“三个助手”赋能数学思维可视化的教学实践——以“直线与平面所成的角”为例

◎ 上海市中小学教学数字化转型高中数学项目组

一、问题的提出

《普通高中数学课程标准（2017 年版2020 年修订）》（以下简称《2020 修订版课标》）提出“评价既要关注学生学习的结果，更要重视学生学习的过程”。要实现上述理念，教师可以尝试开展指向思维可视化的教学活动，通过观察和监测学生的学习行为数据，让内隐的、动态的、个性化的思维过程变得清晰可见，从而及时把握学生的学习动态，评估教学结果，作出具有针对性的教学决策，为学生提供个性化的辅导，最终实现思维的深度发展。

为了精准、有效地开展思维可视化教学，笔者将数字化技术与可视化教学相结合，借助上海市中小学数字教学系统中的“三个助手”（即“备课助手”“教学助手”“作业辅导助手”）平台，充分利用资源共享、数据存储、笔迹回放、个性推送等功能，将“三个助手”应用于高中数学教学的全过程，课前找准思维起点，课中呈现思维轨迹，课后把握思维障碍，为优化教学预设，落实教学指导，满足个性需求提供依据和支持。本文以沪教版高中数学教材必修第三册“直线与平面所成的角”一课为例，阐述如何运用“三个助手”开展思维可视化教学，以期为数字技术赋能下的思维可视化教学模式提供参考。

二、“三个助手”赋能思维可视化教学的实施路径

在《2020 修订版课标》的指导下，结合“三个助手”的基本功能，笔者将“三个助手”融入教学的课前、课中与课后，积极开发各类思维可视化资源。

首先，笔者利用“备课助手”的智能化推荐功能，借鉴平台上的各类优质资源，如“空中课堂”的教学视频、优秀教学设计、教学课件等，立足思维起点，打造符合我班学生认知水平的教学活动与课堂练习。

其次，根据本节课的活动设计，笔者依托“教学助手”的交互体验和任务发布功能，开发具有行为数据收集功能的动态学件，精准捕捉学生在自主探究和交流合作时的思维发展过程与课堂参与情况，及时发现学生产生的困惑与问题，如学生能否读懂抽象的数学概念，是否能灵活地运用性质等。根据平台的反馈，教师可以通过讲解、追问等手段对教学策略进行调整，为学生提供有效的指导和帮助，确保学习的真实发生，提升课堂教学的有效性。

最后，笔者通过“作业辅导助手”发布、回收、批改、分析学生的作业情况，根据平台的数据报表，精准分析学生存在的思维障碍。根据学生不同的错误类型，推送相应的讲解视频和跟进练习，实现个性化辅导，弥补学生的知识漏洞，使巩固复习工作更具有针对性。

具体的实施路径如图1所示。

图1 “三个助手”赋能思维可视化教学的实施路径图

三、“三个助手”赋能思维可视化的教学实践

“三个助手”可贯穿课前、课中与课后各个环节，帮助教师合理设计教学活动、实时分析动态数据、有效分析学习情况，最终使学生的思维过程外显化、清晰化，实现学生个性化发展的需求。

（一）探寻思维起点，优化教学预设

新概念的引入对学生来说是一个思维难点，只有将新知识与学生的已有认知建立联系，才能让学生产生足够的求知欲。然而，在实际教学中，教师通常会主观预设学生的思维起点。这样容易导致所创设的问题情境与学生的知识储备或现实生活是脱节的，学生会产生“这是老师强加给我的”“我为什么要学这个概念”“学这个概念有什么用”等负面情绪。为了改变上述现象，笔者尝试利用技术手段，以数据为依据，探寻并分析学生的思维起点，从而优化情境设计，使教学更加贴近学生的最近发展区，确保后续学习的顺利展开。

例如，在课前准备阶段，笔者最初选用了“吊车作业”这个场景来引入线面角的概念。但课前平台数据显示，近85%的学生反馈对上述情境感到陌生，较难将其与线面角建立联系。因此，笔者借助“备课助手”的优质资源，找到了“校园旗杆”这一贴合学生实际生活的场景。再结合本班学情，笔者将“校园旗杆”改为学生秋游游览过的“松江斜塔”，并通过层层递进的问题（见图2），引导学生深入思考，尝试挖掘出现实情境背后的数学元素，感受数学的应用价值。

