基于多选题场景 “通法”与“巧法”应用

任荣

摘 要：“不等”与“相等”之间的转化与应用问题，是数学综合应用中的一种思维多样、形式多变的创新应用问题.本文基于一道含参的不等式恒成立问题，通过参数值的确定来探究，从“通性通法”与“巧技妙法”等不同思维方式来分析与应用，合理归纳技巧方法，开拓变式与拓展空间，引领并指导数学教学与解题研究．

关键词：不等式；恒成立；函数；导数；图象

中图分类号：G632   文献标识码：A   文章编号：1008-0333（2024）09-0028-03

“不等”与“相等”是数学中两个既对立又统一的个体，同时交汇形成一个统一的整体，成为数学科学辩证思维方式中最为常见的一种特殊思维方式．在具体数学问题的创设与应用中，经常可以由“不等”（或“相等”）问题巧妙变形或转换为“相等”（或“不等”）问题，创造性地突破思维方式，巧妙联系两个不同维度问题之间的关系，开拓“不等”与“相等”的和谐统一与巧妙转化［1］．

1 问题呈现

问题 （2024屆湖南省三湘创新发展联合体高三上学期9月月考数学试题·12）（多选题）已知关于x的不等式2x2-3x-xlnx+1≥ax+b+（x-2）2≥0在区间[1，+∞）上恒成立，则（   ）.

A．a=1 B．a=2 C．b=-3 D．b=-2

该问题以含参不等式在给定区间上恒成立来创新设置，以“不等”的场景来创设，结合问题的内涵与实质的挖掘，通过合理的分析与求解，得到对应变量的定值问题，实现“相等”问题的突破与求解．

在具体解决问题时，可以借助一些比较常见的“通性通法”加以逻辑推理与数学运算，通过“两边夹”思维、二阶导数以及端点思维等方法来处理，得以正确剖析与推理，巧妙确定变量的取值；也可以借助选择题，特别是一些具有特殊结构特征的多选题，可以借助一些比较常用的“巧技妙法”加以快捷分析与判断，通过重要不等式放缩、以“点”带“面”等方法来处理，相应的方法不具有完备性，但方法简捷，可以比较快速确定正确的答案，给多选题的解决提供一种补充方法．

2 问题破解

2.1 通性通法

方法1 （“两边夹”思维法）

成立，

则知h′（x）在[1，+∞）上单调递增且h′（1）=0，

所以当x≥1时，h（x）≥h（1）=0，所以f（x）≥g（x），当且仅当x=1时等号成立．

又f ′（x）=2x-lnx，g′（x）=-2x+4，且f ′（1）=g′（1）=2，

所以直线y=ax+b为曲线f（x）与g（x）的图象在x=1处的公切线时，才能使原不等式恒成立，此时a=f ′（1）=2，b=-3，

故选择答案：BC．

解后反思 合理分离出含参的一次函数，使之介于两已知曲线之间，通过“两边夹”思维，确定不等式恒成立时，该一次函数所对应的直线就是两曲线的切点处的公切线，利用导数法来分析与求解对应的参数值．导数法是处理此类含参的不等式恒成立问题时最为常用的一种技巧方法，合理的变形与转化是解决问题的关键．

方法2 （二阶导数法）

解后反思 借助不等式恒成立的条件，从不同思维视角切入加以分析，利用函数的构建以及求导处理，利用二阶求导的转化与应用，通过函数的单调性判断与性质应用来转化．特别这里借助作差比较法来构建一个新函数，结合端点处的取值与单调性情况加以综合分析与应用，也是一种非常不错的技巧与方法．

方法3 （端点思维法）

解析 取端点x=1，代入原不等式，可得a+b+1=0，即b=-a-1，则对任意x>1，不等式ax+b+（x-2）2≥0恒成立，等价于ax-a-1+（x-2）2≥0，整理可得a（x-1）≥-（x-1）（x-3），则有a≥3-x恒成立，所以a≥2；

综上分析，可知a=2，则有b=-a-1=-3，故选择答案：BC．

解后反思 解决一些问题时，经常从特殊情况入手加以分析，再由特殊回归一般，从而推理分析一般性的结论，这是解决问题时比较常用的一种基本思维方式．而这里从变量取值的端点入手，以特殊情况确定两参数的代数式，再从一般的变量取值情况，结合不等式恒成立的条件，通过消参处理，确定变量a的取值范围并得以求值处理，从而得以巧妙解决综合问题．该端点思维法处理问题起来，过程清晰明了，解题过程显得更加简单快捷，提升解题效益．

