体积公式中的基本量后,教师可以提出问题:“圆柱、圆锥、圆台能像棱柱、棱锥一样展开成平面吗?如果能,那么圆柱、圆锥、圆台的展开图是什么形状?请大家利用手中的立体图形沿着母线裁剪,你发现了什么?并观察侧面展开图各边对应着立体图形的哪些量?”教师重点引导学生关注圆台的侧面展开图的形状,并从中真切地感受到圆台的侧面展开图形状(扇环)结构与扇形有关,继而学生会发现圆台的侧面面积涉及的量与母线、上下两个圆的半径有关,在这一个环节帮助学生体会空间问题平面化,这也为后面圆台表面积公式的推导降低难度.同时教师通过数学软件动态演示圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图与折叠,增强学生的空间感,培养空间想象力.

(3)团队交流,深入互动.

在单元教学设计中,深度学习需要学生的深度互动.学生是学习的主体,学生参与课堂教学的程度越深、思维投入越多,深度学习的效果就越好.所以在课堂教学中开展学生自主探究或合作交流等加大学生的深度学习,这也能培养学生的团队合作性和竞争性,同时达到育人的效果.教师布置探究性问题:“如何求圆柱、圆锥、圆台、球的表面积?”让学生进行自主思考,能快速地利用母线、底圆半径推算出圆柱、圆锥的表面积公式.但学生在独立推导圆台的表面积公式中会遇到困难,届时教师对学生进行小组划分,小组间合作交流,结合圆台与圆锥的定义关系,将圆台的侧面展开图(扇环)的面积转化为两个扇形的面积之差,此时设出母线、上下两个圆的半径,便可以进一步推算出圆台的表面积公式.这一过程能让学生形成自己对圆柱、圆锥、圆台表面积公式的认识和理解,提高学生分析问题、解决问题和数学运算的能力,同时体会团队的力量.

2.3.3 问题驱动,深度理解

“问题是数学教学的心脏,是启发学生思维的转折点.有了问题,思维才有方向、有动力、有创新.”数学问题蕴含着显性或隐性的数学思想,只有全面地掌握、深刻地理解才能将隐性的数学思想逐步地渗透.有些教师喜欢将教学中的重点(难点)采用问题串的方式驱动学生的思维发散,有些教师喜欢让学生对知识进行自主探究,从浅层知识加工学习走向深度学习进而掌握知识的本质.所以教师围绕单元教学设计问题要有针对性与特定性,有梯度,层层递进.另外,教师设置具有开放性、启发性、挑战性或类比性问题,还能激发学生质疑和批判,从不同角度促进学生的思辨性思维、迁移思维的发展.如本节课对圆柱、圆锥、圆台的表面积公式探究结束后,教师可以设置问题“圆柱、圆锥、圆台的表面积公式之间有什么关系?这种关系怎么产生的?与它们的结构特征有什么关系?是什么导致了这样的结果?”随后教师从运动变化的观点来研究它们的关系(见图3).结合圆锥的体积公式得到圆台的体积公式,教师又提出“类比圆柱、圆锥、圆台的表面积公式与结构特征的关系,猜想圆柱、圆锥、圆台的体积公式之间有什么关系?”并追问“结合它们的体积公式,猜想柱体、锥体、台体的体积公式及它们体积公式之间的关系?”(见图4)

图3 圆柱、圆锥、圆台表面积、体积公式与结构特征的关系

图4 柱体、锥体、台体体积公式与结构特征的关系

这些问题能推动学生更深层次的思考,探寻问题的本质,也能培养学生的转化思想与创造思维,符合深度学习的特征.而在讲解球的表面积和体积时,教师还可以设置这样一个问题:“借助将立体图形平面化的思路,得到圆柱、圆锥、圆台的表面积和体积,那么球的表面积和体积能否也通过展开成一个平面得到呢?”可以成功地引起学生的认知冲突,并不是所有的立体图形的侧面积都能展开成平面来解决,这时学生会寻找其他方法来解决球的表面积和体积.教材中球体积公式的推导蕴含了极限思想,教师可利用数学软件动态演示球被切割成“小锥体”的过程,渗透微积分思想.所以在问题的驱动下不仅能激发学生主动思考和深度建构解决问题的思路,还能培养质疑精神和严谨的迁移思维.

2.3.4 教学有法,深度优化

“教学有法,教无定法”.融合深度学习的单元教学设计强调了学生学习的整体性、主动性、创造性,而学生的学习主动性不只是教师在单元教学和课时设计时的精心全面的分析,还要思考合适的教学方法,合理地优化资源契合教学内容.教师在单元教学设计时,结合学生认知和最近发展区,根据不同课型、课时灵活选择教学方法,以学生为主体,关注学生获取知识的途径,不再是采用单一的灌输式或填鸭式教学,而是采用探究式、合作式教学.在实施形式上,利用填表、互评、小组讨论、个人分享等多种形式,让学生深入参与到学习活动中,以此理解新旧知识,构建知识网体系.如:在圆柱、圆锥表面积公式的探究中采用的是学生独立思考完成,圆台的表面积和体积则是在小组合作的交流下共同探讨完成,并且还需要学生动手剪一剪,在“做”中学,“做”中思,“做”中研.球的表面积与体积的探究则是利用学生的认知冲突引导教学,从而将本课时的重点自然突出,难点不经意间突破,还给学生留下了深刻印象,这在思维层面来说已经向高阶思维发展了.教材中圆柱的底面直径和高都等于球的直径,求球与圆柱的体积之比.这个例题的图案叫“圆柱容器(球内切于圆柱)”,即球的表面积和体积分别是它的外切圆柱的表面积和体积的三分之二.据说这是古希腊数学家阿基米德众多发现中最自豪的成果,所以在他去世后,人们便在他的墓碑上刻上“圆柱容器”.教师顺势介绍背后的故事,让学生感受古人的研究精神和智慧,用数学文化激励学生,达到育人效果,从而实现对教学资源利用的最大化和教学效果的最优化.

2.3.5 多元评价,深度内化

为了能了解学生学习效果情况,检测与调控学生学习的过程,为改进教师的教学进行反馈与指导,教师应开展多元化过程性评价.多元化过程性评价对实施深度学习过程中教师的教学、学生的学习都有着重要的作用.由于融合深度学习的数学单元教学设计是在发现—创造中不断循环地动态发展的教学设计,教师要随着对数学内容的深度理解和教学实践经验的增加不断调整和完善.所以在教学实施结束后,教师对课堂进行反思,对教学设计进行改进、再实践,才能在深度学习中推动单元教学设计有效进行,进而落实数学学科核心素养的发展.

3 结束语

本文研究了深度学习引领下的数学单元教学设计的特点,提出了融合深度学习的数学单元教学设计的五个策略,并以《圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积》为载体呈现了其关键环节的教学设计实施.这样的设计不仅能促进教师对教材深入学习和分析,更加关注数学知识、要素之间的联系,也能促进教师更加关注学生对知识的系统性、全面性以及深度思维的培养.同时依据课标、教材、学生开展深度学习的教学,能保持学生学习数学的热情,增强学习过程的体验性、生成性,实现数学学科的育人价值.但值得一提的是,文中提到的融合深度学习的数学单元教学设计还有许多问题需要继续探讨:如实施融合深度学习的数学单元教学设计困难在哪里,给教师和学生带来了哪些挑战和困难,深度学习与数学单元教学设计有效融合的实践还有待进一步验证,深度学习引领数学单元教学设计的评价内容和标准还有待研究和完善.