图2 课前导学单

（二）呈现思维轨迹，落实教学指导

如果说立足学生的思维起点可以使概念的引入更加自然，那么概念的建构则是对学生思维的一项重大挑战。为了丰富学生的学习体验，许多教师会在教学中融入探究环节，通过实验引导学生自主探索，建构出新的数学概念。但在实践过程中，课堂实验往往有“形式”而无“内容”，学生确实动手操作了一番，课堂也“热热闹闹”。然而“学生的思维究竟成长多少”“学生存在哪些认知困惑”却无从得知，教师通常挑选个别表现优秀的学生展示一下，就算完成实验了，而大部分学生的学习成果并没有得到评价和指导。

例如，线面角构造的合理性是本节课的难点之一，如何直观地呈现学生建构线面角概念的思维轨迹，暴露其中的认知障碍，从而使课堂指导更加有效呢？结合课前导学单所收集的数据可以发现，有超过80%的学生认为可以运用角来刻画斜塔的倾斜程度，但对于如何确定角度感到一筹莫展。于是笔者将斜塔情境抽象出来，用塑料棒和泡沫板制作了一个线面角的模型。这时，笔者并没有直接给出线面角的构造方法，而是不束缚学生的思维，让学生分组实验，亲自用其余的塑料棒在泡沫板上任意找角。由此学生会发现角的存在性，但这样找角的方式有很多，学生又陷入了“哪一个才是线面角”的思维困境。

于是，笔者请学生借助量角器测量出所找到的角的大小。为了更好地收集分析实验数据，笔者利用“教学助手”设计了一个“探寻线面角”的互动学件（见图3）。该学件具有拍照、数据存储和同步传输的功能，学生可将实验结果发送至平台，如果又有了新的发现，还可以补充发送。当笔者从后台观测到所有小组都完成了数据提交之后，就利用“教学助手”的投屏功能，呈现班级所有学生的实验结果。不同的数据引发了学生的认知冲突，通过数据对比，学生发现，将线面角定义为“斜线与平面内任何直线所成角中的最小的角”就可以保证角的唯一性。

图3 互动学件1——探寻线面角

为了进一步考查学生能否自主抽象出线面角的定义，笔者运用“教学助手”的动态笔迹功能（见图4），要求学生在移动终端上完成线面角的作图过程并将结果同步上传至平台。不同于传统的拍照功能，动态笔迹不仅呈现学生的作答结果，还能播放学生的笔迹动画，便于教师找到问题根源，精准判断问题所在。结果发现，多数学生无法正确地画出斜线的投影，导致线面角构造失败。因此，笔者在讲评过程中除了展示正确的作图过程，帮助学生规范线面角的构造方法，还播放了典型错误的笔迹动画，暴露思维漏洞，鼓励更多学生参与到师生交流中来，提升思维呈现的全面性和多样性。

图4 互动学件2——动态笔迹对比

在上述探究活动中，笔者根据“三个助手”所呈现的学生思维轨迹，设计了相应的实验内容，引导学生经历了“发现角—角有很多—找最小的角”的概念建构过程。依托平台强大的数据收集功能，笔者可以确保95%以上的学生都参与了实验，同时在大屏幕上快速浏览并展示学生的实验数据，使课堂不再是优秀学生的“舞台”，更多学生的学习成果都能获得反馈和指导。

（三）把握思维障碍，满足个性需求

作业是对学生思维成果的检测。传统教学模式中的评价反馈环节通常由“布置作业—回收作业—批改作业—分发作业—讲评作业—订正作业”等环节构成，一般需要1—2 天。在这样的节奏下教师很难及时组织补充性教学。同时，传统的作业批改难以实现面面俱到，教师只能凭借大致的印象进行粗略的等级划分，无法关注到学生的个体差异。而信息技术辅助下的教学模式中，评价反馈环节压缩为“布置作业—学生上传作业—系统与教师共同批改作业—推送指导—订正作业”，这些环节可能在作业布置的当天完成。平台可以代替教师完成客观题批改、分数录入、错误统计等简单重复劳动，教师则能专注于数据分析、错误归因、答疑解惑等工作，帮助学生及时突破思维障碍。