2.2 巧技妙法

方法4 （重要不等式放缩法）

解析 依题，由2x2-3x-xlnx+1≥ax+b+（x-2）2，可得x2+x-xlnx-3≥ax+b，

记函数f（x）=x2+x-xlnx-3，

结合切线不等式——对数不等式的结论：lnx≤x-1，当且仅当x=1时等号成立，

则有f（x）=x2+x-xlnx-3≥x2+x-x（x-1）-3=2x-3，

结合不等式f（x）≥ax+b在[1，+∞）上恒成立，可得a=2，b=-3，

故选择答案：BC．

解后反思 抓住重要的切线不等式来合理放缩，从“两边夹”不等式的一边加以放缩转化与处理，数学思维与解题步骤不完备，但可以较快确定相应的答案，特别是对于此类特别类型的多选题，只要确定其中一半成立即可．解题过程有一定的“投机取巧”的成分，对于简捷处理问题有一定的奇效．

方法5 （以“点”带“面”法）

解析 依题，由2x2-3x-xlnx+1≥ax+b+（x-2）2≥0，可得x2+x-xlnx-3≥ax+b≥-（x-2）2，

记函数f（x）=x2+x-xlnx-3，g（x）=-（x-2）2，h（x）=ax+b，

又f ′（x）=2x-lnx，g′（x）=-2x+4，h′（x）=a，

而f（1）=g（1）=-1，且f ′（1）=g′（1）=2，

要使得关于x的不等式2x2-3x-xlnx+1≥ax+b+（x-2）2≥0在[1，+∞）上恒成立，

则必须满足h（1）=f（1）=g（1）=-1，且h′（1）=f ′（1）=g′（1）=2，

所以a=2，h（1）=a+b=-1，解得b=-3，故选择答案：BC．

解后反思 合理变形并转化恒成立的不等式，分离出含参的一次函数，结合“两边夹”的结构特征，通过两边函数的设置及其求导运算，结合含参的一次函数的两边函数在变量取值的端点处相应的函數值与导函数值相等的条件，进而确定该一次函数所满足的条件，从而得以确定对应的参数值，实现以“点”带“面”的效果．当然本题中所取的“点”恰好就是等号成立时的条件，否则问题的解决并不是那么简单，该方法不具有完备性．

3 变式拓展

原问题中通过不等式的恒成立，以“不等”来求解变量的值，实现“相等”的应用，巧妙联想起“不等”与“相等”之间的辩证关系.这也为该问题的变式与拓展提供更加广阔的空间，特别可以从“相等”的视角来设置与应用．

变式1 （2024届内蒙古部分名校高三（上）月考数学试卷（9月份））关于x的不等式2x2-3x-xlnx+1≥ax+b+（x-2）2≥0在[1，+∞）上恒成立，则3a+2b=（  ）.

A．-2   B．0   C．1   D．3

解析 具体解析过程可参考原问题的解析，可得a=2，b=-3，所以3a+2b=0，故选择答案：B．

变式2 已知x，y∈R，且满足不等式3（x-1）≤ln（x+y-3）+ln（2x-y+2）恒成立，则3y-5x=（  ）.

A．5   B．4   C．3   D．2

解析 依题，由于不等式3（x-1）≤ln（x+y-3）+ln（2x-y+2）恒成立，结合切线不等式——对数不等式的结论：lnx≤x-1，当且仅当x=1时等号成立，合理放缩处理，可得ln（x+y-3）+ln（2x-y+2）≤（x+y-3-1）+（2x-y+2-1）=3x-3，则有不等式3（x-1）≤ln（x+y-3）+ln（2x-y+2）≤3x-3恒成立，当且仅当x+y-3=2x-y+2=1时等号成立，解得x=1，y=3，此时3y-5x=4，故选择答案：B．

4 教学启示

4.1 规律总结，方法归纳

解决以上“不等”与“相等”之间的辩证关系的数学问题时，关键在于合理的变形与转化，以及问题的等价变换处理，将陌生的问题转化为较为熟知的问题，合理构建相应的模型来分析与解决问题．

特别是以上问题中，巧妙利用“两边夹”思维与结论的应用，其实质就是通过相应的结构形式“a≤f（x）≤b”，通过不等式恒成立条件的综合应用来分析与处理，从而达到分析与解决问题的目的．4.2 创新应用，辩证思维

以“不等”与“相等”之间的辩证关系及其创新应用，可以合理带动一些创新应用问题，联系到“变量”与“常量”、“具体”与“抽象”、“静止”与“运动”、“单一”与“交汇”、“简单”与“复杂”等的突破性变形与转化，关键在于巧妙变形与转化，化陌生为熟知，化未知为已知．

5 结束语

通过此类创新应用问题，融入数学知识考查与数学能力的应用，逐步养成科学的辩证思维，提升解题者逻辑推理与数学运算等数学核心素养.利用辩证眼光与数学眼光来观察世界，利用辩证思维与数学思维来分析世界，利用辩证语言与数学语言来表达世界等，全方位、全系统提升各方面的能力．

参考文献：

［1］ 黄芹.学思探微，归纳剖析：备考不等式及其解法［J］.中学生数理化（高考数学），2023（11）：6-9.