例如，“找角—论证—求角”是本节课考查的三个思维要点，因此，对于课后练习，笔者分别设置了“线面角构造”“逻辑论证”“角度计算”三个标签，在完成线上批改之后，平台会按标签统计错误人数（见图5）。结果发现，学生对于角度计算掌握得较好，但在线面角构造和逻辑论证的掌握上还存在欠缺，这说明学生的思维障碍主要集中在概念理解上。

图5 错误人数统计

因此，笔者追加推送了一组侧重于概念辨析的判断题，帮助学生厘清概念的本质。

同时，笔者分别针对三个知识标签录制了讲解视频，并配备了跟进练习，通过“作业辅导助手”进行分层推送，每位学生都会收到适合自身实际情况的订正任务和课后辅导，而对于表现优秀的学生则推送探究性作业供自主钻研，真正满足不同层次学生的需求。

四、成效与反思

（一）成效

1.凸显学生的主体地位

在传统的数学课堂教学中，教师往往更关注如何更好地呈现教学内容，而对于学生内隐的、个性化的思维是如何发生发展的却少有问津。而运用“三个助手”可以直观地呈现学生的书写内容，让每个学生获得展示的机会，在合作、互动、交流中有效激发自身思维的发展，使学生感受到自己是“被关注”的对象，从而提高学习的主动性和积极性。

2.提升课堂教学的有效性

由于“三个助手”具有数据存储和即时传输的功能，因此教师可以迅速浏览大部分学生的过程性数据，在短时间内掌握预设之外学生产生的困惑和疑问，明晰学生的思维路径，从而灵活调整教学策略。而对于学生的典型错误，“三个助手”支持同屏对比、批阅或标注，教师能进行针对性“解剖”，增强学习的现场感，真正实现教学效果的最大化。

3.促进思维的深度发展

学习者主动加工知识信息、建构知识体系并进行有效的迁移应用，才能最终促进高阶思维能力的发展。本节课运用“三个助手”，促进了学习思维逐步走向纵深发展：学生从熟悉的“松江斜塔”入手，将具象的事物抽象为几何元素，互动学件推动学生不断深入思考，从线面角的存在性逐步升华到唯一性，呈现出数学思维的层层递进和步步深化。

（二）反思

“三个助手”赋能数学教学不能仅仅停留在实践应用层面上，还需要教师不断地开展研究与探索。通过本次实践，笔者认为后期可以从以下三个方面做进一步探究。

首先，尚未形成思维可视化的规范量表。本节课重点研究教师如何通过技术把握学习是如何发生的，虽然保留了课堂及课后的许多过程性数据，但对数据的分析仍停留在百分比、平均数等描述性分析上，后期可尝试开发思维等级量表，对学生思维开展更加精准的分析。

其次，努力实现“三个助手”的常态化应用。目前大部分教师还是把“三个助手”看成是课堂的“点缀”，采取“能不用就不用”的策略。但笔者发现“三个助手”拥有教学反馈及时到位、可以展示思维过程、便于实现分层教学等优点。后期可继续推广“三个助手”的使用，使之成为日常教学的必备工具。

最后，积极推进研究共同体的形成。由于“三个助手”的上线时间不长，因此不少参与试点工作的教师仍处于“单打独斗”的状态。在后续的教学尝试中，可将“三个助手”推广至备课组，以团队合作的形式开发校本资源库，呈现出更多值得借鉴的优秀课例。

总之，“三个助手”的出现使教学成为一种基于证据的实践活动。随着平台功能的不断完善，将会有越来越多的教师关注学生的思维过程。在技术的支撑下，教师会在学生的思维模糊处耐心倾听、在思维冲突处巧设疑问、在思维障碍处对比辨析，促进学生的思维向更高层次处生长，让教与学真实发生。